四川16-17学年高二上期中考试--数学理

1、恒谦教育研究院眉山中学高二2018 届数学理科11 月份半期考试题一 . 选择题：本大题共 12 个小题 , 每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1. 直线 y=1 的倾斜角是 ( )A45°B 90 °C0°D180°2. 点 P 在直线 x+y-4=0 上， O为原点，则 |OP| 的最小值是 ( )A2B 6C 22D 103.若直线 AxByC0(A2B20) 经过第一 .二 . 三象限，则系数 A, B,C 满足的条件为()A A, B,C 同号B AC0, BC0C AC0, BC0D AB

2、0, AC04.若圆 x2y26x6 y140 关于直线 l : ax4 y6 0 对称，则直线 l 的斜率是 ( )A6B 2C 2D 35.332直线 l1 : 2x(m 1)y4 0与直线 l2: mx3y20平行，则实数的值为( )mA2B. -3C2 或 -3D-2 或 36.圆 x2y24x4 y70 上的动点P 到直线 yx 的最小距离为 ()A221B22C2D17.直线 y1kx3被圆 x 222所截得的最短弦长等于 ()y 24A 3B 2 3C 2 2D 58.已知点 P(a, b)(ab0)是圆 x2y2r 2 内的一点，直线 m 是以 P 为中点的弦所在直线，直线 l

3、 的方程为 axbyr 2 ，那么 ()A. m / /l ,l 与圆相交B.ml , l 与圆相切西安恒谦教育科技股份有限公司第1页恒谦教育研究院C. m / /l ,l 与圆相离D.ml , l 与圆相离9. 若直线 yxb 与曲线 y3 4x x2 有公共点，则 b 的取值范围是 ( )A.1 22 ，122 B.1 2，3C. 1,1 22 D.122，310. 圆 x2y22axa24 0 和圆 x2y24by14b20 恰有三条公切线，若 aR,b R ，且 ab 0 ，则 1 1a2 b2的最小值为 ()A1B3C 1D 49911. 已知二次函数f ( x)x2mxn(m .

4、nR) 的两个零点分别在(0,1) 与(1,2) 内，则(m 1)2( n2)2 的取值范围是 ()A2,5B (2, 5)C2,5D(2,5)12. 如图，在长方形 ABCD中，AB= 3 ，BC=1，E为线段 DC上一动点，现将AED沿 AE折起，使点 D在面 ABC上的射影 K 在直线 AE上，当 E 从 D运动到 C，则 K 所形成轨迹的长度为 ( )A 3B 2 3CD2323二. 填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题卡上）13.已知方程 x2y22x 4ya0 表示一个圆，则实数a 的取值范围是_x10则 y 的最大值为 .14.若 x,y 满足约束条件 xy0xy

5、4x0西安恒谦教育科技股份有限公司第2页恒谦教育研究院15.已知变量 x, y 满足约束条件 1 x y 4, 2 x y 2。若目标函数 z ax y(a 0)仅在点（ 3,1 ）处取得最大值，则 a 的取值范围为 _16.如果圆 x a 2y a 24上有且仅有两个点到原点的距离为，那么实数 a 的取值范2围为三. 解答题（本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明 . 证明过程或演算步骤 . ）17.( 本小题满分 10 分)直线 l 过点 P( 2,1) .（ 1）若直线 l 与直线 x 2y 1平行，求直线 l 的方程；（ 2）若直线 l 与直线 x 2y 1垂直，求直线

6、 l 的方程 .18.( 本小题满分 12 分)已知圆 C ： (x3)2( y4) 24 ，直线 l 过定点 A(1,0)（1）若 l 与圆 C 相切，求直线 l 的方程；（2）若 l 与圆 C 相交于 P . Q 两点，且 PQ22 ，求直线 l 的方程19.( 本小题满分 12 分)某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A.B，要根据该产品的研制成本. 产品重量 . 搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，西安恒谦教育科技股份有限公司第3页恒谦教育研究院通过调查，有关数据如表：产品 产品A(件)B(件)研制 成本与 搭载计划最大资2030费用之和 ( 万元金

7、额 300 万元/ 件)产品重量 ( 千克最大搭载105/ 件)重量 110 千克预计收益 ( 万元8060/ 件)试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？20.( 本小题满分 12 分)已知圆 C 经过点 A( 2,0), B(0,2) ，且圆心 C 在直线 yx 上，又直线 l : ykx1与圆 C 相交于 P,Q 两点（ 1）求圆 C 的方程；（ 2）过点 (0,1) 作直线 l1 与直线 l 垂直，且直线 l1 与圆 C 交于 M . N 两点，求四边形 PMQN面积的最大值西安恒谦教育科技股份有限公司第4页恒谦教育研究院21. ( 本小题满分

8、 12 分)已知点 A 2，0 ，点 B2，0 ，直线 l ： (3)x (1)y 40（其中R ）（ 1）若直线 l 与线段 AB有公共点，求 的取值范围；（ 2）若分别过 A，B 且斜率为 3 的两条平行直线截直线 l 所得线段的长为 4 3 ，求直线 l 的方程22.( 本小题满分 12 分)已知过原点的动直线 l 与圆 C1 : x2y26x 5 0 相交于不同的两点， （1）求圆 C1 的圆心坐标；（2）求线段的中点的轨迹 C 的方程；（3）是否存在实数 k ，使得直线 L: yk x4 与曲线 C 只有一个交点？若存在， 求出 k的取值范围 . 若不存在，说明理由西安恒谦教育科技股

9、份有限公司第5页恒谦教育研究院参考答案1. 【答案】 B【解析】因为直线x=1 与 x 轴垂直，所以倾斜角为90°，斜率不存在考点：本题考查直线的倾斜角和斜率的关系点评：解决本题的关键是掌握直线斜率与倾斜角的关系，斜率的定义2. 【答案】 C【解析】由题可知，过 O向直线 x+y-4=0 做垂线，垂足为点 P，此时 |OP| 取得最小值，由点到直线的距离公式| Ax0 By 0 C |4 |2 2；dB211A2考点：点到直线距离3. 【答案】 B【解析】由题意得，直线AxBy C 0 yA xC ，直线经过第一 . 二. 三象限，A >0,CBB所以0 AC0, BC0.B

10、B4. 【答案】 D【解析】由题意得圆心(3, 3) 在直线 l 上，3a4( 3)60,a6,k3 ，故选 D.2考点：直线与圆的位置关系5. 【答案】 C【解析】6. 【答案】 A【解析】由题意得，圆心为（2,2 ），半径r=1 ，由圆心到直线的最小距离公式可得22d2 2 ，所以 圆上动点到直线的最小距离为2 212考点：考查圆上动点到直线的最小距离.西安恒谦教育科技股份有限公司第6页恒谦教育研究院7. 【答案】 C【解析】如图所示：由已知可得kPA 312, kPB111 ，由此已知直线 l 若与直121222线 AB 有交点，则斜率 k 满足的条件是 0k2 ，因此若直线 l 若与直

11、线 AB ，没或 k1 或 k2有交点，则斜率 k 满足的条件是 k2 ，故选 C2考点：两条直线的交点坐标8. 【答案】 C【解析】以点M 为中点的弦所在的直线的斜率是a ，直线 m / l ，点 M (a,b) 是圆ba2b2r 2 内一点，所以 a2b2r 2 ，所以圆心到 axbyr 2 距离是r 2r ，故相离，a2b2故选 C考点：直线与圆的位置关系9. 【答案】 D【解析】如图所示：曲线 y3 4xx2 ，即 x 22y 324（1 ， ），y3 0 x4表示以 A（2，3）为圆心，以2 为半径的一个半圆由圆心到直线y=x+b 的距离等于半径2，可得 23b2b122 或 b12

12、 2 2结合图象可得 122b3西安恒谦教育科技股份有限公司第7页恒谦教育研究院考点：直线与圆的位置关系10. 【答案】 A【 解 析 】 由 题 意 得 两 圆 (xa)2y 24 与x2( y2b)2 y 1 相外切，即a24b22 1 a24b29，所以11( 11 ) (a24b2 ) 1 5a24b21 5 2 a24b2 1a2= 4b2a2b2a2b299b2a29b2a2，当且仅当 b2a2 时取等号，所以选 A.考点：两圆位置关系，基本不等式求最值【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆. 拼. 凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正” （即条件要求中字母为正数）.

13、 “定”（不等式的另一边必须为定值） . “等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.11. 【答案】 Df (0)0n0【解析】由题意得 f (1)0，即 1m+n0,画出可行域如图 ABC , 不包含边界，f (2)02m n40(m 1)2( n 2)2 的几何意义为：可行域内的点到点( 1,2) 的距离的平方，故取值范围是（nA。B C（ - （ O m2m+n+m+n+1(2,5) .【考点】一元二次方程根的分布及线性规划.【方法点晴】本题主要考查一元二次方程根的分布及线性规划，综合性较强，属于较难题型解决本题的是利用一元二次方程根的分布建立约束条件，并化简得西安恒谦教育

14、科技股份有限公司第8页恒谦教育研究院n01 m+n0, 将命题转化为线性规划问题，画出可行域如图ABC , 不包含边界，2mn40(m1)2( n2)2 的几何意义为：可行域内的点到点( 1,2) 的距离的平方，从而计算得取值范围是 (2,5) .12. 【答案】 D【解析】由题可知，根据 AED沿 AE折起，使点 D在面 ABC上的射影 K 在直线 AE上，可知 DKAE，所以 K 的轨迹是以 AD为直径的一段圆弧 DK，求出圆心角 D OK，即可求得 K所形成轨迹的长度 .DKAE，所以 K 的轨迹是以 AD为直径的一段圆弧DK，设 AD的中点为 O，,长方形 ABCD中，AB= 3 ，B

15、C=1，DAC=60° DOK=120°= 2, K所3形成轨迹的长度为2× 1 =；323考点：点到直线，点到平面的距离13. 【答案】【解析】14. 【答案】a 53【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分 ABC ）设 ky ，则 k 的几x何意义为区域内的点到原点的斜率，由图象知OA 的斜率最大，由x1，解得xy 4 0x1 ，即 A 1,3 ，则 kOA33，即 y 的最大值为 3故答案为： 3 y31x西安恒谦教育科技股份有限公司第9页恒谦教育研究院考点：简单的线性规划 .【方法点睛】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义以及直线

16、的斜率，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，难度中档；作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义即y 表示动点 Px, y 与原点 0,0 之间x直线的斜率，利用数形结合可知当点P 运动到 A 点时，斜率最大即可确定y 的最大值x15. 【答案】 (1, )【解析】不等式组表示的平面区域为矩形 ABCD及其内部，点 B（3，1），目标函数可看作是直线 y=-ax+z 在 y 轴上的截距，要使截距在点 B 处最大需有考点：线性规划的应用。zaxy(a0)a1 即 a1 。16. 【答案】 2【解析】先求圆的半径，四边形PACB的最小面积是2，转化为三角形PBC的面积是1，求出

17、切线长，再求PC的距离也就是圆心到直线的距离，可解k 的值西安恒谦教育科技股份有限公司第10页恒谦教育研究院圆 C : x2y22 y0 的圆心（ 0，1），半径是 r=1 ，由圆的性质知： S四边形 PACB2SVPBC ，四边形 PACB的最小面积是 2，S PBC1rd （d 是切线长）， d最小值2 ，min12圆心到直线的距离就是PC的最小值， 122255,Q k 0， k 2 .1k2考点：直线和圆的位置关系；点到直线的距离公式17. 【答案】（1） xy10；（2） x20 或 4x3y50 .试题分析：（1）因为与直线 xy10 平行，所以可将直线设为xyc0 ，再将点P 2

18、,1 代入，解得 c ，即得直线方程；（2）因为直线过定点 P( 2,1) ，所以可将直线设为斜率不存在或是斜率存在的两种形式，当 x 2 时，判断距离是不是等于 1，当斜率存在时，可设直线 y 1 k x 2 ，利用点到直线的距离等于 1，解出斜率 k ，求直线方程 .试题解析：（1）设直线方程为 xyc0，将 P( 2,1) 代入得 c1，即所求直线方程是xy10（2）若直线 l 的斜率不存在，则过 P 的直线为x2 ，到 A 的距离为 1，满足题意；若直线 l 的斜率存在，设为 k ，则 l 的方程为 kxy2k 1 0 . 由 A 到直线 l 的距离为 1，可得 | k 22k 1|

19、k 3 |1 . 解得 k4 .k21k 213西安恒谦教育科技股份有限公司第11页恒谦教育研究院所以直线方程为4x3y50 .综上得所求的直线方程为x20 或 4x3 y50 .考点：直线方程【解析】18. 【答案】（）或；（）或.试题分析：（）对斜率的存在和不存在进行分类再运用点到直线的距离公式建立方程求解；（）借助题设条件运用点到直线的距离公式建立方程求解 . 试题解析：（）当斜率不存在时，方程x=1 满足条件；当 L1 斜率存在时，设其方程是y=k（x-1 ）, 则，解得，所以所求方程是x=1 和 3x-4y-3=0;（）由题意，直线斜率存在且不为0，设其方程是 y=k（x-1 ）,

20、则圆心到直线的距离 d=，此时 k=1 或 k=7，所以所求直线方程是或.考点：直线与圆的位置关系及综合运用【易错点晴】本题考查和检测是直线与圆的位置关系的基础知识和基本方法 . 求解时充分借助题设条件 , 运用了直线与圆相切的条件和直线与圆相交所截得的弦长的条件求出满足题设条件的直线的方程 . 需要强调的是 : 本题在设置时 , 特别注意到直线的点斜式的运用的条件问题 , 当直线的斜率 存在时 , 可以运用直线的点斜式方程西安恒谦教育科技股份有限公司第12页恒谦教育研究院；若直线的斜率不存在 , 则不能运用直线的点斜式方程, 但直线的方程还是存在的 , 即是这是许多学生容易忽视的地方.【解析

21、】19.【答案】设搭载产品 A x 件，产品 B y 件，预计总收益 z80x60y.20 x30 y 300则10 x5 y 110，作出可行域，如图 .xN , yN作出直线 l0：4x3y0 并平移，由图象得，当直线经过M 点时 z 能取得最大值，2 x3 y302 xy,22解得 x9, ，即 M(9,4).y4所以 zmax80×960×4960(万元 ).答：搭载产品 A 9 件，产品 B 4 件，可使得总预计收益最大，为960 万元 .【解析】20. 【答案】（1） 2,3 ；（ 2） 3x2y12 试题分析：（1）由中点坐标公式 . 点在直线上列出方程组即可

22、得到顶点 B的坐标；（2）设出点 A a,b 然后根据对称性列出方程即可求出 A 的坐标进而得出直线的方程试题解析：（1）设 B x, y AB 的中点 N ( x5 , y 1) 在 CM 上， B 点在 BN 上22西安恒谦教育科技股份有限公司第13页恒谦教育研究院2 x 5y 15 0所以22xy 50解得 B 2,3（2）设 A 点关于直线 BN 对称点 Aa, bb1a1则 a 55b 1 5 022解得 A4,0A ， B 都在直线 BC 上故直线 BC 为 3x2y12考点：直线的方程，对称问题【解析】21. 【答案】（1） 3,02（） 252 5 或 k（2）3295x 3.

23、k3xy3374247试题分析：（1）通过将圆 C1 的一般式方程化为标准方程即得结论；（2）设当直线 l 的方程为 y=kx，通过联立直线 l 与圆 C1 的方程，利用根的判别式大于 0. 韦达定理 . 中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；（3）通过联立直线 L 与圆 C1 的方程，利用根的判别式=0 及轨迹 C的端点与点（ 4，0）决定的直线斜率，即得结论试题解析：（1）圆 C1 : x2y2 6x 5 0 化为 x324，所以圆 C1 的圆心坐标为 3,0y2（2）设线段 AB 的中点( x0 , y0 ) ，由圆的性质可得 C1垂直于直线 l . 设直线 l 的方

24、程为y mx （易知直线 l 的斜率存在），所以 kC1m1， y0mx0 ，所以y0y01 ，所x0 3x0西安恒谦教育科技股份有限公司第14页恒谦教育研究院2232y0 2 9 . 因为动直线 l3m以 x03x0y00 ，即 x0与圆 C1 相交，所以2，m2241所以24222422425m5. 所以 y0m x05x0，所以 3x0 x05x0，解得 x03或 x00 ，又因为3，所以 52y0 2 90 x0x03 . 所以 M ( x0 , y0 ) 满足 x035x03 ，即的轨迹324332y 295C 的方程为 xx3 .243（3）由题意知直线 L 表示过定点 T (4,

25、0) ，斜率为 k 的直线 . 结合图形，3295525y2x 3 表示的是一段关于 x 轴对称，起点为按逆时针方向x43,323运动到5,2 5 3 3的圆弧 . 根据对称性，只需讨论在 x 轴对称下方的圆弧 . 设 P 5,2 5 ，33253k4k则 k PT3525，而当直线 L 与轨迹 C 相切时， 223 ，解得 k3 . 在这里暂47k1243取 k3，因为 253 ，所以 kk .474结合图形， 可得对于 x 轴对称下方的圆弧， 当 0 k2 5 或 k3 时，直线 L 与 x 轴对称74下方的圆弧有且只有一个交点，根据对称性可知：当2 5k 0 或 k3 时，直线 L74西

26、安恒谦教育科技股份有限公司第15页恒谦教育研究院与 x 轴对称上方的圆弧有且只有一个交点 . 综上所述，当直线 L: y k x 4 与曲线 C 只有一个交点 .2 5k2 5 或 k3 时，774考点：轨迹方程；直线与圆的位置关系【解析】22. 【答案】（1） x2y24 ；（2） k 0；（3） Smax7试题分析：（1）设圆心为 C (a, a) ，半径为 r 故 | AC | AB | r ，建立方程，从而可求圆C 的方程；（2）利用向量的数量积公式， 求得 POQ120，计算圆心到直线 l 的距离 d ，即可求解实数 k 的值；（3）方法 1. 设圆 O 到直线 l , l1 的距离

27、分别为 d , d1 ，求得 d12d 21，根据垂径定理和勾股定理， 可得 | PQ |24d2 ,| MN | 24d12 ，在利用基本不等式，可求四边形 PMQN 面积的最大值；方法2. 利用弦长公式216k212，|PQ |1k| x1x2 |k 21161216 12k2k2|MN |11k 21，表示三角形的面积， 在利用基本不等式， 可求四边形 PMQN 面k2积的最大值试题解析：（1）设圆心为 C (a, a) ，半径为 r 故 | AC | AB | r ，易得 a0, r2 ，因此圆的方程为 x2y24 uuuruuur22uuur uuur2uuuruuurPOQ ，（2

28、）因为 OP OQcos OP,OQ，且 OP 与 OQ 的夹角为故 cosPOQ1， POQ120 ，所以 C 到直线 l 的距离 d1 ，又 d112，所以 k0 2k 2又解：设 P(x1 , y1) ， Q( x2 , y2 ) ，则uuuruuur2 ，即 x1x2y1 y22 ，OPOPykx1x1x22k22k 2 1由 x2y24 得(1 k) x2kx 3 0，3，x1 x2k21西安恒谦教育科技股份有限公司第16页恒谦教育研究院代入 12122 得 k2， k0 ；x xy y0（3）设圆心 O 到直线 l ,l1 的距离分别为 d, d1 ，四边形 PMQN 的面积为 S

29、 因为直线 l ,l1 都经过点 (0,1) ，且 l l1 ，根据勾股定理，有 d12 d2 1，又故| PQ | 2 4 d 2 ,| MN | 24 d12 ，S12 4 d 22 4 d122 16 4( d 2d12 ) d2 d122 12 d 2 d122212( d 2d12)221217 当且仅当 d1d 时，等号成立，所以 Smax7 24（3）又解：由已知S12| x116k212，| PQ | MN | ，由（ ）的又解可得 | PQ | 1 kx2 |222k116121612k 2同理可得 | MN |k 2，11k 21k2 S2(4 k 23)(43k 2 )4

30、( k 21)13( k 21) 1( k21)22(k2 1)2212k 22121217 ，22112(k1)k224k2当且仅当 k21 时等号成立，所以 Smax7 考点：直线与圆的方程的应用；点到直线的距离公式的应用；圆的标准方程【方法点晴】本题主要考查了直线的方程与圆的方程的应用. 点到直线的距离公式的应用，同时着重考查了向量的数量积的运算和圆的性质. 四边形面积的计算和基本的运用，属于中档试题解答的关键是准确表达| PQ |,| MN |的长度，正确表示四边形PMQN的面积合理运用基本不等式求解四边形PMQN 面积的最值，同时注意基本不等式等号成立的条件【解析】西安恒谦教育科技股

31、份有限公司第17页恒谦教育研究院23. 【答案】（）x228 ；（）证明见解析； l : x 2 y 70 y2试题分析：由 ABAD 且点1,1 在边 AD 所在的直线上得直线 AD的方程，联立直线AD , AB 方程得交点 A 的坐标，则题意可知矩形 ABCD 外接圆圆心为2,0 ，半径 r PA ，可得外接圆方程；（）由 l 可知 l 恒过点 Q25 8 ，可证 l 与圆相交，3,2 ，求得 QP求得 l 与圆相交时弦长 MN ，经检验， MNl 时弦长最短，可得 kMN ，进而得 kl ，最后可得直线 l 方程试题解析：（1） lAB : x3y60且 ADAB ， kAD3 ，点 1

32、,1在边 AD 所在的直线上， AD 所在直线的方程是 y 13 x1 ，即 3x y20由 x3y60,得 A 0,2 3xy20 AP44 22 ，矩形ABCD 的外接圆的方程是2y28 x 2（2）证明：直线 l 的方程可化为 k2xy4 xy50 ，l 可看作是过直线2xy40和 xy 50 的交点3,2的直线系，即 l 恒过定点 Q 3,2 ，由 QP2(32)22258 知点 Q 在圆 P 内，所以 l 与圆 P 恒相交，设 l 与圆 P 的交点为 M , N , MN2 8d 2 （ d 为 P 到 l 的距离），设 PQ 与 l 的夹角为，则 dPQ ·sin5sin，当90 时， d 最大， MN 最短此时 l的斜率为 PQ 的斜率的负倒数，即1 ，故 l 的方程为 y21 x 3 ，即22l : x 2 y70 考点：圆的标准方程；直线与圆相交【解析】24. 【答案】（1）x2y40（2）xy30西安恒谦教育科技股份有限公司第18页恒谦教育研究院(1) 如图，设 OA a， OB b， ABO的面积为 S，则 S 1 ab，并且直线 l 的截距2式方程是 xy 1，ab由直线通过点 (2 ，1) ，得21 ，所以a 1 b.ab121