圆锥曲线方程知识点总结精品资料

1、§8.圆锥曲线方程知识要点一、椭圆方程.1. 椭圆方程的第一定义：PF 1PF 22aF1F 2方程为椭圆 ,PF 1PF 22aF1F 2无轨迹 ,PF 1PF 22aF1F 2 以F1,F 2为端点的线段椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x 轴上：ii. 中心在原点，焦点在y 轴上：x2y 21(ab0) .b 2a 2y 2x 21(ab0) .a 2b 2一般方程：Ax2 By 2 1(A 0, B 0) .椭圆的标准方程：x 2y 2a 21 的参数方程为b2顶点： (a,0)(0, b) 或 (0,a)( b,0).轴：对称轴： x 轴， y 轴；长轴长2a ，短轴

2、长焦点： (c,0)(c,0) 或 (0, c)( 0, c) .xa cos （一象限应是属于 0） .yb sin22b .焦距： F 1F 22c, ca 2 b 2 .准线：xa 2a 2c或 y.c离心率： ec (0 e1) .a通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标： d2b2(b2b2)a 2c,)和 (c,aa 共 离 心 率 的 椭 圆 系 的 方 程 ： 椭 圆 x 2y 21(a b0)的 离 心 率 是 ec (ca 2 b2 ) ， 方 程a 2b2ax 2y 2t (t 是大于 0 的参数， a b 0) 的离心率也是 ec我们称此方程为共离心率的椭圆系方程

3、.a 2b 2a若 P 是椭圆： x2y21 上的点 . F 1,F 2 为焦点，若F 1PFPF 1F 2 的面积为 b 2 tan，则（用b 22a22余弦定理与PF 1PF 22a 可得） . 若是双曲线，则面积为2cot .b2 y二、双曲线方程.1. 双曲线的第一定义：PF 1PF 22aF1F2方程为双曲线PF 1PF 22aF1F2无轨迹PF 1PF 22aF 1F 2 以F 1, F 2 的一个端点的一条射线(bcos , bsin)( acos , asin )N x 双曲线 标准方程：x 2y21(y 2x20) .ab2a, b 0),1(a, b2a2b2N的轨迹是椭圆

4、一般方程： Ax2 Cy 2 1( AC0) . i. 焦点在 x 轴上：顶点： (a,0), (a,0)焦点： (c,0), (c,0)准线方程 xa 2渐近线方程：xy0或x 2y 20caba2b 2ii.焦点在 y 轴上：顶点： (0, a), (0, a) .焦点： (0, c), (0,c) . 准线方程： ya2.渐近线方程： yx0 或 y 2x20，caba 2b2参数方程：xasec或 xb tan.yb tanya sec轴 x, y 为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距 2c.c离心率 e.a准线距 2a 2（两准线的距离）；通径2b 2.ca参数关系 c 2a

5、 2b 2 , ec .a等轴双曲线：双曲线x2y2a2 称为等轴双曲线，其渐近线方程为yx ，离心率 e2.共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲222y22y2线 . xy与 x互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：x0 .b 2a 2b2a 2b2a2共渐近线的双曲线系方程：x 2y 2(0) 的渐近线方程为x 2y 20 如果双曲线的渐近线为a2b 2a 2b2xy0 时，它的双曲线方程可设为x2y2(0) .aba2b2y例如：若双曲线一条渐近线为y1 x 且过 p(3,1 ) ，求双曲线的方程？432221解：令双曲线的方程为：x2y 2

6、(0)，代入 (3,1 ) 得x2y 2.53x1F14282F2直线与双曲线的位置关系：3区域：无切线，2 条与渐近线平行的直线，合计2 条；区域：即定点在双曲线上，1 条切线， 2 条与渐近线平行的直线，合计3 条；区域： 2 条切线， 2 条与渐近线平行的直线，合计4 条；区域：即定点在渐近线上且非原点，1 条切线， 1 条与渐近线平行的直线，合计2 条；区域：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.小结： 1.过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条 .2.若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入“ ”法与渐近线求交和两根之

7、和与两根之积同号 .若 P 在双曲线 x 2y 21，则常用结论a 2b 21：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.PF 12： P 到焦点的距离为m = n，则 P 到两准线的距离比为m n. 简证：d 1emd 2PF 2=.ne三、抛物线方程.3. 设 p 0 ，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：y 22 pxy 22 pxx 22 pyx 22 py图形 yyy yxxxxOOOO焦点F ( p ,0)F (p ,0)F (0, p )F (0,p )2222准线xpxpypp222y2范围x 0, y Rx 0, y Rx R, y 0x R, y 0对称轴x 轴y 轴顶点

8、（0，0）离心率e 1焦点PFpx1px1PFpy1PFp2PF2y122注： ay2bycx 顶点 ( 4acb 2b ) .4a2a22(0)P2Py则焦点半径 PFx; x2 py( p0) 则焦点半径为 PFy.px p22通径为 2p，这是过焦点的所有弦中最短的. y22 px （或 x22py ）的参数方程为x2 pt 2（或 x2 pt）（ t 为参数） .y2 pty2 pt 2四、圆锥曲线的统一定义.4. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F 和定直线 l 的距离之比为常数 e 的点的轨迹 .当 0e1 时，轨迹为椭圆；当e1 时，轨迹为抛物线；当e1 时，轨迹为双曲线；当e0

9、 时，轨迹为圆（ ec ，当 c0, a b 时） .a注： 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质椭圆双曲线抛物线1到两定点 F1,F2 的距离之和为定1到两定点 F1,F2 的距离之差的值 2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹绝对值为定值2a(0<2a<|F1 F2 |)的定义点的轨迹2与定点和直线的距离之比为定2与定点和直线的距离之比为与定点和直线的距离值 e 的点的轨迹 .（ 0<e<1）定值 e 的点的轨迹 .（ e>1）相等的点的轨迹 .标准x2y2 1( a b >0)x2y 2方方程1(a>0,b>0)y2=2pxa2b

10、2a 2b2参数xa cosxasecx2 pt2程方程yb sinyb tan(t 为参数 )参数 为离心角）(参数 为离心角）y2 pt(范围ax a， by b|x|a， yRx 0中心原点 O（0， 0）原点 O（0， 0）顶点(a,0), ( a,0)(0,b) , (0, b)(a,0),( a,0)(0,0)对称轴x 轴， y 轴；长轴长 2a,短轴长 2bx 轴，y 轴 ;实轴长 2a, 虚轴长 2b.x 轴焦点F1(c,0), F 2( c,0)F1(c,0), F2( c,0)F (p,0)2焦距2c （c=a 2b2 ）2c （c=a 2b 2 ）离心率c(0e 1)c1

11、)e=1ee(eaa准线a2a 2xpx=x=cc2渐近线bxy= ±a焦半径r aexr(exa)rpx2通径2b22b 22paa焦参数a2a2Pcc圆锥曲线一 . 基本概念练习： 1、已知点 P 在抛物线 y2 = 4x 上，那么点 P 到点 Q（ 2， 1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为2、已知点 P 是抛物线2y 2x02P 到该抛物线准线的距上的一个动点，则点 P 到点（ ， ）的距离与离之和的最小值为3、抛物线 yax2 (a0) 的焦点坐标是，准线方程是。焦点和准线的形式统一性二、各种不同的考法考点一：考方程形式练习： 1、 mn 0”

12、是”方程 mx2ny21表示焦点在 y 轴上的椭圆”的（）（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（ C）充要条件(D)既不充分也不必要条件 高2、设椭圆 x2y21（ m0 ， n0 ）的焦点与抛物线y28x 的焦点相同，离心率为1 ，则此m2n22椭圆的方程为3、曲线 mx2y21的虚轴长是实轴长的两倍，则m4、如果x2ky22 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是5、椭圆x28y21的离心率为1 ，则 k 的值为 _k926、当 5m6 时，曲线x2y2x2y2）10m1 与曲线5 m 91 的（6 mmA 离心率相等B焦距相等C焦点相同D 形状相同考点二：求圆锥曲线的方程，直译法； 代定系数法； 定义法； 已知渐近线方程为 yk x ，求双曲线方程练习： 1、两点 A（ -2 ， 0）， B（ 1， 0），如果