分析力学之虚功原理

1、第十三讲第十三讲虚虚 功功 原原 理理本讲导读本讲导读 约束的概念约束的概念 自由度和广义坐标自由度和广义坐标 实功实功, 虚功和虚功虚功和虚功(虚位移虚位移)原理原理 拉格朗日乘子与约束力拉格朗日乘子与约束力一、为什么要学习分析力学一、为什么要学习分析力学? 前面是按前面是按“牛顿方式牛顿方式”研究力学问题研究力学问题, , 它着重分析力、动量、它着重分析力、动量、速度、加速度、角动量、力矩等矢量速度、加速度、角动量、力矩等矢量, , 称作称作“矢量力学矢量力学”. . 它运它运用牛顿运动定律处理力学问题用牛顿运动定律处理力学问题, , 称作称作“牛顿力学牛顿力学”. . 实际力学系统往往存

2、在限制实际力学系统往往存在限制( (约束约束),),而约束力又取决于运动情而约束力又取决于运动情况况, ,它们作为未知量出现于运动方程中它们作为未知量出现于运动方程中, , 牛顿方式对于受约束的牛顿方式对于受约束的力学系统并不方便力学系统并不方便. . 建立了运动方程建立了运动方程, ,并不意味大功告成并不意味大功告成. .因为还没有一般方法求得因为还没有一般方法求得运动微分方程的解运动微分方程的解. . 如何寻找方程的积分以及利用这些积分如何寻找方程的积分以及利用这些积分, ,如何如何定性研究解的结构和定量地进行计算定性研究解的结构和定量地进行计算, ,这些都是力学中极为重要的这些都是力学中

3、极为重要的课题课题. .牛顿方式在这些问题上会遇到困难牛顿方式在这些问题上会遇到困难 研究光、电磁场、微观粒子等物理现象时研究光、电磁场、微观粒子等物理现象时, ,整个牛顿力学的基本整个牛顿力学的基本观念都受到了挑战观念都受到了挑战. .在人们不得不承认新的物理事实在人们不得不承认新的物理事实相对论效相对论效应应, ,波粒二象性等之后波粒二象性等之后, ,就需要在古典力学理论中寻找这样一种理论就需要在古典力学理论中寻找这样一种理论, ,它能较顺利地超越古典概念的束缚它能较顺利地超越古典概念的束缚, ,自然地跳向非古典力学自然地跳向非古典力学相相对论力学、量子力学等对论力学、量子力学等分析力学分

4、析力学analytical mechanics 一般力学的一个分支。以广义坐标为描述质点系的变量，以虚位移原理和达朗贝尔原理为基础，运用数学分析方法研究宏观现象中的力学问题。1788年出版的J.-L.拉格朗日的分析力学为这门学科奠定了基础。1834年和1843年W.R.哈密顿建立了哈密顿原理和正则方程，把分析力学推进一步。1894年H.R.赫兹提出将约束和系统分成完整的和非完整的两大类，从此开始非完整系统分析力学的研究。分析力学的基本内容是阐述力学的普遍原理，由这些原理出发导出质点系的基本运动微分方程，并研究这些方程本身以及它们的积分方法。近20年来，又发展出用近代微分几何的观点来研究分析力学

5、的原理和方法。分析力学是经典物理学的基础之一，也是整个力学的基础之一。它广泛用于结构分析、机器动力学与振动、航天力学、多刚体系统和机器人动力学以及各种工程技术领域，也可推广应用于连续介质力学和相对论力学。分析力学的发源1788年拉格朗日出版的分析力学是世界上最早的一本分析力学的著作。分析力学是建立在虚功原理和达朗贝尔原理的基础上。两者结合，可得到动力学普遍方程，从而导出分析力学各种系统的动力方程。17601761年，拉格朗日用这两个原理和理想约束结合，得到了动力学的普遍方程，几乎所有的分析力学的动力学方程都是从这个方程直接或间接导出的。1834年，汉密尔顿推得用广义坐标和广义动量联合表示的动力

6、学方程，称为正则方程。汉密尔顿体系在多维空间中，可用代表一个系统的点的路径积分的变分原理研究完整系统的力学问题。从1861年有人导出球在水平面上作无滑动的滚动方程开始，到1899年阿佩尔在理性力学中提出阿佩尔方程为止，基本上已完成了线性非完整约束的理论。20世纪分析力学对非线性、不定常、变质量等力学系统作了进一步研究，对于运动的稳定性问题作了广泛的研究。分析力学的主要内容：导出各种力学系统的动力方程，如完整系统的拉格朗日方程、正则方程，非完整系统的阿佩尔方程等；探求力学的普适原理，如汉密尔顿原理、最小作用量原理等；探讨力学系统的特性；研究求解运动微分方程的方法，例如，研究正则变换以求解正则方程

7、；研究相空间代表点的轨迹，以判别系统的稳定性等。分析力学解题法和牛顿力学的经典解题法不同，牛顿法把物体系拆开成分离体，按反作用定律附以约束反力，然后列出运动方程。分析力学中也可用变分原理(如汉密尔顿原理)导出运动微分方程。它的优点是可以推广到新领域(如电动力学)和应用变分学中的近似法来解题。从20世纪60年代开始，为了设计复杂的航天器和机器人的需要，发展多刚体系统，并且跳出了使用动力学函数求导的传统方法来建立动力学方程，所建立的方程能方便地应用电子计算机进行计算。在量子力学未建立以前，物理学家曾用分析力学研究微观现象的力学问题。从1923年起，量子力学开始建立并逐步完善，才在微观现象的研究领域

8、中取代了分析力学。但是，掌握分析力学的一些基本知识有助于学好量子力学。例如用分析力学知识求出汉密尔顿函数，再化成汉密尔顿算符，又自汉密尔顿-雅可比方程化成波动力学的基本方程薛定谔方程等。爱因斯坦提出相对论时，也曾把分析力学的一些方法应用于研究速度接近光速的相对论力学。 分析力学是数学、力学研究者为克服上述困难所取分析力学是数学、力学研究者为克服上述困难所取得的成果的一部分得的成果的一部分, 在一定程度上解决了上述问题在一定程度上解决了上述问题(并末并末全部解决全部解决,有关的研究现在还在继续有关的研究现在还在继续). 它给出了力学系统它给出了力学系统在完全一般性的在完全一般性的广义坐标广义坐标

9、下具有不变形式的动力学方程下具有不变形式的动力学方程组，并突出了组，并突出了能量函数能量函数的意义的意义. 分析力学概括了比牛顿力学广泛得多的系统分析力学概括了比牛顿力学广泛得多的系统, 分析力分析力学的数学形式有着极好的性质学的数学形式有着极好的性质, 它不仅提供了解决天体力它不仅提供了解决天体力学及一系列动力学问题的较佳途径学及一系列动力学问题的较佳途径, 同时给同时给量子力学的发量子力学的发展提供了启示展提供了启示, 最适于成为引向现代物理的跳板最适于成为引向现代物理的跳板. 其其最小最小作用量原理提供了建立相对论力学和量子力学最简练而作用量原理提供了建立相对论力学和量子力学最简练而富有

10、概括性的出发点富有概括性的出发点. 直到最近直到最近, 分析力学在非线性非完整系统中的研究分析力学在非线性非完整系统中的研究, 非保守系统中奇异吸引子的发现以及有关非保守系统中奇异吸引子的发现以及有关“浑沌浑沌”现象现象的研究等等的研究等等, 正在丰富分析力学的内容正在丰富分析力学的内容, 且大大开阔它的且大大开阔它的应用范围应用范围.二、约束的概念二、约束的概念 机械运动是物体空间位置随着时间的推移而变动机械运动是物体空间位置随着时间的推移而变动, 对对机械运动所加的强制性的限制条件叫作机械运动所加的强制性的限制条件叫作约束约束. 一个质点可用矢径一个质点可用矢径r或三个坐标表示或三个坐标表

11、示, n个质点组成的个质点组成的系统系统, 则由则由n个矢径或个矢径或3n个坐标描述个坐标描述, 它们确定每一时刻它们确定每一时刻各质点的各质点的位置位置以及质点组的以及质点组的形状形状确定系统的确定系统的位形位形. 约束条件对运动的限制由一些力来体现约束条件对运动的限制由一些力来体现, 这些力一般这些力一般不是给定的不是给定的, 而是与运动状况有关的未知力而是与运动状况有关的未知力. 因此因此, 对于动对于动力学问题力学问题, 约束也应作为一个基本因素加以考虑约束也应作为一个基本因素加以考虑. 位形不能决定系统的位形不能决定系统的“力学状态力学状态”, 仅由某时刻的位仅由某时刻的位形不能预言

12、在下一个时刻系统的位形形不能预言在下一个时刻系统的位形. 对于对于n个质点的系个质点的系统，还需知道统，还需知道n个速度矢量才能确定系统的状态个速度矢量才能确定系统的状态 给定了某一时刻的给定了某一时刻的坐标和速度坐标和速度, 由动力学方程原则上由动力学方程原则上单值地确定该时刻的加速度单值地确定该时刻的加速度, 因而能够唯一地确定下一因而能够唯一地确定下一个时刻个时刻(或前一个时刻或前一个时刻)的坐标和速度的坐标和速度, 以此类推以此类推, 当知道当知道某一时刻的某一时刻的状态状态, 就知道了系统在任一时刻的状态就知道了系统在任一时刻的状态 几乎所有的力学系统都存在着约束几乎所有的力学系统都

13、存在着约束。 例如例如, 刚体内刚体内任意两质点间距离不变任意两质点间距离不变, 两个刚体用铰链连接两个刚体用铰链连接, 轮子无滑轮子无滑动地滚动动地滚动, 两个质点用不可伸长的绳连接等等两个质点用不可伸长的绳连接等等. 对状态的对状态的限制也就是对力学系统内各质点的位置和速度加以限制限制也就是对力学系统内各质点的位置和速度加以限制, 其数学表示式是其数学表示式是(5.1)0,;,321321trrrrrrrrfnn 约束方程约束方程, 坐标和速度必需满足的条件称为坐标和速度必需满足的条件称为约束条件约束条件. 某些约束仅对力学系统的几何位置加以限制某些约束仅对力学系统的几何位置加以限制, 而

14、对各质点的而对各质点的速度没有限制速度没有限制, 这种约束称为这种约束称为几何约束几何约束, 其数学表示式是其数学表示式是(5.2)0;,321trrrrfn例如，刚体内任意两点间的距离保持不变就是一种几何约束例如，刚体内任意两点间的距离保持不变就是一种几何约束. 对于涉及力学系统运动情况的约束对于涉及力学系统运动情况的约束, 即对速度也有限制的即对速度也有限制的, 则则称为称为运动约束运动约束, 其中显含速度其中显含速度. 例如半径为例如半径为R的圆柱在地面上沿着的圆柱在地面上沿着直线作无滑动地滚动直线作无滑动地滚动. 这意味着着地点的速度为零这意味着着地点的速度为零.00Rx运动约束亦称为

15、运动约束亦称为微分约束微分约束或或速度约束速度约束 几何约束的约束方程虽然不显含速度几何约束的约束方程虽然不显含速度项项, 但实际上它在对位置限制的同时也但实际上它在对位置限制的同时也对系统的速度给予了限制对系统的速度给予了限制, 事实上事实上, 由式由式(5.1)对时间求全导数对时间求全导数, 得得022ijjirrr(5.3)0dddddd31tftzzftyyftxxfiiiiniii 有些运动约束又可以通过积分成为几何约束，例如圆柱无滑有些运动约束又可以通过积分成为几何约束，例如圆柱无滑动地滚动的约束方程很容易积分为动地滚动的约束方程很容易积分为CRx0化成几何约束的约束方程化成几何约

16、束的约束方程. 可积分的运动约束与几何约束在物理实质上没有区别可积分的运动约束与几何约束在物理实质上没有区别, 合称为合称为完完整约束整约束. 不可积的运动约束不可积的运动约束, 即不能化为几何约束的运动约束即不能化为几何约束的运动约束, 它它们在物理实质上不同于几何约束们在物理实质上不同于几何约束,称为称为非完整约束非完整约束. 几何约束几何约束和和运动约束运动约束的分类是按数学表达形式来分类的分类是按数学表达形式来分类, 完完整约整约束束和和非完整约束非完整约束的分类是按物理实质来分类的分类是按物理实质来分类. 对非完整约束举例对非完整约束举例 具有尖锐边缘的薄圆盘在具有尖锐边缘的薄圆盘在

17、粗糙粗糙面上无面上无滑动地滚动滑动地滚动, 则则圆盘的着地点的速度为零圆盘的着地点的速度为零. 薄圆盘的盘面是可以转动的薄圆盘的盘面是可以转动的, 但如盘面始但如盘面始终保持竖直终保持竖直, 着地点的速度为零着地点的速度为零,可表为可表为 00Rv把上式投影到把上式投影到x轴和轴和y轴上轴上,得得 0sin0cos00RyRx式中式中x0和和y0是盘心的坐标是盘心的坐标. 这两个微分关系是不能积分的这两个微分关系是不能积分的.因为因为当薄圆盘沿着长度各不相同的不同闭合曲线循行一周回到原当薄圆盘沿着长度各不相同的不同闭合曲线循行一周回到原处时，盘心坐标处时，盘心坐标(x0，y0)和角和角 都可以

18、回复到原来的值，但都可以回复到原来的值，但 却未却未必也恰好回复原值必也恰好回复原值. 这就是说，在这就是说，在x0, y0, 和和 之间并不存在一种确之间并不存在一种确定不变的关系定不变的关系. 这种运动约束是不可能积分的这种运动约束是不可能积分的. 再考虑一个冰面上滑行的冰刀的简化模型再考虑一个冰面上滑行的冰刀的简化模型. 假定将冰刀抽象为以假定将冰刀抽象为以刚性轻杆相连的两个质点刚性轻杆相连的两个质点,并设两质点质量相等并设两质点质量相等, 杆长为杆长为l, 当冰刀当冰刀在冰面上运动时在冰面上运动时, 质心质心(杆的中点杆的中点)的速度只能沿杆的方向的速度只能沿杆的方向. 选两质选两质点

19、在冰面上的坐标为点在冰面上的坐标为(x1,y1)和和(x2,y2)，则约束条件为，则约束条件为212121212221221yyxxyyxxlyyxx前一个约束条件反映杆长不变前一个约束条件反映杆长不变, 是几何约束是几何约束, 即完整约束即完整约束. 后一个约后一个约束条件反映质心速度沿杆的方向束条件反映质心速度沿杆的方向, 是运动约束是运动约束; 由于它是不可积的由于它是不可积的, 即不能化为几何约束即不能化为几何约束, 因而是非完整约束因而是非完整约束. 后一个约束也可表为后一个约束也可表为21212121ddddyyxxyyxx这意味这意味着它着它是对无限小变化的是对无限小变化的限制限

20、制. 约束还分为约束还分为稳定约束稳定约束和和不稳定约束不稳定约束. 稳定约束不直接依赖于稳定约束不直接依赖于时间时间, 其数学表达式不显含时间其数学表达式不显含时间; 不稳定约束则明显依赖于时间不稳定约束则明显依赖于时间, 其数学表达式显含时间其数学表达式显含时间. 此外，约束还可分为单侧约束此外，约束还可分为单侧约束(可解约束可解约束)和双侧约束和双侧约束(不可解不可解).单侧约束只在某一侧限制系统的运动单侧约束只在某一侧限制系统的运动, 至于向另一侧的运动则是至于向另一侧的运动则是 完全自由的完全自由的. 例如单摆的不可伸长的悬绳限制摆球不得向绳伸长例如单摆的不可伸长的悬绳限制摆球不得向

21、绳伸长的方向运动，但向绳缩短的方向运动却是自由的的方向运动，但向绳缩短的方向运动却是自由的. 单侧约束的数单侧约束的数学表示式是不等式学表示式是不等式, 一般可写为一般可写为 (5.3)0,;,321321trrrrrrrrfnn称为约束不等式称为约束不等式. 单侧约束是有可能解除的单侧约束是有可能解除的. 约束是否解除或者何约束是否解除或者何时解除时解除, 需要从运动方程解出约束力需要从运动方程解出约束力, 再从约束力的指向是否正确再从约束力的指向是否正确来判断来判断. 双侧约束限制着不论哪一侧的运动双侧约束限制着不论哪一侧的运动,其数学表示式是其数学表示式是 (5.1)或或(5.2)所示的

22、约束方程所示的约束方程.三、约束力三、约束力 根据牛顿定律根据牛顿定律, , 一切影响质点机械运动的因素都归一切影响质点机械运动的因素都归结为力结为力. . 因此约束作用也可以归结为力因此约束作用也可以归结为力. . 约束力的大小约束力的大小随力学系统违背约束的趋势的不同而自动调节随力学系统违背约束的趋势的不同而自动调节, , 使约束使约束条件总是得以满足条件总是得以满足. . 因此出因此出现在运动方程中的约束力不现在运动方程中的约束力不可能预先给定可能预先给定, , 它只能从运动它只能从运动方程方程并结合约束方程解出并结合约束方程解出来来. . 一般将作一般将作用于第用于第i个质点的约束力个

23、质点的约束力记作记作Ri, 而把作用而把作用于同于同一质点的其余的力称为主动力，记作一质点的其余的力称为主动力，记作Fi. 有的资料有的资料把约束力称为约束反力，因为这种力是体现约束条件的把约束力称为约束反力，因为这种力是体现约束条件的实体跟违背约束趋势对抗的反作用力实体跟违背约束趋势对抗的反作用力.阻碍物体运动的周围物体周围物体约束约束与约束反力的概念约束与约束反力的概念约束对物体的作用力称为约束反力约束反力简称反力反力几类平面约束约束绳索、链条、皮带绳索、链条、皮带1、柔性体约束、柔性体约束绳索的约束反力沿绳索中心线，离沿绳索中心线，离开物体，为拉力。开物体，为拉力。2、光滑面约束、光滑面

24、约束光滑接触的约束反力通过接触点，沿接触面通过接触点，沿接触面在该点的公法线方向，在该点的公法线方向，为压力。为压力。3、圆柱铰链约束、圆柱铰链约束固定铰支座固定铰支座的约束反力通过销钉中心，在垂直销通过销钉中心，在垂直销钉轴线的平面内，方向不钉轴线的平面内，方向不定。定。销钉销钉中间铰中间铰滚动铰支座滚动铰支座滚动铰支座的约束反力通过销钉中心，垂直于支通过销钉中心，垂直于支承面，指向物体。承面，指向物体。简化表示：约束力表示：4、连杆支座、连杆支座 连杆支座的约束力沿连杆中心线，指向不沿连杆中心线，指向不定。定。二力构件：受两力作用平衡的构件F FF F连杆连杆5、固定端约束、固定端约束烟筒

25、，电线杆，悬臂粱，机床的卡盘固定端约束的约束反力作用在固定端的一个力，和一个作用在固定端的一个力，和一个力偶，力的方向不定力偶，力的方向不定活动铰支座活动铰支座固定铰支座固定铰支座物体的受力分析物体的受力分析确定构件受几个力，每个力的作用位置和力的作用方向，这种分析过程称为物体的受力分析。主动力：已知的力被动力：约束反力取分离体-将所要研究的物体从周围的物体中分离出来，单独画出它的简图。画受力图-将施力物体对研究对象的作用力全部画出来。受力分析的步骤：F FF FF FF FF FF FF FF F例.画各构件的受力图二力构件P PF FF FP P P PF FF FF FF FF FF F

26、F FF FF FF FF FF FF F画受力图必须注意以下几点：1.明确研究对象2.正确确定研究对象受力数目3.正确画出约束反力4.注意物体间相互作用力的方向无论是静力学问题还是动力学问题，在求解时，都需首先分析物体的受力情况。故而，物体的受力分析是力学的基础，也是力学的重点。四、自由度和广义坐标四、自由度和广义坐标n个质点系统由个质点系统由n个位矢个位矢rl, r 2, , rn确定，或由确定，或由N3n个个直角坐标，直角坐标，(x1，yl，z1) , , (xn，yn，zn)表示表示. 如果该系如果该系统存在统存在m个完整约束个完整约束那么，在那么，在N个坐标之中，有个坐标之中，有m个

27、坐标可以从方程组个坐标可以从方程组(5.4) “解出解出”, 即有即有m个坐标可用其余个坐标可用其余N-m个坐标表出，因此个坐标表出，因此只剩下只剩下s=N-m个独立坐标个独立坐标.(5.4),1,2,(0;,321mitrrrrfni 系统的独立坐标的个数系统的独立坐标的个数s叫作叫作 系统在有限系统在有限运动中的运动中的自自由度由度单值地确定一个系统的位形所必需的独立量的单值地确定一个系统的位形所必需的独立量的数目数目. 每一个完整约束方程使力学系统减少一个独立坐标每一个完整约束方程使力学系统减少一个独立坐标, 也就是说也就是说, 使有限运动的自由度降低一使有限运动的自由度降低一. 独立坐

28、标并不一定在原来的独立坐标并不一定在原来的N个坐标中挑选个坐标中挑选, 完全可完全可以自由地选定以自由地选定. 这一组独立参数叫作力学系统的这一组独立参数叫作力学系统的广义坐标广义坐标. 既然广义坐标描写的力学系统的几何形象一定满足既然广义坐标描写的力学系统的几何形象一定满足系统的完整约束条件系统的完整约束条件, 在引用广义坐标之后在引用广义坐标之后, 就不必再把就不必再把完整约束方程另外提出来完整约束方程另外提出来. 一般来说一般来说, 广义坐标不再三个一组地组成矢量广义坐标不再三个一组地组成矢量, 其量纲也不其量纲也不一定是长度量纲一定是长度量纲. 例如被约束在球面上的质点可用经度和纬度这

29、例如被约束在球面上的质点可用经度和纬度这两个角度作为广义坐标两个角度作为广义坐标. 凡可以确定力学系统几何形象的任何物凡可以确定力学系统几何形象的任何物理量理量, 都可造作广义坐标都可造作广义坐标. 广义坐标表征系统的位形，广义坐标表征系统的位形， ),1,2,()(isi tqqi其随时间的变化率称为广义速度其随时间的变化率称为广义速度. 显然显然, 广义速度的量纲也不一广义速度的量纲也不一定是速度量纲定是速度量纲. 对于只有完整约束的力学系统来说不仅对于只有完整约束的力学系统来说不仅s个广义个广义坐标全是独立的坐标全是独立的, 而且而且s个广义速度也全是独立的个广义速度也全是独立的.系统的

30、运动可表达为广义坐标系统的运动可表达为广义坐标q1, q2, , qs随时间的变化随时间的变化, 即有即有(5.5),1,2,(,21iini qqqrrs 如果力学系统除了如果力学系统除了m个完整约束外，还存在个完整约束外，还存在k个非完整约束个非完整约束, 则则这时并不能解出这时并不能解出k个坐标个坐标. 所以所以非完整约束不能减少独立坐标的个非完整约束不能减少独立坐标的个数数, 但非完整约束却会减少独立速度分量的个数但非完整约束却会减少独立速度分量的个数. 这意味着减少独这意味着减少独立的坐标无限小变化的个数立的坐标无限小变化的个数. 我们称我们称独立速度分量的个数为力学系独立速度分量的

31、个数为力学系统在统在无限无限小运动中的自由小运动中的自由度度. 不论是完整约束还是非完整约束不论是完整约束还是非完整约束, 都都能使力学系能使力学系统得统得无限小运动中的无限小运动中的自由度自由度降低一降低一. 总之总之, n个质点的力学系统个质点的力学系统, 若存在着若存在着m个完整约束个完整约束和和k个非完整约束个非完整约束, 那么那么, 质点的直角坐标数质点的直角坐标数N3n, 广义广义坐标个数等于坐标个数等于N-m, 运动运动自由度等于自由度等于N-m-k. 对于只存在对于只存在完整约束的系统完整约束的系统 (k0), 广义坐标的个数就是广义坐标的个数就是运动运动自由自由度度. 如果存

32、在非完整约束如果存在非完整约束(k0), 广义坐标的个数大于广义坐标的个数大于运运动动自由度自由度. 运用广义坐标后运用广义坐标后, 不再需要考虑完整约束不再需要考虑完整约束,但但非完整约束仍需考虑非完整约束仍需考虑, 并应将它用相应的广义速度表示并应将它用相应的广义速度表示.五、虚功原理五、虚功原理1 实位移和虚位移实位移和虚位移质点由于运动实际发生的位移质点由于运动实际发生的位移, 叫做实位移叫做实位移. 用用dr表示表示.想象的质点在约束许可情况下发生的位移想象的质点在约束许可情况下发生的位移, 叫做叫做虚位移虚位移. 用用 r表表示示. 虚位移只决定于质点在此时的位置和加在它上面的约束

33、虚位移只决定于质点在此时的位置和加在它上面的约束, 而而不是由于时间变化所引起的不是由于时间变化所引起的. 虚位移和实位移的区别是实位移要满足运动方程虚位移和实位移的区别是实位移要满足运动方程, ,而虚位移而虚位移只需要满足约束只需要满足约束. . 在稳定约束下在稳定约束下, ,实位移是无限多虚位移中的一实位移是无限多虚位移中的一个个. . 而在不稳定约束时而在不稳定约束时, , 可能二者不一致可能二者不一致. .设有设有n个质点的系统个质点的系统, 存在存在m个完整约束个完整约束, 其约束方程其约束方程 ),1,2,(0),(21mi trrrfni设设 是满足约束条件的虚位移是满足约束条件

34、的虚位移, 则则nrrr, ,21 ),1,2,(0),(2211mi trrrrrrfnni对对 ri 作多元函数的泰勒展开作多元函数的泰勒展开(t 被被“冻结冻结”), 略去二次以上的略去二次以上的项项, ),1,2,(0),(121mj rtrrrfininji满足上式的一组满足上式的一组 ri就是虚位移就是虚位移. 而真实位移而真实位移dri是一个在时间是一个在时间dt间隔中完成的位移间隔中完成的位移, 为使其为使其满足约束条件满足约束条件, 必须必须 ),1,2,(0)d,d,d,d(2211mi ttrrrrrrfnni于是得于是得 ),1,2,(0d/d1mj ttfrfjini

35、ji是约束对真实位移的限制条件是约束对真实位移的限制条件, 即时间不被即时间不被“冻结冻结”的可能位的可能位移应满足的条件移应满足的条件. 如约束是稳定的如约束是稳定的, 虚实虚实位移位移相同相同.虚位移与实位移比较表虚位移与实位移比较表 虚位移虚位移实位移实位移共同点共同点 为约束所允许为约束所允许为约束所允许为约束所允许不同点不同点1）与主动力、作用时间、初始条件无关；）与主动力、作用时间、初始条件无关；2）是可能位移，可有多个或无穷多个；）是可能位移，可有多个或无穷多个；3）无限微量。）无限微量。与左边三个因素有关唯一的，方向与左边三个因素有关唯一的，方向确定有限量确定有限量表示方表示方

36、法法用变分符号表示。用变分符号表示。如如 等等用微分符号表示。用微分符号表示。如如 等等相互关相互关系系在定常约束情况下，实位移是虚位移中的一在定常约束情况下，实位移是虚位移中的一个。个。虚位移的计算虚位移的计算虚位移的计算主要指求质点系中各质点的虚位移之间虚位移的计算主要指求质点系中各质点的虚位移之间的关系。有几何法和解析法两种。的关系。有几何法和解析法两种。几何法几何法直接利用约束条件求各点虚位移之间关系直接利用约束条件求各点虚位移之间关系的一种方法。约束条件是指几何关系、运动关系。的一种方法。约束条件是指几何关系、运动关系。解析法解析法用坐标变分的方法来求各点虚位移之间关用坐标变分的方法

37、来求各点虚位移之间关系的一种方法。系的一种方法。2 虚功虚功 作用在质点上的力在任意虚位移作用在质点上的力在任意虚位移 r中所作得功中所作得功, 叫叫做虚功做虚功. 如果作用在一个力学系统上所有作用反力在任意如果作用在一个力学系统上所有作用反力在任意虚位移中所作得虚功之和为零虚位移中所作得虚功之和为零, ,即即(5.6)01niiirR那么系统受到得约束叫做那么系统受到得约束叫做理想约束理想约束. 一切光滑接触以及一切光滑接触以及刚体等都是理想约束刚体等都是理想约束. 例例1:质点沿质点沿固定固定的光滑曲面运动的光滑曲面运动, 约束方程为约束方程为0),(zyxf质点的虚位移应满足质点的虚位移

38、应满足0),(),(),(zzzyxfyyzyxfxxzyxfzzyxfyzyxfxzyxfR),(,),(,),(即虚位移垂直于曲面的法向即虚位移垂直于曲面的法向( ). 由于约束面是光滑的由于约束面是光滑的, 约束力沿曲面的法向约束力沿曲面的法向, 即即zfyfxf,因此虚功为因此虚功为0),(),(),(zzzyxfyyzyxfxxzyxfrRW例例2: 质点沿运动的光滑曲面运动质点沿运动的光滑曲面运动, 约束方程为约束方程为0),(tzyxf质点的虚位移应满足质点的虚位移应满足0zzfyyfxxf即虚位移仍垂直于曲面的法向即虚位移仍垂直于曲面的法向. 而而 约束力沿曲面的法向约束力沿曲

39、面的法向, 所以虚功所以虚功也仍为零也仍为零.注意注意, 这里约束力所作的真实的功并不为零这里约束力所作的真实的功并不为零,因为真实位移因为真实位移dr满足满足0ddddttfzzfyyfxxf它并不垂直于曲面的法向它并不垂直于曲面的法向. 约束力的虚功为零约束力的虚功为零, 这完全是因为虚位这完全是因为虚位移在移在“冻结冻结”了的了的( t0)曲面的切平面上曲面的切平面上.例例3:质点约束在光滑曲线上运动质点约束在光滑曲线上运动. 这种情形可以看成质点约束在两这种情形可以看成质点约束在两个光滑曲面上的运动个光滑曲面上的运动, 其约束方程为其约束方程为0),(0),(21tzyxftzyxf质点的虚位移应满足质点的虚位移应满足00222111zzfyyfxxfzzfyyfxxf质点的虚位移应满足质点的虚位移应满足00222111zzfyyfxxfzzfyyfxxf这也是约束力和虚位移垂直的情况这也是约束力和虚位移垂直的情况. 故虚功为零故虚功为零.例例