基本不等式题型总结(经典,非常好,学生评价高)

1、基本不等式一 . 基本不等式公式： a bab ( a 0,b 0) ，常用 a b 2 ab2升级版： a2b2a b2ab a,b R22选择顺序：考试中，优先选择原公式，其次是升级版二考试题型【题型 1】基本不等式求最值求最值使用原则：一正二定 三相等一正：指的是注意 a, b 范围为正数。二定：指的是 ab 是定值为常数三相等：指的是取到最值时ab典型例题：例 1 .求 y x1( x 0) 的值域2x分析： x 范围为负，提负号（或使用对钩函数图像处理）解： y ( x1 )Q x 0x 02xx12 ( x) ( 1 )22x2xx1得到 y ( , 222x1例 2 .求 y13

2、)的值域2x ( xx 3解： y1（“ 添项 ” ，可通过减3 再加 3，利用基本不等式后可出现定值）2xx313)62(xx31Q x3x302( x3)22x3y2 26 ，即 y2 26,例 3.求 y sin x2(0 x ) 的值域sin x分析： sinx 的范围是 (0,1) ，不能用基本不等式，当 y 取到最小值时， sin x 的值是2 ，但2 不在范围内解：令 tsin x， t(0,1)2yt是对钩函数，利用图像可知：t在 (0,1)上是单减函数，所以 t21代入得到）3，（注： 3 是将 tty(3,)注意：使用基本不等式时，注意y 取到最值， x 有没有在范围内，如

3、果不在，就不能用基本不等式，要借助 对钩函数图像来求值域。2例 4 求 yx22x 1 ( x 2) 的值域x2分析：先换元，令tx2 , t0 ，其中 xt2(t 2)22(t 2) 1t26t 11解： ytt6ttQ t0t 12 t16 8y 8, )tt总 之 ： 形 如 ycx2dxf0,c 0) 的 函 数 ， 一 般 可 通 过 换 元 法 等 价 变 形 化 为axb(aytpt 的取值范围；( p为常数 ) 型函数，要注意t【失误与防范】1使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可2 在运用重要不等

4、式时， 要特别注意“拆”“拼”“凑” 等技巧，使其满足重要不等式中 “ 正”“定”“等” 的条件3连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致【题型 2】条件是 ab 或 ab 为定值，求最值（值域） （简）例 5若 x0, y0且 xy18，则 xy 的最大值是 _解析：由于 x0, y0 ，则 xy2xy ，所以 2 xy 18 ，则 xy 的最大值为81例 6已知 x, y 为正实数，且满足4x3 y 12 ，则 xy 的最大值为 _4x3 yx3解析： Q 4x3y24x 3y 43xy 12 ，2 时， xyxy 3 当且仅当3 y 12即4xy2取得最

5、大值 3.例 7 已知 m 0, n0 ，且 mn81，则 mn 的最小值为 _解析： Q m0,n0 ，mn2mn 18，当且仅当 m n 9 时，等号成立3总结：此种题型：和定积最大，积定和最小【题型 3】条件是 ab 或 11 为定值，求最值（范围） （难）ab方法：将 1整体代入例 8.已知 x0, y 0 且 xy 1 ，则 11的最小值是 _xy解析： Q xy11 1( x y)( 11 ) 2y x2 2 yx4x yxyx yxy所以最小值是4例 9. 已知 a0,b 0 ， a b214，则 y的最小值是 _ab解析： Q a b 2ab12则 1 4( 1 4)( a b

6、)1b 2a25 b 2a 5b 2a92 2a b 222a b a b222a b2a b所以最小值是 92已知x 0, y0，且122 y 的最小值是 _例 10.x1, 求 xy解析：Q 121,xy则 x 2 y ( 12 )( x 2 y) 1 2 y 2x45 22 y 2x9xyxyx y从而最小值为94【题型 4】已知 ab 与 ab 关系式，求取值范围例 11. 若正数 a, b满足 abab3 ，求 ab 及 ab 的取值范围解析：把 ab 与 ab 看成两个未知数，先要用基本不等式消元解： 求 ab 的范围（需要消去ab ：孤立条件的ab ab2 ab 将 ab 替换） Q abab3abab3， a b 2 abab32ab （消 ab 结束，下面把ab 看成整体，换元，求ab 范围 ）令 tab (t0) ，则 ab32ab 变成 t 232t解得 t3 或 t1（舍去），从而 ab9求 a b 的范围ab2（需要消去 ab ：孤立条件的 ab ab ()将 ab 替换）2ab2Q aba b 3, ab，2a2