复旦第六版《高等数学》教案-第09章-重积分

1、第十章多元函数积分学（）教学目的：1、理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，知道二重积分的中值定理。2、掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法。3、掌握计算三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算方法。4、会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、重心、转动惯量、引力等）。教学重点：1、二重积分的计算（直角坐标、极坐标）；2、三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算。3、二、三重积分的几何应用及物理应用。教学难点：1、利用极坐标计算二重积分；2、利用球坐标计算三重积分；3、物理应用中的引力问题。第一节二重积分一、二重积分的概念1 曲顶柱体的体积设有一立体它

2、的底是 xOy 面上的闭区域线平行于z 轴的柱面它的顶是曲面z f(x y)D它的侧面是以这里 f(x y) 0 且在D 的边界曲线为准线而母D 上连续这种立体叫做曲顶柱体现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积首先用一组曲线网把D 分成 n 个小区域边界曲线为准线作母线平行于z 轴的柱面12n 分别以这些小闭区域的这些柱面把原来的曲顶柱体分为n 个细曲顶柱体在每个i 中任取一点(ii)以f (ii)为高而底为i 的平顶柱体的体积为f (ii)i (i1 2n )这个平顶柱体体积之和nVf (i ,i )ii 1可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值为求得曲顶柱体体积的精确值将分割加密只需取极限即nV

3、lim0 i 1f (i ,i )i其中是个小区域的直径中的最大值2 平面薄片的质量设有一平面薄片占有xOy 面上的闭区域D它在点 (xy)处的面密度为(x y) 这里 (xy) 0 且在 D 上连续现在要计算该薄片的质量M用一组曲线网把D 分成 n 个小区域12n把各小块的质量近似地看作均匀薄片的质量( ii)i各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值nM( i , i )ii 1将分割加细取极限得到平面薄片的质量nM lim(i ,i )i0 i 1其中 是个小区域的直径中的最大值定义 设 f(x y)是有界闭区域D 上的有界函数将闭区域 D 任意分成 n 个小闭区域12n其中i 表示第

4、i 个小区域 也表示它的面积在每个i 上任取一点 (ii ) 作和nf (i ,i )ii1如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时这和的极限总存在则称此极限为函数f(x y)在闭区域 D 上的二重积分记作f (x, y)d即Df (x, y)dlimnf (i ,i )iD0 i 1f(xy)被积函数 f( xy)d 被积表达式d面积元素xy 积分变量 D 积分区域积分和直角坐标系中的面积元素如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D那么除了包含边界点的一些小闭区域外其余的小闭区域都是矩形闭区域设矩形闭区域i 的边长为 xi 和 yi则ixi yi因此在直角坐标系中有时也把面积元素d记

5、作 dxdy而把二重积分记作f ( x, y)dxdyD其中 dxdy 叫做直角坐标系中的面积元素二重积分的存在性当 f(xy)在闭区域D 上连续时积分和的极限是存在的也就是说函数 f(x y)在 D 上的二重积分必定存在我们总假定函数f(x y) 在闭区域 D 上连续所以f(x y)在 D 上的二重积分都是存在的二重积分的几何意义如果 f(x y) 0被积函数 f(x y)可解释为曲顶柱体的在点(x y)处的竖坐标所以二重积分的几何意义就是柱体的体积如果f( xy)是负的柱体就在xOy面的下方二重积分的绝对值仍等于柱体的体积但二重积分的值是负的二、 二重积分的性质性质 1kf ( x, y)

6、dkf (x, y)dDD性质 2设 c1、 c2 为常数则c1 f ( x, y)c2 g(x, y)dc1f ( x, y)dc2g( x, y)dDDD性质 3如果闭区域D 被有限条曲线分为有限个部分闭区域则在 D 上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和例如 D 分为两个闭区域D1 与 D2则f ( x, y)df (x, y)df (x, y)dDD1D2性质 41 ddDD( 为D的面积)性质 5如果在 D 上 f(x y) g(x y)则有不等式f ( x, y)dg(x, y)dDD性质 6|f (x, y)d| f ( x, y)|dDD性质 7(二重积分的中值定理)设

7、函数 f(x y)在闭区域D 上连续为 D 的面积则在D 上至少存在一点()使得f ( x, y)df ( , )D§9 2二重积分的计算法一、利用直角坐标计算二重积分X型区域D1(x)y2(x)axbY型区域D1(x)y2(x)cyd混合型区域设 f(x y) 0D( xy)|1(x)y2(x) ax b此时二重积分f (x, y)d在几何上表示以曲面 z f(xy)为顶以区域 D 为底的曲顶D柱体的体积对于 x0ab曲顶柱体在x x0 的截面面积为以区间 1(x0)2(x0 )为底、以曲线z f(x0 y)为曲边的曲边梯形所以这截面的面积为A(x0)2 (x0 )1(x0 )f

8、( x0 , y)dy根据平行截面面积为已知的立体体积的方法得曲顶柱体体积为Vbb2(x)f ( x, y)dydxaA( x)dx1 (x)a即Vfx y db2( x)f x y dy dx(, )1(x)(,)Da可记为f (x, y)db2( x)f (x, y)dydx1(x)Da类似地如果区域 D为Y型区域D1(x) y2(x) cy d则有f (x, y)dd dy2 ( y)f (x, y)dxDc1 (y)例1 计算xyd其中 D 是由直线 y1、x2 及 y x 所围成的闭区域D解画出区域D方法一可把 D看成是 X型区域 1 x 21y x于是xyd2x22 xdx121

9、x4x29xydydx x y(x3 x)dx2D111212 1242 18xyd2x2xydy注积分还可以写成1dxxydyxdxD111解法 2也可把 D 看成是 Y型区域 1y 2 yx2于是222x22232 y429xydxydxdy yy)dy y2 y dy1(2 y818D1y12例 2计算y 1x2y2 d其中 D 是由直线 y1、 x1 及 yx 所围成的闭区域D解画出区域 D可把D看成是 X型区域1 x 1 x y1于是1111311y 1x2 y2 ddxy 1x2y2 dy(1x2y2) 2 1xdx(| x|3 1)dxD1x313121(x31)dx13 02也

10、可D看成是Y型区域：1 y 11 x<y于是y 1x2y2 d1y1x2y2 dx1ydy1D例 3计算 xyd其中 D 是由直线 y x2 及抛物线 y2x 所围成的闭区域D解 积分区域可以表示为D D 1+D2其中 D1 : 0 x 1,x yxD2 : 1 x 4, 2 yx于是xyd1xxydy4xdxdxxxydyD0x12积分区域也可以表示为D1 y 2y2 x y 2 于是xyd2dyy2222 2dy12y5dyy2xydx xy yy y( y 2)2D112211y44y32 y2y6252431 586讨论积分次序的选择例 4求两个底圆半径都等于的直交圆柱面所围成的

11、立体的体积解设这两个圆柱面的方程分别为x2 y22 及 x2 z22利用立体关于坐标平面的对称性只要算出它在第一卦限部分的体积V1 然后再乘以8 就行了第一卦限部分是以D( xy)| 0 yR2x2 , 0x 为底以 zR2x2顶的曲顶柱体于是V 8 R22RR2 x2R22R22R 2 x2xd8 dx0xdy 8 R xy0dxD008R16 R3(R2 x2)dx03二利用极坐标计算二重积分有些二重积分积分区域 D 的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便且被积函数用极坐标变量、表达比较简单这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分f (x, y)dDn按二重积分的定义f (x, y)dli

12、mf ( i ,i )iD0 i1下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式以从极点 O 出发的一族射线及以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域 D 分为 n 个小闭区域 小闭区域的面积为i1(ii )212i1(2ii )ii2i2i2i( ii )iiii2i其中i 表示相邻两圆弧的半径的平均值在i 内取点(i , i ) 设其直角坐标为 ( ii)则有ii cos iii sin inn于是limf (i ,i )ilimf (i cosi ,isin i)iii0 i 10 i1即f (x, y)df ( c o s , s i n ) d dDD若积分区域D 可表示为1()2( )

13、则f ( cos,sin)d dd2 ( )cos,sin)d1(f (D)讨论 如何确定积分限 ?f (cos,sin)ddd()cos,sin)df (D0f (cos,sin)dd2d()cos,sin)d00f (D例 5计算e x2y 2dxdy其中 D 是由中心在原点、半径为a 的圆周所围成的闭区D域解 在极坐标系中闭区域 D 可表示为0a02于是ex2y2e2d d2ae2d21e2 adxdy0d020 dDD01(1ea 22d(1ea 2)2)0注此处积分e x2y2dxdy 也常写成e x2y 2dxdyDx2y 2a2利用e x2y2dxdy(1e a2) 计算广义积分

14、0e x 2dxx2 y2 a 2设 D1( xy)|x2y2R2x0y0D2 ( x y)|x2 y2 2R2 x 0 y 0S ( x y)|0x R 0yR显然 D1S D2由于 e x2y20从则在这些闭区域上的二重积分之间有不等式e x2 y2dxdye x2y2dxdye x2y2dxdyD1SD2因为e x2y2dxdyR e x 2dxR e y2dy(Re x2dx) 2S000又应用上面已得的结果有e x2y2dxdy4(1e R2)e x2y 2dxdy4(1 e 2R 2)D1D 2(1e R 2Re x2dx)2(1e 2R2)于是上面的不等式可写成4) (04令 R

15、上式两端趋于同一极限4从而ex2dx20例 6求球体 x2 y2 z24a2 被圆柱面 x2y22ax 所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积解由对称性立体体积为第一卦限部分的四倍V 44a2 x2y2 dxdyD其中 D 为半圆周 y2axx2及 x 轴所围成的闭区域在极坐标系中 D 可表示为02a cos02V 4 4a22 d d 4 2 d2acos2 d于是4a2D0032 a22 (1sin 3 )d32 a2 (22)3033§9 3三重积分一、三重积分的概念定义 设 f(x y z)是空间有界闭区域上的有界函数将 任意分成 n 个小闭区域v1 v2vn其中vi 表示

16、第 i 个小闭区域 也表示它的体积在每个vi 上任取一点 ( i i i) 作乘积 f(niii)vi(i 1 2n)并作和f ( i , i , i )vi如果当各小闭区域的直径中的最大值i 1趋于零时这和的极限总存在则称此极限为函数f(xy z)在闭区域 上的三重积分记作f (x, y, z)dv即nf (x, y, z)dvlimf ( i , i ,i )vi0 i 1三重积分中的有关术语积分号f( x yz)被积函数f(xy z)dv被积表达式dv 体积元素x yz积分变量积分区域在直角坐标系中如果用平行于坐标面的平面来划分则 vixiyizi 因此也把体积元素记为 dv dxdyd

17、z三重积分记作f (x, y, z)dvf ( x, y, z)dxdydzn当函数 f (x y z)在闭区域上连续时极限 limf ( i , i ,i ) vi是存在的0 i 1因此 f(xy z)在 上的三重积分是存在的以后也总假定f(x yz)在闭区域上是连续的三重积分的性质与二重积分类似比如c1 f (x, y, z)c2g( x, y, z)dv c1f (x, y,z)dvc2 g(x, y, z)dvf ( x, y, z)dvf (x, y, z)dvf (x, y, z)dv1212dv V其中 V 为区域的体积二、三重积分的计算1 利用直角坐标计算三重积分三重积分的计算

18、三重积分也可化为三次积分来计算设空间闭区域可表为z1(xy)z z2(xy)y1 (x)yy2 (x) a x b则z2(x, y)f x y z dvfxy z dz d( , )( , ) Dz1 (x, y)bdxy2 (x)z2 (x, y)az1(x,y)f ( x, y, z)dzdyy1( x)bdxy2 (x)z2 (x, y)f ( x, y, z)dzadyz1( x,y)y1( x)f (x, y, z)dvby( x)z( x, y)f (x, y, z)dz即dx2dy2ay1(x)z1(x,y)其中 D : y1(x)yy2(x)a xb它是闭区域在 xOy 面上的

19、投影区域提示设空间闭区域可表为z1(x y) z z2(x y) y1 (x) y y2 (x) a x b计算f (x, y, z)dv基本思想对于平面区域 Dy1(x) yy2(x)axb 内任意一点 (xy)将 f(xy z)只看作 z 的函数在区间 z1(x y) z2(xy)上对 z 积分得到一个二元函数 F(xy)F (x, y)z2 (x, y)z1 (x, y)f (x, y,z)dz然后计算 F( x y)在闭区域 D 上的二重积分这就完成了 f(xy z)在空间闭区域上的三重积分F (x, y)dz2 (x, y)f (x, y, z)dzdby2 (x)z2 ( x, y

20、)dxf ( x, y, z)dzdyDDz1(x, y)ay1(x)z1(x,y)f x y z dvz2 (x, y)则f x y z dz d( , )(, )z1 (x, y)Dbabay2 (x)z2 (x, y)dxf ( x, y, z)dzdyy1( x)z1(x,y)y2 (x)dyz2 (x, y)dxf ( x, y, z)dzy1( x)z1( x,y)by(x)z (x,y)f (x, y, z)dz即f (x, y, z)dvdx2dy 2ay1 (x)z1 (x, y)其中 D : y1(x) y y2(x) a xb它是闭区域在 xOy 面上的投影区域例 1 计

21、算三重积分xdxdydz其中为三个坐标面及平面x 2y z 1 所围成的闭区域解 作图区域 可表示为 :0z1 x 2y0 y 1 (1 x) 0 x 1211x1x 2 yxdxdydz2dyxdz于是dx00011 xxdx2(1x2y)dy00112x23)dx1(xx484 0讨论其它类型区域呢 ?有时我们计算一个三重积分也可以化为先计算一个二重积分、再计算一个定积分设空间闭区域( x yz)|(xy)D zc1z c2 其中 D z是竖坐标为 z的平面截空间闭区域所得到的一个平面闭区域则有f (x, y, z)dvc2f (x, y, z)dxdydzc1D z例 2计算三重积分z2

22、dxdydz其中是由椭球面 x2y2z2 1 所围成的空间闭a2b2c2区域解 空间区域可表为 :x2y21z2cz ca2b22ccz2dzdxdyc24abc3于是z2dxdydzab (1z2 )z2dzcD zcc15练习1将三重积分 If (x, y, z)dxdydz 化为三次积分其中2 2(1) 是由曲面 z 1 x y z 0 所围成的闭区域(2) 是双曲抛物面 xy z 及平面 x y 1 0 z 0 所围成的闭区域(3) 其中 是由曲面z x2 2y2 及 z 2 x2 所围成的闭区域2将三重积分 If (x, y, z)dxdydz 化为先进行二重积分再进行定积分的形式其

23、中由曲面 z 1 x2 y2z 0 所围成的闭区域2 利用柱面坐标计算三重积分设 M(x y z)为空间内一点并设点 M 在 xOy 面上的投影P 的极坐标为P()则这样的三个数、 z 就叫做点M 的柱面坐标这里规定、 z 的变化范围为0<02<z<坐标面00z z0 的意义点 M 的直角坐标与柱面坐标的关系xcosxcosysinz zysinzz柱面坐标系中的体积元素dvd d dz简单来说dxdyd ddxdydz dxdy dzd ddz柱面坐标系中的三重积分f ( x, y, z)dxdydzf (cos ,sin,z) d d dz例 3 利用柱面坐标计算三重积分zdxdydz其中是由曲面z x2 y2 与平面 z 4 所围成的闭区域解 闭区域可表示为2z 4 02 02于是zdxdydzz dd dz22410d0d2 zdz2128 21620642633 利用球面坐标计算三重积分224)dd(1600设 M(x y z)为空间内一点则点 M 也可用这样三个有次序的数r 、 、来确定其中r 为原点 O 与点 M 间的距离为 OM 与 z 轴正向所夹的角为从正 z 轴来看自 x 轴按逆时针方向转到有向线段OP 的角 这里 P 为点 M 在 xOy 面上的投影这样