层次分析法例题

1、目标层判断层购买设备A功能Bi价格B2维护性B310W产品Ci产品C2产品C3图设备采购层次结构图某物流企业需要采购一台设备，在采购设备时需要从功能、价格与可维护 性三个角度进行评价，考虑应用层次分析法对3个不同品牌的设备进行综合分析评价和排序，从中选出能实现物流规划总目标的最优设备，其层次 结构如下图所示。以A表示系统的总目标，判断层中Bi表示功能，B2表示价格,B3表示可维护性。C1， C2， C3表示备选的3种品牌的设备解题步骤：1、标度及描述人们定性区分事物的能力习惯用5个属性来表示，即同样重要、稍微重 要、较强重要、强烈重要、绝对重要，当需要较高精度时，可以取两个相 邻属性之间的值，

2、这样就得到9个数值，即9个标度。为了便于将比较判断定量化，引入19比率标度方法，规定用1、3、5、 7、9分别表示根据经验判断，要素i与要素j相比：同样重要、稍微重要、较 强重要、强烈重要、绝对重要，而 2、4、6、8表示上述两判断级之间的折 衷值。标度定义（比较因素i与j）1因素i与j同样重要3因素i与j稍微重要5因素i与j较强重要7因素i与j强烈重要9因素i与j绝对重要2、 4、 6、 8两个相邻判断因素的中间值倒数因素i与j比较得判断矩阵a j,则因素j与i相比的判断为aji=1/aij注：ay表示要素i与要素j相对重要度之比，且有下述关系:aij=1/aji ； aii=1 ; i,

3、j=1 , 2,，n显然，比值越大，则要素i的重要度就越高。2、构建判断矩阵A判断矩阵是层次分析法的基本信息，也是进行权重计算的重要依据。 根据结构模型，将图中各因素两两进行判断与比较，构造判断矩阵：判断矩阵A-B（即相对于物流系统总目标，判断层各因素相对重要性 比较）如表1所示；判断矩阵Bi -C（相对功能，各方案的相对重要性比较）如表2所示；判断矩阵B2 -C（相对价格，各方案的相对重要性比较）如表3所示；判断矩阵Ba -C （相对可维护性，各方案的相对重要性比较）如表4所 示。表1判断矩阵A-BABiB2BaBi11/32B2315Ba1/21/51表2判断矩阵Bi -CB1C1C2C3

4、C111/31/5C2311/3Ca531表3判断矩阵B2-CB2C1C2C3C1127C21/215C31/71/51表4判断矩阵B-CB3C1C2C3G131/7C2l/311/9C37913、计算各判断矩阵的特征值、特征向量及一致性检验指标一般来讲，在AHP法中计算判断矩阵的最大特征值与特征向量， 必不需 要较高的精度，用求和法或求根法可以计算特征值的近似值。求和法1）将判断矩阵A按列归一化（即列元素之和为1 ）： bj= aj /羽j；2） 将归一化的矩阵按行求和：ci=旳 （i=1, 2, 3.n）；3）将0归一化：得到特征向量W= （w1, w2,wn ） T, Wj=Ci /3C

5、i ,W即为A的特征向量的近似值;4）求特征向量W对应的最大特征值:七宀）n 一 W.-wiaj(i =1,求根法1）计算判断矩阵A每行元素乘积的n次方根;2,n)wi2 )将可归一化，得到wi = n _ ； W= (w1, w2,wn ) T即为A的' wii T特征向量的近似值;精品资料3) 求特征向量W对应的最大特征值:几 wax七(叫H 厶一W.-(1) 判断矩阵A B的特征根、特征向量与一致性检验 计算矩阵A B的特征向量。计算判断矩阵A 一 B各行元素的乘积Mi，并求其n次方根，如12 Mi =1 3 2=3，W1 =3 Mi =0.874， 类似 地有，W2 二3 M2

6、 = 2.466，33W； = 3 M； = 0.464。对向量 W =Wi，W2，WnT 规范化，有XA/ W0.874ccccW = -n -0.230J w 0.874 2.466 0.464i -类似地有W2 =0.684，W 0.122。所求得的特征向量即为：W -0.230,0.648,0.122丁计算矩阵A-B的特征根11/32AW =3150.230,0.648,0.122丁J/21/51一1AW1 =1 0.2300.648 2 0.122 = 0.693类似地可以得到 AW2 =1.948，AW 0.3666按照公式计算判断矩阵最大特征根：3.004,:(AW)i 0.69

7、 丄 1.948 丄 0.3666'max心 nW3 0.230 3 0.648 3 0.122一致性检验。实际评价中评价者只能对A进行粗略判断，这样有时会犯不一致的错 误。如，已判断C1比C2重要，C2比C3较重要，那么，C1应该比C3更重要 如果又判断C1比C3较重要或同等重要，这就犯了逻辑错误。这就需要进行 一致性检验。根据层次法原理，利用A的理论最大特征值ax与n之差检验一致性。致性指标:计算 Cl = Sax ；n = 3.0043 =0.002 <0.1 , CR =罟=0.003 v 0.1，查同阶平均随机一致性指标(表5所示)知RI "58 ,(一般认为

8、ClvO.1、CRvO.1时,判断矩阵的一致性可以接受，否则重新两两进行比较)表5平均随机一致性指标阶数34567891011121314RI0.580.891.121.261.361.411.461.491.521.541.561.58(2) 判断矩阵Bi -C的特征根、特征向量与一致性检验类似于第(1)步的计算过程，可以得到矩阵Bi C的特征根、特征向量与 一致性检验如下：W =0.105,0.258,0.637丁，入max =3.039， CR = 0.033v0.1(3) 判断矩阵B2-C的特征根、特征向量与一致性检验类似于第(1)步的计算过程，可以得到矩阵刀：一C的特征根、特征向量

9、与一致性检验如下：W =0.592, 0.333, 0.075T，入max =3.014， CR = 0.012 v0.1(4) 判断矩阵B3 _C的特征根、特征向量与一致性检验类似于第(1)步的计算过程，可以得到矩阵B3 -C的特征根、特征向量与一 致性检验如下：W =0.149, 0.066,0.785t，入 max =3.08， CR=0.069 <0.14、层次总排序获得同一层次各要素之间的相对重要度后， 就可以自上而下地计算各级 要素对总体的综合重要度。设二级共有m个要素C1, C2,Cm ,它们对总值的 重要度为W1, W2,Wm；她的下一层次三级有P1, P2,Pn共n个要

10、素，令要 素Pi对Cj的重要度(权重)为Vj,则三级要素Pi的综合重要度为：方 案 C1 的 重 要 度 (权 重)=0.230 >0.105+0.648 >0.529+0.122 >0.149=0.426方 案C2的 重 要 度 （权 重）=0.230 >0.258+0.648 >0.333+0.122 >0.066=0.283方案 C3 的重要度（权重）=0.230 >0.637+0.648 X）. 075+0.122 ».785=0.291依据各方案综合重要度的大小，可对方案进行排序、决策。层次总排序如表6所示。表6层次总排序层次B1B2B3层次C层次0.2300.6480.122总排序权重C10.