2014离散数学作业3答案

1、形成性考核作业 1 姓 名：翟伟铮 学 号：13370012580631337001258063 得 分： _ 教师签名： _ 离散数学集合论部分形成性考核书面作业 本课程形成性考核书面作业共 3 次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、 数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练 习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄 弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次形考书面作业是第一次作业，大家要 认真及时地完成集合论部分的综合练习作业。 要求：将此作业用 A4 纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有 解答过程，要求本学期第 11

2、周末前完成并上交任课教师（不收电子稿）。并在 03 任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，完成并上交任课教师。 一、填空题 1.设集合 A =1, 2,3, B =1,2，则 P(A)- P(B )=3,1,3,2,3,1,2,3， A B=,_ . 2 设集合 A 有 10 个元素，那么 A 的幕集合 P(A)的元素个数为 1024 . 3 .设集合 A=0, 1,2, 3，B=2, 3, 4, 5，R 是 A 到 B 的二元关系， R = : x, y x A 且 y B 且 x, y A B 则 R 的有序对集合为 , _ . 4 .设集合 A=1,2, 3, 4 ，B=6, 8, 1

3、2， A 到 B 的二元关系 R= , x, y y =2x, x A, y B 那么 R_ 1 = , _ 5. 设集合 A=a, b, c, d , A 上的二元关系 R=, , , ， 则 R 具有的性质是没有任何性质 . 6. 设集合 A= a, b, c, d , A 上的二元关系 R=, , , ， 若在 R 中再增加两个元素 , ，则新得到的关系就具有对称性. 7. 如果 R1和 R2是 A 上的自反关系，则 R1U R2，R1A R2, R1-R2中自反关系 有 2 个. 8. 设 A=1,2上的二元关系为 R=|x A，y A, x+y =10，则 R 的自反 闭包为 ,v2

4、,2 _ . 9. 设 R 是集合 A 上的等价关系，且 1 , 2,3 是 A 中的元素，贝U R中至少包 含 _ 等元素. 离散数学作业3 形成性考核作业 2 10. 设集合 A=1,2，B=a, b，那么集合 A 到 B 的双射函数是 , 或,v2,a .形成性考核作业 3 3.若偏序集A，R的哈斯图如图一所示, 二、判断说明题(判断下列各题，并说明理由) 1 若集合 A = 1，2, 3上的二元关系 R=1, 1，2, 2，1,2，则 (1) R 是自反的关系； R 是对称的关系. 解：(1)错误。R 不具有自反的关系，因为3,3不属于 R。 (2)错误。R 不具有对称的关系，因为2,

5、1不属于 Ro 2 .如果 R1和 R2是 A 上的自反关系，判断结论：“ R 11 R1 U R2、R1 AR2是 自反的”是否成立？并说明理由. 解：成立。 因为 R1和 R2是 A 上的自反关系，即 IA5R1，IA-R2。 由逆关系定义和 IA R1，得 IA R1-1； 由 IA R1，IA R2，得 IA R1 U R2，IA R1 一 R2。 所以，R1-1、R1U R2、Rr R2是自反的。 形成性考核作业 4 则集合 A 的最大元为 a,最小元不存在. 解：错误。 集合 A 的最大元不存在，a 是极大元。 4.设集合 A=1,2, 3, 4 , B=2, 4, 6, 8,，判

6、断下列关系 f 是否构成函数 f: A B，并说明理由. f=, , , ; (2)f=, , ; (3) f=, , , . 解：(1)不构成函数。因为对于 3 属于 A，在 B 中没有元素与之对应。 (2) 不构成函数。因为对于 4 属于 A，在 B 中没有元素与之对应。 (3) 构成函数。因为 A 中任意一个元素都有 A 中唯一的元素相对应。 三、计算题 1.设 E =1,2,3, 4, 5, A二1,4, B二1,2,5, C=2,4，求: (1) (A- B)_ C; (2) (A_ B)- (B A) (3) P(A) P(C); 解：(1) (A Bh C=1 -1,3,5二1,

7、3,5 (2) (A. B)- (B A)=1，2,4,5-1=2,4,5 (3) P(A)-P(C)珂,1,4,1,4 - ,2,4,2,4 = 1, 1,4 (4) A 二 B =(A-B) (AB) =1,2,4,5 -1 =2,4,5 2 .设 A=1,2,1,2 ，B=1,2,1,2，试计算 (4) A 二 形成性考核作业 5 (1)( A-B); (2)( AH B); (3) AX B. 解：(1) A-B =1,2 (2) A H B =1,2 (3) AXB=v1,1 , , , , , , , , , , ,v2, 1,2 3. 设 A=1 , 2, 3, 4, 5 , R

8、=|x A, y A 且 x+p4 , S=|x A, y A 且 x+y0，试求 R, S, RS, SR, R-1, S-1, r(S), s(R). 解：R=,v1,2,v1,3,v2,1,v2,2, S=空集 R二空集 S*R=空集 -1 R =, S-1二空集 r(S)=,v2,2,v3,3,v4,4, s(R)=,形成性考核作业 6 4 设 A=1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, R 是 A 上的整除关系，B=2, 4, 6. (1)写出关系 R 的表示式； (2 )画出关系 R 的哈斯图； (3)求出集合 B 的最大元、最小元. 解 (1)只=, , (3)集合 B 没

9、有最大元，最小元是 2 四、证明题 1.试证明集合等式：A_. (B，C)=(A_.B)(A_. C). 证明：设，若 x A_. (BC),贝U x A 或 x BC, 即 x A 或 x B 且 x A 或 x C. 即 x A B 且 x A C , 即 x T=(A B) - (A _ C), 所以 A 一 (B - C) (A_ B) -(A_ C). 反之，若 x (A_ B) 一(A_ C),贝U x A_. B 且 x A_. C, 即 x A 或 x B 且 x A 或 x C, 即 x A 或 x BC, 即 x A 一(B - C), 所以(A B) - (A _ C)A

10、. (B 一 C). 因此.A - (B - C)=(A - B) - (A-C). 2 .试证明集合等式 A (B 一 C)=(AB) 一(AC). 证明：设 S=AA (B U C), T=(A A B)U (A A C), 若 x S,则 x A 且 x B U C,g卩 x A 且 x B 或 x A 且 x C, 也即 x A A B 或 x A A C，即 x T,所以 S T. 反之，若 x T,贝U x A A B 或 x A A C, 即 x A 且 x B 或 x A 且 x C 也即 x A 且 x B U C,g卩 x S,所以 T S. 因此 T=S. 形成性考核作业 7 3.对任意三个集合 A, B 和 C,试证明：若 A B = A C,且A,则 B = C. 证明：(1 对于任意 AX B,其中 a A, b B,因为 AX B= AX C, 必有 AX C,其中 b C 因此 B-C (2)同理，对于任意 AX C,其中，a A, c C,因为 AX B= AX C 必有 AX B,其中 c B,因此 C