2019年高考数学(新课标)一轮复习考点热身训练：第二章函数、导数及其应用(单元总结与测试)

1、 第二章函数、导数及其应用(单元总结与测试) 、选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的) 1. 下列图形中能够表示以 M=x|0 xw 1为定义域，以 N=y|0 y 0,a丰1)是定义在 R 上的单调递减函数，贝 U 函数 g(x)=log a(x+1)的图 象大致是() ln2 5. (2019 武汉模拟)定积分J exdx的值为() 0 2 2 (A) -1 (B)1 (C)e -1 (D)e1 6. 设函数 f(x) = x Inx(x 0)，贝 U y= f(x)() 3 1 (A) 在区间(一，1) , (1

2、 , e)内均有零点 e 1 (B) 在区间(一，1) , (1 , e)内均无零点 e 1 (C) 在区间(一，1)内有零点，在区间(1 , e)内无零点 e 1 (D) 在区间(一，1)内无零点，在区间(1 , e)内有零点 e 7. (预测题)已知函数 f(x)的导函数为 f (x)， 且满足 f(x)=2xf (1)+1 nx， 则 f (1)=() (A)-e (B)-1 (C)1 (D)e &已知函数 f(x)的定义域为-1 , 1 L图象过点(0， 5)，它的导函数 f (x) = 4x3-4x，则当 f(x)取得最大值-5 时，x 的值应为() n n -sinx,右

3、X1,X2 三L 且 f(x 1) f(x 2),则下列不等式恒成立的是 (A)x 1 X2 (B)XY X2 2 2 (C)x 1+X2 0 (D)x 1 X2 10. (2019 湖南高考)已知函数 f(x)=e X-1,g(x)=-x 2+4x-3.若有 f(a)=g(b)，贝U b 的取值范 围为() (C) 1,3 (D)(1,3) 二、填空题(本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分.请把准确答案填在题中横线上 ) 1 丄 11 .计算(lg -lg25)十 100 2 = _ . 4 12. 已知直线 y=x+1 与曲线 y=ln(x+a)相切，则 a 的值为 _ . 1

4、3. (2019 南平模拟)函数 f(x)=2x 3-3x 2+10 的单调递减区间为 _ . 14. 函数 f(x)=(x+a) 3对任意 t R,总有 f(1+t)=-f(1-t) ，贝U f(2)+f(-2) 等于 _ . 15. (2019 四川高考)函数 f(x)的定义域为 A,若 X1,x 2 A 且 f(x 1)=f(x 2)时总有 X1=X2，贝U (A)-1 (B)0 (C)1 (D) 9.设函数 f(x)=x (A)2- 、. 2 ,2+2 (B) (2- 2 ,2 2 ) 1 称 f(x)为单函数.例如，函数 f(x)=2x+1(x R)是单函数.下列命题： 函数 f(x

5、)=x 2(x R)是单函数； 若 f(x)为单函数，XI,X2 A 且 xi丰X2,贝U f(x i)丰f(x 2); 若 f : A B 为单函数，则对于任意 b B,A 中至多有一个元素与之对应； 函数 f(x)在某区间上具有单调性，则 f(x) 一定是单函数. 其中的真命题是 _ .(写出所有真命题的编号) 三、解答题(本大题共 6 小题，共 80 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 16. (13 分)求下列关于 x 的函数的定义域和值域： (1) y =、1 -X -、,x; 2 y=log 2(-x +2x); x 0 1 2 3 4 5 y 2 3 4 5

6、6 7 17. (13 分)(易错题)两个二次函数 f(x)=x 2+bx+c 与 g(x)=-x 2+2x+d 的图象有唯一的公共 点 P(1,-2). (1)求 b,c,d 的值； 设 F(x)=(f(x)+m) g (x)，若 F(x)在 R 上是单调函数，求 m 的取值范围，并指出 F(x) 是单调递增函数，还是单调递减函数. x _ 2 18. (13 分)(2019 北京高考)已知函数f (x ) = (x k) ek. (1)求 f(x)的单调区间； 1 若对于任意的 x (0 , +8)，都有f X ，求 k 的取值范围. e 19. (13 分)某市旅游部门开发一种旅游纪念品

7、，每件产品的成本是 15 元，销售价是 20 元, 月平均销售 a 件.通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提升，市场分析的结 果表明，如果产品的销售价提升的百分率为 x(0 x1)，那么月平均销售量减少的百分率为 X2.记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是 y(元). (1)写出 y 与 x的函数关系式； 改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大 20. (14 分)(2019 宁德模拟)定义在 R 上的单调函数 f(x)满足 f(3)=log 23 且对任意 x,y R 都有 f(x+y)=f(x)+f(y). (1) 求证：f(x)为奇

8、函数； (2) 若 f(k 3)+f(3 x-9x-2)0). 2 8 (1)求 g(x)的表达式； 若存有 x (0 , +s)，使 f(x) w 0 成立，求实数 设 1mw e, H(x)=f(x)-(m+1)x , 求证：对于任意 X1,X2 1,m,恒有 |H(x 1)-H(x 2)|1. 答案解析 1. 【解析】选 C.由题意知，自变量的取值范围是0, 1,函数值的取值范围也是0, 1, 故可排除 A、B;再结合函数的定义，可知对于集合 M 中的任意 x,N 中都有唯一的元素与之 对应，故排除 D. 2. 【解析】选 A. T f(x+2)=-f(x), f(x+4)=-f(x+2

9、)=f(x) ，即周期为 4, f(11)=f(3)=f(1+2)=-f(1)=-2. 3. 解析】 选 A. T g(x)是奇函数，其图象关于原点对称， |g(x)|的图象关于 y 轴对称，是偶函数， 又 f(x)为偶函数， f(x)+|g(x)| 是偶函数. 【方法技巧】函数奇偶性与函数图象的关系 (1)函数的奇偶性，揭示了函数图象的对称性.已知函数的奇偶性可得函数图象的对称性； 反 之，已知函数图象的对称性可得函数的奇偶性 从图象判断函数的奇偶性是很有效的方法 .利用图象变换，能够很容易地画出形如|f(x)| 或 f(|x|)的函数图象，进而可判断函数的奇偶性 4【解题指南】由指数函数的

10、单调性可得 a 的取值范围，再判断函数 g(x)=log a(x+1)的图象. 【解析】选 D.由题可知 0a0, f(1) = - 0, f(e) = - - 1 v0, e 3e 3 3 1 在区间(一，1)内无零点，在区间(1 , e)内有零点. e 1 【一题多解】选 D.令 g(x)= x,h(x)=lnx, 如图，作出 g(x)与 h(x) 3 一 一 1 一 在 x0 的图象， 可知 g(x)与 h(x)的图象在( (一一, ,1)内无交点，在(1,e) e 内有 1 个交点，故选 D. 已知函数f (x )=4：_4 %兰1 ?2 -4x+3,x1 (A)4 (B)3 (C)2

11、 (D)1 【解析】 选 B.在同一直角坐标系中画出 y=f(x)与 y=log 2X 的图象，从图象中能够看出两函 数图象有3 个交点，故其解有 3 个. 1 7. 【解析】 选 B.f (x)=2f (1)+ ，令 x=1 得 f (1)=2f (1)+1 , f (1)=-1，故选 B. x 8. 【解析】 选 B.易知 f(x)=x 4-2x2-5,f (x)=0 时 x=0 或 x= 1,又因为定义域为-1 , 1 , 只有f(0)=-5,所以 x=0. 9【解析】 选 D.显然 f(x)为偶函数， 当 x (0, 时,f (x)=sinx+xcosx 0, 程 f(x)=log 2

12、X 解的个数为() 【变式备则关于 x的方 1 2 f(x)在(0, 上单调递增. 2 又 f(x 1) f(x 2)? f(|x 1|) f(|x 2I) ? |x 1| |x 2| ? xj X22. 10.【解析】选 B. f(a)-1, g(b)-1. 2 2 -b +4b-3-1, b-4b+20, 2- ,.2b2 2.故选 B. 1 1 / 1 1 1 2 11. 【解析】(lg -Ig25)十 100 2 = lg Ig 10 lg10 =-20. 4 25 500 100 10 答案：-20 丨1 1 1 1 - - = 12.- 【解析】y = - (x+a)F= ，设切点

13、为(x0,x0+1)，则 x +a x +a x +a x0 +1 = In (x0 + a ) 解得 a=2. 答案：2 2 13. 【解析】f (x)=6x -6x,由 f (x)0 得 0 x0 16. 【解析】 要使函数有意义，则 一, x A0 0 x0, 0 x 0 或 F (x) 0 成立. 因为 F (x)的图象是开口向下的抛物线， 所以 F (x) w 0 在 R 上恒成立， 所以 =12 +24(-2-2m) w 0,解得 m2, 即 m 2 时，F(x)在 R 上为单调递减函数. 【解析】(1)由已知得 b + c = -3 化简得 ， d = -3 且 x2+bx+c=

14、-x 2+2x+d, 且不考虑其他因素，记余下工程的费用为 y 万元. 1 2 2 18【解析】f x x -k k 当 k 0 时，f(x)与 f (x)的情况如下: x (-8, -k) -k (-k , k) k (k , +8) f (x) + 0 - 0 + f(x) / .2-1 4k e 0 / 所以 f(x)的单调递增区间是(-k)和(k , +m);单调递减区间是(-k , k). 当 kv 0 时，f(x)与 f (x)的情况如下： x (-8, -k) k (-k , k) k (-k , +8) f (x) - 0 + 0 - f(x) 0 / .2-1 4k e 所以

15、 f(x)的单调递减区间是(-k)和(-k , +m);单调递增区间是(k , -k). 1 1 当 k 0 时，因为f k 1 = e k ,所以不会有- x (0 , +8), f(x) w . e e 1 4k 1 1 所以- x (0 , +8), f(x) w ，等价于 f(-k)= ，解得 w kv 0. e e e 2 1 故对- x (0 , +8) , f(x) w 时， e 1 k 的取值范围是 ,o). 2 19. 【解析】 改进工艺后，每件产品的销售价为 20(1+x)元，月平均销售量为 a(1-x 2)件, 则月平均利润 y=a(1-x 2) :20(1+x)-15

16、:(元)， y 与 x 的函数关系式为 2 3 y=5a(1+4x-x -4x )(0 x1). 1 2 y =5a(4-2x-12x 2)，令 y =0 得 X1= , =-(舍), 2 3 1 1 当 0 x0; x1 时 y 0, 2 2 1 函数 y=5a(1+4x-x -4x )(0 x1)在 x= 处取得最大值. 2 1 故改进工艺后，产品的销售价为 20(1+ )=30 元时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润 2 最大. 【变式备选】某地建一座桥，两端的桥墩已建好， 这两个桥墩相距 m 米，余下的工程只需要 建两端桥墩之间的桥面和桥墩， 经预测，一个桥墩的工程费用为 256 万元

17、，距离为 x米的相 邻两墩之间的桥面工程费用为 (2+、x )x 万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，(x)=0，得 x= k. 当 kv 0 时，由(1)知 f(x)在(0 , +m)上的最大值是f - k ：- 4k2 (1) 试写出 y 关于 x 的函数关系式； 当 m=640 米时，需新建多少个桥墩才能使 y 最小？ 【解析】 设需要新建 n个桥墩，(n+1)x=m，即 n=-1， x 所以 y=f(x)=256n+(n+1)(2+ x )x m m r =256( -1)+ (2+ , x )x x x 256m m i x 2m -256. x 256m 1 (2) 由(1

18、)知，f x = - 2- - mx 2 x2 2 3 吩(宀512). 3 令 f (x)=0，得 x2 -512,所以 x=64, 当 0 x64 时，f (x)0 , f(x)在区间(0 , 64)上为减函数； 当 64x0 , f(x)在区间(64 , 640)上为增函数, 所以 f(x)在 x=64 处取得最小值，此时， m A 640彳门 n 1 1=9, x 64 故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小. 20. 【解析】(1) f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y 令 x=y=0,代入式，得 f(O+O)=f(O)+f(O), 令 y=-x,代入式，得 f(x-x)=f(x)

19、+f(-x), 即 f(-x)=-f(x) 对任意 x R 成立，所以 (2) f(3)=log 230,即 f(3)f(0), 又 f(x)在 R 上是单调函数，所以 f(x)在 R 上是增函数, 又由(1)知 f(x)是奇函数.所以有 f(k 3x)-f(3 x-9 x-2)=f(-3 x+9x+2), 即 k 3x0 对任意 x R 成立. 令 t=3x0,问题等价于 t2-(1+k)t+20 对任意 t0 恒成立. 2 1 +k 令 g(t)=t -(1+k)t+2,其对称轴 t . 2 1 k 当 0 即 k0,符合题意； 2 1 k 2 当 =0 即 k=-1 时，g(t)=t +2, 2 对任意 t0,g(t)0 恒成立；R), 即 f(0)=0. 又 f(0)=0,则有 0 = f(x)+f(-x). f(x)是奇函数. x 1 . k 当 0 时，对任意 t0 , g(t)0 恒成立= 2 苫=(1 +k f 8 c0 解得-1k-1+ 2 2, 综上所述当 k-1+2.2时, f(k 3x)+f(3 x-9x-2)0 对任意 x R 恒成立 21.【解析】(1)设 g(x)=ax +bx+c(a丰0)，于是 2 2 g(x-1)+g(1-x)=2a(x-1) +2c=(x-1) -2 ,