基本不等式知识点归纳

1、.基本不等式知识点总结向量不等式：| a | | b | | a b | | a | | b |【注意】： a、b 同向或有 0|a b | | a | | b| |a |b | | a b| ；a、b 反向或有a、b 不共线代数不等式 ：a, b 同号或有 0a, b 异号或有 00| ab | | a |b | |a | b | | ab |；|a |b | | ab| | a | b |.(这些和实数集中类似)| ab| | a | b | |a | b | ab |；| ab| | a | b | | a |b |ab |.绝对值不等式：a 1a 2a 3 a1a 2a 3ababab

2、 (ab0时, 取等 )双向不等式： ab ab ab（左边当 ab 0( 0) 时取得等号，右边当ab 0( 0) 时取得等号 .）放缩不等式： a b 0， a m0 ，则 b m b b m .【说明】： bbm （ aamaamb0, m0 ，糖水的浓度问题） .aam0，则 bbmana .【拓展】： ab0， m0， n1aambnb a, b,cR ， bd ，bbdd ；ac则 aacc n N ， n 1n1nn 1 ；2n nN, n 1，11111.nn1n2n 1n ln x 1 x ( x 0) , ex x 1 ( x R) .函数 f (x) axb (a、 b0

3、)图象及性质x(1) 函数 f ( x)ba、 b0图象如图：yaxxb2abxbaob(2) 函数 f ( x)a、 b0ax性质：2abax值域： (, 2ab 2ab ,) ；单调递增区间： (,b ，b ,) ；单调递减区间： (0,b ，b , 0) .aaaa;.基本不等式知识点总结重要不等式1、和积不等式：a,bRa2b2 2ab (当且仅当 ab 时取到 “ ”)【变形】： ab ( ab) 2 a 2b2（当 a = b 时， ( a b ) 2a 2 b 2ab ）2222【注意】： ab ab (a, bR ) ， ab ( a b ) 2 (a, b R)222、均值不

4、等式：两个正数 a、b 的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系，即“平方平均 算术平均 几何平均 调和平均 ”22abababa2b2a时取）（当且仅当11ab22b“”ab*. 若 x0 ，则 x12 (当且仅当 x1时取“ = ”）;x若 x 0 ，则 x12(当且仅当 x1时取“ = ”）x若 x0 ，则 x12即 x12或 x1-2(当且仅当 ab 时取“ = ”）xxx*. 若 ab0 ，则 ab2(当且仅当 ab 时取“ = ”）ba若 ab0 ，则 ab2即 ab2或 ab-2(当且仅当 ab 时取“ = ”）bababa3、含立方的几个重要不等式（a、b、c 为

5、正数）：a 3b 3 c 3 3abc（ ab c0等式即可成立 ， ab c或abc0时取等 ）；3 abc abcabc ( abc) 3 a 3b 3c3333* 不 等 式 的 变 形 在 证 明 过 程 中 或 求 最 值 时 ， 有 广 泛 应 用 ， 如 ： 当 ab0 时 ，a 2b 22ab 同时除以 ab 得 ba2 或 b11a 。a 2abab* a, b, 均为正数，2abb八种变式： aba 2b2； ab( ab )2； ( ab )2a2b22222 ab2(a 2b 2 ) ；若 b>0,则 a22ab； a>0,b>0,则 114；baba

6、b若 a>0,b>0, 则 ( 11) 24；若 ab0 ，则111 ( 11)2 。ababab ”。a2b 22ab上述八个不等式中等号成立的条件都是“;.最值定理（积定和最小） x, y 0,由x y 2xy ，若积 xyP(定值 ) ，则当 xy 时和 xy 有最小值 2 p ；（和定积最大） x, y 0,由x y 2xy ，若和 xy S(定值 ) ，则当 xy 是积 xy 有最大值 1 s2.y) 2(x y)24【推广】：已知 x, yR ，则有 ( x2xy .（1）若积 xy 是定值， 则当 | xy | 最大时， | xy |最大；当 | xy | 最小时，

7、| x y |最小 .（2）若和 | x y |是定值，则当| x y |最大时， | xy |最小；当 | xy | 最小时， | xy |最大 .已知 a, x,b, yR，若 axby1，则有则的最小值为：1111byax2x(ax by)(x) a bx a b 2 ab( ab )yyy已知，若则和的最小值为：.应用基本不等式求最值的“八种变形技巧”：凑系数（乘、除变量系数）.例 1.当0x 4时，求函的数 yx(82x) 最大值 .凑项（加、减常数项） ：例 2.已知x5，求函数 f ( x) 4x215 的最大值 .44x调整分子：例3.求函数 f ( x)x27 x10 (x1

8、) 的值域；x 1 变 用 公 式 ： 基 本 不 等 式 a bab 有 几 个 常 用 变 形 ,a2b2a b ，222a2b2( a b)2 不易想到，应重视；222x (15) 的最大值；例 4.求函数 y2x 15x22连用公式：例5.已知 ab0，求 ya216的最小值；b(a b)对数变换：例6.已知 x1 , y1，且 xy e ，求 t(2 x)ln y 的最大值；2三角变换：例7.已知 0y x，且 tan x3tan y ，求 tx y 的最大值；211常数代换 （逆用条件）：例 8.已知 a0, b 0 ，且 a2b 1 ，求 t的最小值 .ab;.“单调性”补了“基

9、本不等式”的漏洞：平方和为定值若 x2y2a （ a 为 定 值 ， a0 ）， 可 设 xa cos, ya sin,，其中0 2 .(,)sincos2sin()在15上是fxyxyaaa40,2)增函数，在 1, 544 上是减函数；44 g( x, y)xy1 a sin 2在 0,1, 3, 5,7,2)上是增函数，在 1, 3, 5, 724444 上是减函数；4444m(x, y)11xysincos.令tsincos2a sin() ，xyxya sincos4其中 t2,1)( 1,1)(1,2 .由 t 212sincos，得 2sincost 21 ，从而 m( x, y

10、)2t2在 2,1)(1,1)(1,2 上是减函数 .a (t 21)a (t1)t和为定值若 xyb（ b 为定值， b0），则 yb x. g (x, y)xyx2bx 在 (, b 上是增函数，在 b ,) 上是减函数；22 m(x, y)11x yb.当 b0时，在 (,0),(0, b 上是减函数，在xyxyx2bx2b) 上是增函数； 当 bb 上是减函数， 在 b ,b),( b,0 时，在 ( , b),( b,0),(0, ) 上222是增函数 . n(x, y)x2y22x22bxb2 在 (, b 上是减函数，在 b ,) 上是增函数；22;.积为定值若 xyc （ c

11、为定值， c0 ），则 yc .cx f ( x, y). 当 c0时，在c , 0 ) , ( c0 , 上 是 减 函 数 ， 在x y xx(,c, c,) 上是增函数；当 c0时，在 (,0),(0,) 上是增函数；m(x, y)11x y1 ( xc ) .当 c 0 时，在 c,0),(0, c 上是减函数，xyxycx在 (,c ,c,) 上是增函数；当c 0 时，在 (,0),(0,) 上是减函数； n( x, y)x2y2x2c2( xc ) 22c 在 (,c),(0,c 上是减函数，在x2x(c,0,c,) 上是增函数 .倒数和为定值若 112（ d 为定值，1,1,1 ），则 yxydxdy差为 z ，其中 z1，则11z, 11dxdydc . 成等差数列且均不为零，可设公xz, 得 xd, yd. .1 dzdz1 f ( x)xy2d. 当 d0时，在(,1 ),(1 ,0上是减函数，在1d 2 z2dd11)上 是 增 函 数 ； 当 d0时，在(,11上是增函数，在0, ),(,),(,0dddd0,1 ),(1 ,) 上减函数；dd21 ),(1 ,0 g(x, y)xy1d 2z2 . . 当 d 0时，在(,上是减函数，在ddd0, 1),(