四年级奥数——高斯求和精品资料

1、第3讲高斯求和德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1 2 3 4 99 100？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：5050。高斯为什么算得又快1 100 2 99 398 49 5250 51。1 100 正好可以分成这样的50 对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为（ 1+100）× 100÷ 2 5050。小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项

2、称为首项，最后一项称为 末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列 ，后项与前项之差称为 公差。例如：（ 1） 1， 2， 3，4， 5， 100；（ 2） 1， 3， 5，7， 9， 99；（ 3） 8， 15，22， 29， 36， 71。其中（ 1）是首项为 1，末项为 100，公差为 1 的等差数列； （ 2）是首项为 1，末项为 99，公差为 2 的等差数列；（ 3）是首项为 8，末项为 71，公差为 7 的等差数列。由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式 ：和=（首项 +末项）×项数÷ 2。项数 =（末项 - 首项）÷公差 +1。末项 =首项 +公

3、差×（项数 -1 ）。对于任意一个项数为奇数的等差数列来说，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项和末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数。即为中项定理【例题讲解及思维拓展训练】例 1 12 3 1999？分析与解 ：这串加数1， 2， 3， 1999 是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999 个数。由等差数列求和公式可得原式 =（ 11999）× 1999÷ 2 1999000。注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。【思维拓展训练一】1、 1112 13 31？分析与解 ：这串加数 11， 12，

4、 13， 31 是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11 121（项）。原式 =（ 11+31）× 21÷ 2=441。2、 3 7 11 99？分析与解 ： 3， 7，11， 99 是公差为4 的等差数列，项数 =（ 99 3）÷ 4 125，原式 =（ 3 99）× 25÷ 2 1275。例 2 求首项是 25，公差是 3 的等差数列的前 40 项的和。解：末项 =25 3×（ 40-1 ） 142，和 =（ 25 142）× 40÷ 2 3340。利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可以解决各

5、种与等差数列求和有关的问题。【思维拓展训练二】1、求首项是34，公差是5 的等差数列的前50 项的和。例 3 在下图中，每个最小的等边三角形的面积是 12 厘米 2，边长是 1 根火柴棍。问：（ 1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（ 2）整个图形由多少根火柴棍摆成？分析：最大三角形共有8 层，从上往下摆时，每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表：由上表看出，各层的小三角形数成等差数列，各层的火柴数也成等差数列。解：（ 1）最大三角形面积为（ 1 3 5 15）× 12（ 1 15）× 8÷ 2× 12 768（厘米 2）。（2）火柴棍的数目为3 6 9

6、+24（ 3 24）× 8÷ 2=108（根）。答：最大三角形的面积是768 厘米 2，整个图形由108 根火柴摆成。【思维拓展训练三】1、盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3 只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球， 将每只球各变成 3 只球后放回盒子里第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成 3 只球后放回到盒子里。这时盒子里共有多少只乒乓球？分析与解 ：一只球变成3 只球，实际上多了2 只球。第一次多了2 只球，第二次多了2× 2 只球第十次多了2×10 只球。因此拿了十次后，多了2× 1 2

7、5; 2 2× 10 2×（ 1 2 10） 2× 55 110（只）。加上原有的3 只球，盒子里共有球1103 113（只）。综合列式为：（ 3-1 ）×（ 12 10） 3 2×（ 1 10）× 10÷2 3113（只）。例题 4 建筑工地有一批砖，码成如下图的形状，最上层2 块砖，第2 层 6 块砖，第3 层 10 块砖，依次每层都比它上面一层多4 块砖，已知最下一层2106 块砖，问中间一层有多少块砖？这堆砖共有多少块？【思维拓展训练三】1、求从 1 到 2000 的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差。2、连续

8、九个自然数的和为54，则以这九个自然数的末项作为首相的连续九个自然数的和是多少？【课堂巩固训练题】1. 计算下列各题：（ 1） 2 4 6 200；（ 2） 17 19 21 39；（ 3） 5 8 11 14 50；（ 4） 3 10 17 24 101。2. 求首项是 5，末项是 93，公差是 4 的等差数列的和。3. 求首项是 13，公差是 5 的等差数列的前 30 项的和。4. 时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟也敲一下。问：时钟一昼夜敲打多少次？5. 求 100 以内除以 3 余 2 的所有数的和。6. 在所有的两位数中，十位数比个位数大的数共有多少个？7、 100 个连续自然数（从小到大排列）的和是 8450，取出其中第 1 个，第 3 个，第 99 个数，再把剩下的 50 个数相加，和是多少？8、把 210 拆成 7