连续函数运算及初等函数连续性(new课件

1、1一、连续函数的和、差、积、商的连续性二、反函数与复合函数的连续性三、初等函数的连续性第九节连续函数的运算与初等函数的连续性2000( ),( )( )( )( )( )( )( ()0).( )f xg xxf xg xf xf xg xg xxg x若在点处连续，则，在点定1处也连续理sincos(,)xx 例如：，在内连续，tancotseccsc.xxxx则，在它们各自定义域内连续一、连续函数的和、差、积、商的连续性3问题：0001( )( )( )( ) f xxg xxf xg xx、若在连续，在不连续， 那么在是否连续？002( )( )( )( )( ) ( )f xg xxf

2、 xg xf x g xx、若，在都不连续， 那么、在是否连续？1,01,0( ),( )01,01,0 xxf xg xxxx如在不连续点连续。在00)()(xxgxf一定不连续可能连续，可能不连续41,0( ),1,0 xf xxxsin,0( ) ( )1,0 xxf x g xxx0 x 在不连续，0 x 在不连续，sin ,0( ),1,0 x xg xx0.x 在连续5严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数. .例如,2,2sin上单调增加且连续在xyarcsin 1,1.yx故在上也是单调增加且连续arccos 1,1;yx同理，在上

3、单调减少且连续.),(cot,arctan上单调且连续在xarcyxy总结：三角函数与反三角函数在其定义域内皆连续总结：三角函数与反三角函数在其定义域内皆连续. .二、反函数与复合函数的连续性定理 26000lim ( )lim ( ),( )lim(lim) .()xaxxxxxufxaf uaf uf axfx若函数在点 连则定续，理 3证证,)(连续在点auuf0,0,( )( ).uaf uf a 当时，恒有0lim ( )xxxa又，0,0,对于上面的00,0( ).xxxaua当时，有00,0,0,xx于是，当时 ( )( ) =( )( ).fxf af uf a)()(lim0

4、afxfxx ).(limxfxx 07意义意义1. 1. 极限符号可以与函数符号互换极限符号可以与函数符号互换; ;2.( ).ux变量代换的理论依据例例1 1.)1ln(lim0 xxx 求求. 1 xxx10)1ln(lim 原原式式)1(limln10 xxx eln 解解800000000( )(),( ) ( )().lim ( ) ()xxuxxxxuyf uuuyfxxxf ufxf g x设在点连续，且而在点连续，则复合函数在点也连续，即，定理 4注意定理注意定理4 4是定理是定理3 3的特殊情况的特殊情况. .例如例如, ,), 0()0,(1内内连连续续在在 xu,),(

5、sin内内连连续续在在 uy.), 0()0,(1sin内内连连续续在在 xy9三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.(0,1)xyaaa指数函数(,) 在内单调且连续;log(0,1)ayxaa对数函数(0,)在内单调且连续;三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性10定理定理 5 5 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的. . xy xaalog ,uay .log xua (0,).在内连续定理定理 6 6 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连续的内都是连续的. .注：定义区间是指包含在定义域内的区间注：定义区间是指包含在定义域内的区间

6、. .yx推广：幂函数在它的定义域是连续的11初等函数仅在其定义区间内连续初等函数仅在其定义区间内连续, , 在其定在其定义域内不一定连续义域内不一定连续. .例如例如, , 1cos xy |2,Dx xkkZ这些孤立点的邻域内函数没有定义, 不连续.,)1(32 xxy |01Dx xx或在0的邻域内没有定义，不连续.1,)函数在区间上连续.注意注意注意注意 2 2 初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法代入法代入法. .000lim( )()()xxxf xf x定义区间1201lim.xxex例2 求. 1 )1ln(lim0yyy 原原式式解解,1yex 令令),1ln(yx 则则

7、0,0.xy当时yyy10)1ln(1lim 同理可得同理可得.ln1lim0axaxx 1321011(1) limsin1(2) limxxxxex例 3求1sin1e(1) 原式. 1sin e解解2220( 11)( 11)lim( 11)xxxxx(2) 原式11lim20 xxx00.214 重要结论：( )lim ( )lim ( )0 lim ( )lim ( )lim ( )v xv xBu xAv xBu xu xA，若则证明：( ) ln ( )( ) ( )v xu xv xu xe( ) ln ( )( )lim ( )limv xu xv xu xelim ( )

8、limln ( )v xu xelim ( ) ln ( )v xu xelim ( )lim ( )v xu xBA15104lim()xxxxe例xxxexe101 limxxexexxexe)1(lim02e10lim(1)xxxxxee1615lim 39xxxx例11lim 9 (1)3xxxxxxxxx 313311lim9990 e1721sin06lim(cos )xxx例xxxxx2sin1cos1cos10)1(cos1 limxxxxx2sin1cos1cos10)1(cos1lim21 e18cot017lim()1xxxx例xxxxxxxxxsincos)(lim12

9、210121xxxxxxxxxsincos)(lim122101212e19118lim(sincos ) .xxxx例2211xxxx)cos(sinlim221xxx)sin(limxxxxx222121sinsin)sin(lim1ee202229lim(1)nnnn例222=lim(1)nnnn22222222lim (1)nnnnnnnnnne22lim2e21212210( )lim,1( )(,)nnnxaxbxf xa bxf x 例设当为何值时在上连续。1,211,211,1,)(2xbaxbaxxxbxaxxf的连续性在由1)(xxf2/112/11babababa上连续。在此时，),()(, 1, 0 xfba解22作业作业6991P习题1.3.(3), (5), (6), (7)4.(3),(4),(5),(6)6.2323思考题思考题 设设xxfsgn)( ，21)(xxg ，试试研研究究复复合合函函数数)(xgf与与)(xfg的的连连续续性性