基本不等式的变形及应用

1、基本不等式 a 2b22ab 的变式及应用不等式 a 2b22ab 是课本中的一个定理，它是重要的基本不等式之一，对于它及它各种变式的掌握与熟练运用是求解很多与不等式有关问题的重要方法，这里介绍它的几种常见的变式及应用1、十种变式 aba 2b 2； ab ( a b) 2 ；22 ( a b )2a 2b 2； a b2(a 2b2 )22若 b 0 ，则 a 22a b ； a,b R , 则 1 1a4babb若 a, b R , ( 11 )24若 ab 0 ，则 111(1 1)2abababa 2b22 ab上述不等式中等号成立的充要条件均为：若 m, nR, a,bR ，则 a

2、2b 2(ab)2（当且仅当 anbm 时等号成立）mnmn (a bc)23(a 2b2c2 ) （当且仅当 abc 时等号成立）2、应用例 1、若 a,b,cR，且 abc2 ，求证：a1b1c1 4证法一：由变式得1a11a1即a1a122同理：因此b 1b1，c 1c12a2bca 1b 1c 1111 4222由于三个不等式中的等号不能同时成立，故a 1b 1c 1 4评论： 本解法应用“a2b 2ab”观察其左右两端可以发现，对于某一字母左边是2一次式，而右边是二次式，显然，这个变式具有升幂与降幂功能，本解法应用的是升幂功能。精选文库证法二：由变式得a1b12(a1b 1)同理：c

3、112(c11)a1b1c112(ab2)2(c 2)2( a b c 4)125故结论成立评论：本解法应用 “ ab2(a 2b 2 ) ”，这个变式的功能是将“根式合并” ，将“离散型”要根式转化为统一根式，显然，对问题的求解起到了十分重要的作用。证法三：由变式得( a 1b 1c 1) 23( a 1b 1 c 1) 15故 a1b1c 14即得结论评论： 由基本不等式 a 2b22ab 易产生 2a22b22c22ab2bc2ca ，两边同时加上 a2b2c2即得 3(a2b2c2 ) ( abc)2 ，于是便有了变式，本变式的功能可以将平方进行“分拆”与“合并”。本解法是将平方进行分

4、拆，即由整体平方转化为个整平方，从而有效的去掉了根号。例 2、设 a,b,cR，求证：abcabcbca证明：由变式得aab ，b2bc ，cca2c2ba三式相加即得：abcabcbca评论： 本解法来至于 “若 b0 ，则 a 22ab”，这个变式将基本不等式转化成更为b灵活的形式，当分式的分子与分母出现平方与一次的关系时，立即可以使用，方便快捷。22例 3、实数 a,b 满足 (a4)(b3)2 ，求 ab 的最大值与最小值43-2精选文库解析：结合变式得2(a 4) 2(b 3)2(ab7) 24343因此14a b714即714ab714a3314a314当且仅当 3(a4)4(b3

5、) 、再结合条件得737及时，分414414b4b747别获得最小值与最大值；评 论 ： 由 a2m2b2n22mnabn(mn)a2m(mn)b2mn(a b)2 再 结 合m, nR 即得变式，这可是一个很特别的公式，它沟通了两分式和与由两分式产生的一个特殊分式的关系，它的灵活应用不仅可以为我们解决基本不等式的最值问题，也为我们处理圆锥曲线问题中的最值问题开辟了新的途径。例 4、已知 x, y(2,2) ，且 xy1 ，求 u49的最小值4x 29y2解析：由变式u491144 x29 y 2x2y2x2y21(1) (11)49494412x 2y2152 () 2349x6x6| x

6、| y |22 时，上述两不等式当且仅当、再结合 xy1 得或23y6y633取得最小值；评 论 ： 由 a2b22abb(ab) a(ab)4ab 结 合 a,bR ,两边同除以ab(ab) 即得变式，本题两次使用基本不等式，第一次应用变式，第二次应用基本不等式。值得注意的是两次等号成立的条件必须一致，否则，最值是取不到的。-3精选文库例 5、当0xa 时，不等式112 恒成立，求 a 的最大值；x 2(ax) 2解：由变式、得111 ( 11 )214148x2( ax) 22xax2x(ax)2 ( xa x) 2a 2xax 时成立2上述三个不等式中等号均在同一时刻由 820a2a 22 ；故 a 的最大值为评 论 ： 由 (a b)24ab 再 结 合 a,bR即 得 变 式 ； 又 由 a 2b22ab 得2(a2b2 )(ab)2b2a21 (ab)2 结合 ab0 ，两边同除 a2 b2 即得变式。本2题的求解，虽然“廖廖几步” ，但来之实在不易。首先这两个变式不一定大家都熟悉， 其次，三次使用变式进行转化，必须保证等号在同一