有关圆锥曲线的经典结论04625

1、说明：圆锥曲线我们并未学完，有些内容（如焦半径公式），将此资 料发到群里是想让大家在日常学习过程中自我感悟使用，不要过分纠 结于此！有关解析几何的经典结论一、椭圆1 .点P处的切线PT平分aPFFz在点P处的外角.2 . PT平分PFFz在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点 的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3 .以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.4 .以焦点半径PE为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5 .若月（即儿）在椭圆£ + ± = 1上，则过外的椭圆的切线方程是 a" bN+*i.cr6,若4（x0,y。）在椭圆£ +

2、 E = l外，则过P。作椭圆的两条切线切点为 cr b.Pi、P2,则切点弦PR的直线方程是？ +邪=1. cr lr7,椭圆二+二=i （a>b>0）的左右焦点分别为E, F2,点P为椭圆 a 旷上任意一点NRPF? = /，则椭圆的焦点角形的面积为S巧叫=b2 tan.8 .椭圆£+1 = 1 （a>b>0）的焦半径公式：a 夕I MR =a + exQ$ MF2 l=a-%（E（-gO）,入（c,。）"（x。,%） 9 .设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一 个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N 两

3、点，则MF_LNF.10 .过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A】、A?为椭圆长轴上的顶点,AF和AzQ交于点M, A2P和上Q交于点N,则MF_LNF.11 . AB是椭圆二+4=1的不平行于对称轴的弦，M（x。）为AB的中点, cr r则 'kAB =2 »12 .若尼（孙九）在椭圆£+E=i内，则被Po所平分的中点弦的方程是 cr b2a1 b2 a2 b2 >13 .若凡（x0,y。）在椭圆£ + E = l内，则过Po的弦中点的轨迹方程是x2十V _ %工十a2 h2 a2 b2二、双曲线1 .点P处的切线PT平分PFR在点P处

4、的内角.2 . PT平分PFF?在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3 .以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.4 .以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内 切：P在右支；外切：P在左支)5 .若外(毛,打)在双曲线二一二=1 (a>0, b>0)上，则过外的双曲 a b-线的切线方程是邛-滓=1.a2 b26 .若丹(不,九)在双曲线二一二=1&>0,13>0)外，则过Po作双 a b"曲线的两条切线切点为Pi、P2,则切点弦PR的直线方程是 v_)v = 1a2 b2 .7

5、 .双曲线:二=i (a>0,b>o)的左右焦点分别为R, F2,点 cr 夕P为双曲线上任意一点/PF2 =7,则双曲线的焦点角形的面积 y 为 spf2 =b2cot-.8 .双曲线二二=1 (a>0,b>o)的焦半径公式："(-.0), a- b-工(c,0)当 Af (不,打)在右支上时，IMFX1= ex。+a,l MF 1= exa - a.当 M(x0,y。)在左支上时，161=%,+“，MF2=-exiy-a9 .设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲 线长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的双 曲线准线于M、N两点

6、,则MFJ_NF.10 .过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q,卜、A2 为双曲线实轴上的顶点，AiP不口 A2Q交于点M, A2P牙口 AiQ交于 AN,则 MFJLNF.11 . AB是双曲线4-二=1 （a>0,b>0）的不平行于对称轴的弦， cr 方M（x。,），。）为AB的中点，则（加降8=岸匕 即38=少、12 .若兄（不,打）在双曲线二-二=1 （a>0, b>0）内，则被Po所平 cr lr分的中点弦的方程是 父-邛=%-工. cr ly cr r13 .若410，光）在双曲线£一£ = 1 （a>0,b>0）内

7、，则过P。的弦 cr lr中点的轨迹方程是£-£=芈-纯. cr lr cr椭圆与双曲线的对偶性质一（会推导的经典结论）椭 圆1 .椭圆二十二=1 （a>b>o）的两个顶点为 A（-g0）, A,（a,0）,与 y cr b一轴平行的直线交椭圆于P2时AP与A2P2交点的轨迹方程是 2）cr lr2 .过椭圆£ + £ = 1 （a>0, b>0）上任一点A（x。,），。）任意作两条倾 cr b一斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且 即（常数）3 .若P为椭圆1+;=1 （a>b>0）上异于长轴端点的任

8、一点，R, cr b'F 2 是焦点，/PFR=a, /PF、F、=0 ,则上:= tan3cot”. -a+c 224 .设椭圆£ + 1 = 1 （a>b>0）的两个焦点为E、F2,P （异于长 IT轴端点）为椭圆上任意一点，在中，记N"PF,=a,NP"居=夕，N"F,P = 7，则有：na_ sin p+sin/5 .若椭圆二十二=1 (a>b>0)的左、右焦点分别为用、F2,左 a- b-准线为L,则当OVeW尤-1时，可在椭圆上求一点P,使得PB是P到对应准线距离d与PF?的比例中项.6 . P为椭圆二+

9、77; = 1 (a>b>0)上任一点，E,F2为二焦点，A为 4- b，椭圆内一定点,则2a-IAEKIPAI + IPKK2a+IA"l,当且仅当A,F?,P三点共线时，等号成立.7 .椭圆上？匚+ 士_卫.=1与直线A + Bv + c：。有公共点的充要 a b条件是 42a2 + B2b2 > (Ax0 + By。+ C)2.8,已知椭圆二十二=1 (a>b>0), 0为坐标原点，P、Q为椭圆上 a- b两动点，LOPIOQ. (1)L- + 1= ± + ± (2) |0P|2+|0Q|2 I OP I2 OQ2 a1 b2

10、的最大值为胆(3) S.Q的最小值是，4T.9,过椭圆£ + £ = 1 (a>b>0)的右焦点F作直线交该椭圆右支 cr b'于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P,则I MN I 210.已知椭圆£ +=1 ( a>b>0),A、B、是椭圆上的两点，幻 b-线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,O),则 a2-b2a2-h2-<.<11.设P点是椭圆£+£ = 1 ( a>b>0)上异于长轴端点的任一 cr 1r9 A2点,Fl、F2为其焦点记N"PE=e,则用一_

11、(2) 1 + cos 6tan -12.设A、B是椭圆£+E = l ( a>b>0)的长轴两端点，P是椭 “一 b-2a2b277cot/. b- -a-圆上的一点，ZPAB = af NPBA = /3, NBPA = y, c、e 分别是椭 圆的半焦距离心率，则有(1) |尸4|=2加1 . cr Leos- 7tan atan/7 = 1 - 2. (3) Sy.13 .已知椭圆二十二=1 ( a>b>0)的右准线/与x轴相交于点E, a b过椭圆右焦点尸的直线与椭圆相交于A、B两点，点。在右准线/上，且8C_Lx轴，则直线AC经过线段EF的中点.1

12、4 .过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相 交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15 .过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点 与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16 .椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦 半径之比为常数e(离心率).(注：在椭圆焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)17 .椭圆焦三角形中，内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18 .椭圆焦三角形中，半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.双曲线1 .双曲线£-E = l ( a > 0,b > 0 )的两个顶点为 a

13、b4(-,0), 4(,0),与y轴平行的直线交双曲线于PiR时AR 与A2P2交点的轨迹方程是£ + E = l. cr b-2 .过双曲线=-二=1 (a>0, b>o)上任一点AG，)，。)任意作 cr ir两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有 定向且嗫=-”(常数).3 .若P为双曲线:-二=1 (a>0,b>0)右(或左)支上除顶 cr b-点外的任一点，Fi, F 2是焦点，NP"8=a, 4PF?F=。,则c-a a p / v c-a p a、=tan co t (双=tan co t ) c+a 22 c+a 22

14、4 .设双曲线二一二=1 (a>0,b>0)的两个焦点为R、F2,P (异 cr b-于长轴端点)为双曲线上任意一点，在PFE中，记4F、PF、=a ,/PF冉=0 ,= y , 则 有sin a c =e ±(sin/-sin 夕) a5 .若双曲线二一二=i (a>0,b>0)的左、右焦点分别为B、 a 夕F2,左准线为L,则当1VeW7?+l时，可在双曲线上求一 点P,使得PE是P到对应准线距离d与PF?的比例中项.6 . P为双曲线二1 = 1 (a>0,b>0)上任一点，E,F?为二焦 cr b-点，A为双曲线内一定点，则IAF22,闫尸

15、AI + IP耳I,当且仅当4,尸三点共线且P和4,尼在y轴同侧时，等号成立.7 .双曲线二-二=1 (a>0, b>0)与直线+ C = 0有公共 cr lr点的充要条件是A2a2 - B-b1 < C'.8 .已知双曲线W 二=1 (b>a >0), 0为坐标原点，P、Q a- b-为双曲线上两动点，JeLoploq.(1)“ +3* =一2；(2)|01，0。|2的最小值为黑纥； OP h OQ r cr lr-cr(3) 的最小值是4.y-cr9 .过双曲线二一”=1 (a>0, b>0)的右焦点F作直线交该双 cr b-曲线的右支于M

16、,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P,则也占IM7VI 210 .已知双曲线二£ = 1 (a>0,b>0) ,A、B是双曲线上的两 a If点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0),则 a2 +b2 #/ a2+b2% >双/ <-.11.设p点是双曲线W-E=i cr b任一点，E、 F2为(a>0,b>0)上异于实轴端点的 其焦点记ZF,PF, = 0 , 则(1) I PF II PF. = . 2/? - . (2) 1-COS&12.设A、B是双曲线E-E = 1 (a>0,b>0)的长轴两端点，P a

17、 b是双曲线上的一点，= 4PBA = /3,4BPA = y , c、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)1241=2ab2 I cos cr Il«2 -c2cos2 /1(2) tan a tan p=-e. (3) Sym = coty. b +a-13 .已知双曲线二-二=1 (a>0, b>0)的右准线/与x轴相交 a b于点E,过双曲线右焦点尸的直线与双曲线相交于A、B两 点，点。在右准线/上，且3C_Lx轴，则直线AC经过线段EF 的中点.14 .过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径 的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.1

18、5 .过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一 点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16 .双曲线焦三角形中，外点到一焦点的距离与以该焦点为端 点的焦半径之比为常数e(离心率).(注：在双曲线焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴 交点分别称为内、外点).17 .双曲线焦三角形中，其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.18 .双曲线焦三角形中，半焦距必为内、外点到双曲线中心的比 例中项.其他常用公式：1、连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，利用方程的 根与系数关系来计算弦长，常用的弦长公式：AB = >Jl + k2 归一引=+2、直线的一般式方程：任何直线均可写成出十珈十。二° （A,B不同 时为0）的形式。3、知直线横截距勒,常设其方程为x二吻+（它不适用于斜率为0的直线）与直线，左+劭+。=。垂直的直线可表示为由&+ 4 = 0。4、两平行线,i：4+坳+G= 04：由+坳+ 6 = °间的距离为5、若直线1： A'+Sv+c;=0与直线4 ：&r