高阶导数与隐函数求导参数方程求导学习教案

1、会计学1高阶导数与隐函数求导参数方程求导高阶导数与隐函数求导参数方程求导第一页，编辑于星期三：八点 五十四分。2021-12-13泰山医学院信息工程学院 刘照军2第三节第三节 高阶导数高阶导数1.1.如果如果 的导数存在，称为的导数存在，称为 的二阶导数的二阶导数 记作：记作： ， 或或 )(xfy )(xfy 22dxyd)(dxdydxdy y 2. 2. 仍是仍是x的函数，还可以进一步考虑的函数，还可以进一步考虑 有三阶导数有三阶导数 或或 ， 四阶导数四阶导数 或或 ， n n阶导数阶导数 或或 . .y 33dxyd)4(y44dxyd)(nynndxyd一、基本概念第1页/共35页

2、第二页，编辑于星期三：八点 五十四分。2021-12-13泰山医学院信息工程学院 刘照军33.3.f( (x) )在在x处有处有n阶导数，那么阶导数，那么 在在x的某一邻域内的某一邻域内必定具有一切低于必定具有一切低于n阶的导数；二阶及二阶以上的导数统阶的导数；二阶及二阶以上的导数统称称高阶导数高阶导数)()1(xfn 4.4.问题：如何求函数的高阶导数？问题：如何求函数的高阶导数？一步一步来，利用已知函数的一阶导数公式及运算法则高阶导数应用举例高阶导数应用举例0, yay解解 例例1 1 y=ax+b, 求求y 例例2 2 求求,sin ts s 解解 tsts sin,cos2 第2页/共

3、35页第三页，编辑于星期三：八点 五十四分。2021-12-13泰山医学院信息工程学院 刘照军4 例例3 3 证明证明: :函数函数 满足关系式满足关系式22xxy 013 yy证证 将将 求导求导, ,得得22xxy ,21222222xxxxxxy 22222222)1 (2xxxxxxxxy 3222221)2(12)2()1(223yxxxxxxxxx 2、应用第3页/共35页第四页，编辑于星期三：八点 五十四分。2021-12-13泰山医学院信息工程学院 刘照军5于是于是013 yy下面介绍几个初等函数的下面介绍几个初等函数的n阶导数阶导数例例4 4 求指数函数求指数函数 的的n阶导

4、数阶导数xey 解解xxxxeyeyeyey )4(,一般地一般地, ,可得可得,)(xney 即即xnxee )()(例例5 5 求正弦与余弦函数的求正弦与余弦函数的n阶导数阶导数第4页/共35页第五页，编辑于星期三：八点 五十四分。2021-12-13泰山医学院信息工程学院 刘照军6解解,sin xy ),2sin(cos xxy)22sin()2cos( xxy),22sin( x),23sin()22cos( xxy),24sin()23cos()4( xxy一般地一般地, ,可得可得),2sin()( nxyn即即).2cos()(sin)( nxxn第5页/共35页第六页，编辑于星

5、期三：八点 五十四分。2021-12-13泰山医学院信息工程学院 刘照军7用类似方法用类似方法, ,可得可得).2cos()(cos)( nxxn例例6 6 求对数函数求对数函数ln(1+(1+x) )的的n n阶导数阶导数解解,11),1ln(xyxy ,)1(321,)1(21,)1(14)4(32xyxyxy 一般地一般地, ,可得可得,)1()!1()1(1)(nnnxny 即即 nnnxnx)1()!1()1()1ln(1)( 通常规定通常规定0!=1,0!=1,所以这个公式当所以这个公式当n=1=1时也成立时也成立. .第6页/共35页第七页，编辑于星期三：八点 五十四分。2021

6、-12-13泰山医学院信息工程学院 刘照军8例例7 7 求幂级数的求幂级数的n阶导数公式阶导数公式解解),(Rxy 设设那么那么1 xy)(1 xy2)1( x)1(2 xy3)2)(1( xnnxny ) 1() 2)(1()(一般地一般地, ,可得可得即即nnxnx )1()2)(1()()(则则为自然数为自然数若若,n )()()(nnnxy , !n )!()1( nyn. 0 第7页/共35页第八页，编辑于星期三：八点 五十四分。2021-12-13泰山医学院信息工程学院 刘照军9高阶导数运算法则高阶导数运算法则)()()()2(nnCuCu 则则阶导数,阶导数,具有具有和和设函数设

7、函数nvu)()()()()1(nnnvuvu )()(0)()()()2()1()()(!)1()1(! 2)1()()3(kknnkknnkknnnnnvuCuvvukknnnvunnvnuvuvu (3)(3)称为莱布尼兹公式称为莱布尼兹公式第8页/共35页第九页，编辑于星期三：八点 五十四分。2021-12-13泰山医学院信息工程学院 刘照军10例例8 8 .,)20(22yexyx求求设设 则则设设,22xveux 解解),20, 4 , 3(0, 2,22)(2)( kvvxveukxkk)20, 2 , 1( k代入莱布尼茨公式代入莱布尼茨公式, ,得得0)()(! 2)120(

8、20)()(20)(2)18(22)19(22)20(2)20( xexexeyxxx22! 21920222022182192220 xxxexexe)9520(22220 xxex第9页/共35页第十页，编辑于星期三：八点 五十四分。2021-12-13泰山医学院信息工程学院 刘照军11第四节第四节 隐函数及由参数方程所确定隐函数及由参数方程所确定的函数的导数的函数的导数 相关变化率相关变化率重点：隐含数、参数方程求导方法难点：隐含数、参数方程求导方法的应用，对数求导法的应用。特别注意参数方程的高阶导数的求法。特别注意参数方程的高阶导数的求法。第10页/共35页第十一页，编辑于星期三：八点

9、 五十四分。2021-12-13泰山医学院信息工程学院 刘照军12第四节第四节 隐函数及由参数方程所确定隐函数及由参数方程所确定一、隐函数的导数一、隐函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导二、由参数方程所确定的函数的导数数三、相关变化率三、相关变化率的函数的导数的函数的导数 相关变化率相关变化率四、小节四、小节五、作业五、作业第11页/共35页第十二页，编辑于星期三：八点 五十四分。2021-12-13泰山医学院信息工程学院 刘照军13一、隐函数的导数一、隐函数的导数1 1 复习复习: :函数的表示法函数的表示法 1.1.直接表示直接表示: : 解析式解析式 y= =f( (x) ) xD,

10、 , 这样描述的函数称为显函数这样描述的函数称为显函数2 2 间接表示间接表示 (1)(1)由一个方程由一个方程F( (x, ,y)=0 )=0 所确定的函数所确定的函数 例例 可确定函数可确定函数 , , (2) (2)由两个方程确定由两个方程确定( (带一个中间变量带一个中间变量) )参数方程参数方程: : t t是参数是参数 方法方法(1)(1)表示的函数称为隐函数表示的函数称为隐函数. .122 yx21xy )()(tyytxx把一个隐函数化成显函数把一个隐函数化成显函数, , 叫做隐函数的显化叫做隐函数的显化. .第12页/共35页第十三页，编辑于星期三：八点 五十四分。2021-

11、12-13泰山医学院信息工程学院 刘照军142 2 隐函数的定义隐函数的定义一般地一般地,如果变量如果变量x和和y满足一个方程满足一个方程F(x,y)=0,在一定条件下当在一定条件下当x取取某区间内的任一值时某区间内的任一值时,相应地总有满足这方程的唯一的相应地总有满足这方程的唯一的y值存值存在在,那么就说方程那么就说方程F(x,y)=0在该区间内确定了一个隐函数在该区间内确定了一个隐函数例例1 1 求由方程求由方程 所确定的隐函数的导数所确定的隐函数的导数0 exyeydxdy解解 我们把方程两边分别对我们把方程两边分别对x求导数求导数,注意注意y=y(x), 方程左边对方程左边对x求导得求

12、导得 ,dxdyxydxdyeexyedxdyy 方程右边对方程右边对x求导得求导得0)0( 0 dxdyxydxdyey所以所以第13页/共35页第十四页，编辑于星期三：八点 五十四分。2021-12-13泰山医学院信息工程学院 刘照军15从而从而)0)( yyexexydxdy注意注意: :在这个结果中在这个结果中, ,分式中的分式中的y= =y( (x) )是由方程是由方程 所确定的隐函数所确定的隐函数0 exyey例例2 求由方程求由方程 所确定的隐函数所确定的隐函数x=0处处的的 导数导数03275 xxyy0 xdxdy因为当因为当x=0时时,从原方程得从原方程得y=0,所以所以2

13、1 0 xdxdy解解 把方程两边分别对把方程两边分别对x求导求导,由于方程两边的导数相等由于方程两边的导数相等,02112564 xdxdydxdyy由此得由此得2521146 yxdxdy所以所以 第14页/共35页第十五页，编辑于星期三：八点 五十四分。2021-12-13泰山医学院信息工程学院 刘照军16例例3 求椭圆求椭圆 在点在点 处的切线方程处的切线方程(图图2-6)191622 yx 323, 2解解 由导数的几何意义知道由导数的几何意义知道,所求切线的斜率所求切线的斜率为为2 xyk椭圆方程的两边分别对椭圆方程的两边分别对x求导求导,有有0928 dxdyyx从而从而yxdx

14、dy169 当当x=2时时, 代入上式得代入上式得323 y2 xdxdy43 于是所求的切线方程为于是所求的切线方程为)2(43323 xy即即03843 yx第15页/共35页第十六页，编辑于星期三：八点 五十四分。2021-12-13泰山医学院信息工程学院 刘照军17例例4 求由方程求由方程 所确定的隐函数的二阶导数所确定的隐函数的二阶导数0sin21 yyx22dxyd解解 应用隐函数的求导方法应用隐函数的求导方法,得得0cos211 dxdyydxdy于是于是ydxdycos22 上式两边再对上式两边再对x求导求导,得得3222)cos2(sin4)cos2(sin2yyydxdyy

15、dxyd 上式右端分式中的上式右端分式中的y=y(x)是由方程是由方程 所所确定的隐函数确定的隐函数0sin21 yyx第16页/共35页第十七页，编辑于星期三：八点 五十四分。2021-12-13泰山医学院信息工程学院 刘照军183. 对数求导法对数求导法*方法方法: :先在方程两边取对数先在方程两边取对数, , 然后利用隐函数的求导方法求然后利用隐函数的求导方法求出导数出导数. .-对数求导法对数求导法适用范围适用范围: :.)()(的的情情形形数数多多个个函函数数相相乘乘和和幂幂指指函函xvxu下面通过例子来说明这种方法下面通过例子来说明这种方法例例5.),0(sinyxxyx 求求设设

16、解解等式两边取对数得等式两边取对数得xxylnsinln 求导得求导得上式两边对上式两边对x第17页/共35页第十八页，编辑于星期三：八点 五十四分。2021-12-13泰山医学院信息工程学院 刘照军19xxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 一般地一般地)0)()()()( xuxuxfxv)(ln)()(lnxuxvxf )()(1)(lnxfdxdxfxfdxd 又又第18页/共35页第十九页，编辑于星期三：八点 五十四分。2021-12-13泰山医学院信息工程学院 刘照军20)(ln)()(xfdxdxfxf )()

17、()()(ln)()()()(xuxuxvxuxvxuxfxv 幂指函数幂指函数 也可表示成也可表示成)0)()()()( xuxuxfxv)(ln)()(xuxvexf 这样这样,便可直接求得便可直接求得)()()()(ln)()()(ln)(xuxuxvxuxvexfxuxv )()()()(ln)()()(xuxuxvxuxvxuxv第19页/共35页第二十页，编辑于星期三：八点 五十四分。2021-12-13泰山医学院信息工程学院 刘照军21例例6 求求 的导数的导数)4)(3()2)(1( xxxxy解解 用下面方法，使计算简单用下面方法，使计算简单 两边取对数两边取对数(假定假定

18、x4 ), 得得)4ln()3ln()2ln()1ln(21ln xxxxy两边对两边对x求导求导 41312111211xxxxyy于是于是 413121112xxxxyy第20页/共35页第二十一页，编辑于星期三：八点 五十四分。2021-12-13泰山医学院信息工程学院 刘照军22当当2x3时时,)4)(3()2)(1(xxxxy 用直接计算的方法可得与上面相同的结果。用直接计算的方法可得与上面相同的结果。当当x1时时,)4)(3()2)(1(xxxxy 第21页/共35页第二十二页，编辑于星期三：八点 五十四分。2021-12-13泰山医学院信息工程学院 刘照军23例7 )0(xxyx

19、的二阶导数求解：)1(ln1ln1xlnlnxyyxyyxxyxyx求导得：两边对1) 1(ln1) 1(ln1) 1(ln22xxxxyxyxyxyyx 从而第22页/共35页第二十三页，编辑于星期三：八点 五十四分。2021-12-13泰山医学院信息工程学院 刘照军24二、由参数方程所确定的函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数所确定的函数.所确定的函数.的函数为由参数方程的函数为由参数方程则称此函数关系所表达则称此函数关系所表达, ,间的函数关系间的函数关系与与若参数方程若参数方程xytytx确定确定 )()( 求导方法求导方法,)()(中中在方程在方程 tytx ),()(1xtt

20、x 具有单调连续的反函数具有单调连续的反函数设函数设函数)(1xy 第23页/共35页第二十四页，编辑于星期三：八点 五十四分。2021-12-13泰山医学院信息工程学院 刘照军25, 0)(,)(),( ttytx 且且都可导都可导再设函数再设函数由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy 即即第24页/共35页第二十五页，编辑于星期三：八点 五十四分。2021-12-13泰山医学院信息工程学院 刘照军26,)()(二阶可导二阶可导若函数若函数 tytx)(22dxdydxddxyd dxd

21、tttdtd)()( )(1)()()()()(2tttttt .)()()()()(322tttttdxyd 即即第25页/共35页第二十六页，编辑于星期三：八点 五十四分。2021-12-13泰山医学院信息工程学院 刘照军27例例8 8 已知椭圆的参数方程为已知椭圆的参数方程为 tbytaxsincos求椭圆在求椭圆在 相应的点处的切线方程相应的点处的切线方程4 t解解 当当 时时,椭圆上的相应点椭圆上的相应点 的坐标是的坐标是: 4 t0M224sin224cos00bbyaax 第26页/共35页第二十七页，编辑于星期三：八点 五十四分。2021-12-13泰山医学院信息工程学院 刘照

22、军28 4 tdxdy 4)cos()sin( ttatb 4sincos ttatbab 曲线在曲线在 点的切线斜率为点的切线斜率为:0M代入点斜式方程代入点斜式方程,即得椭圆在点即得椭圆在点 处的切线方程处的切线方程0M)22(22axabby 化简后得化简后得02 abaybx第27页/共35页第二十八页，编辑于星期三：八点 五十四分。2021-12-13泰山医学院信息工程学院 刘照军29例例9 已知抛射体的运动轨迹的参数方程为已知抛射体的运动轨迹的参数方程为 ,21,221gttvytvx求抛射体在时刻求抛射体在时刻t的运动速度的大小和方向的运动速度的大小和方向解解 先求速度的大小先求

23、速度的大小由于速度的水平分量为由于速度的水平分量为1vdtdx 铅直分量为铅直分量为gtvdtdy 2所以抛射体运动速度的大小为所以抛射体运动速度的大小为222122)(gtvdtdydtdxvv 第28页/共35页第二十九页，编辑于星期三：八点 五十四分。2021-12-13泰山医学院信息工程学院 刘照军30在求速度的方向在求速度的方向,也就是轨迹的切线方向也就是轨迹的切线方向设设 是切线的倾角是切线的倾角,则根据导数的几何意义则根据导数的几何意义,得得 12tanvgtvdtdxdtdydxdy 所以所以,在抛射体刚射出在抛射体刚射出(即即t=0)时时,0tan t 0 tdxdy;12v

24、v 当当 时时gvt2 gvt2tan gvtdxdy2 0 这时这时,运动方向是水平的运动方向是水平的,即抛物体达到最高点即抛物体达到最高点第29页/共35页第三十页，编辑于星期三：八点 五十四分。2021-12-13泰山医学院信息工程学院 刘照军31例例10 计算由摆线的参数方程计算由摆线的参数方程 )cos1()sin(tayttax所确定的函数所确定的函数y=y(x)的二阶导数的二阶导数解解dtdxdtdydxdy taatacossin ttcos1sin 2cottdtdxtdtddxyd1)2(cot22)cos1(12sin212tat 2)cos1(1ta ),2(Znnt 第30页/共35页第三十一页，编辑于星期三：八点 五十四分。2021-12-13泰山医学院信息工程