2019年浙江省第二次五校联考理数学试卷

1、数学（理科）试题卷第 1页（共4页） 20 佃学年浙江省五校联考 数学（理科）试题卷 选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1.设集合 A = y| y =sin x, x R,集合 B =x| y =lg x，则（CRA）Q B =（） A .（ _：, _1）U（1, ：） B. -1,1 C. （1, ：） D. 1,：） 4.设平面与平面：相交于直线l，直线a在平面内，直线b在平面：内，且b _ l , 则“ a _ b ”是 “ _的（ ） A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充

2、分也不必要条件 5.设数列On为等差数列，其前 n项和为Sn，已知a1 a4 a? =99耳 *5 a 93，若对任意n N* 都有& 0 X V 兰1 5 &已知实数X、V满足 ，若该不等式组所表示的平面区域是一个面积为 一的直角三角形， x+2y兰4 4 x my n _0 则n的值是（） 3 1 A . B . - 2 C . 2 D .- 2 2 9.现需编制一个八位的序号，规定如下：O 1序号由 4 个数字和 2 个 X、1 个 y、1 个 z 组成；C2 2 个 x 不能 条件的不同的序号种数有（ ） A . 12600 B. 6300 C. 5040 D. 252

3、0 10 .如图，已知抛物线的方程为 x2 =2py（p 0）,过点 A（0, -1）作直线 l 与 抛物线相交于 P,Q 两点，点 B 的坐标为（0,1），连接 BP,BQ，设 CBB3 与 x轴分别相交于 M,N 两点.如果 QB 的斜率与PB的斜率的乘积为-3 , 二 .填空题：本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分. 11.已知口 可一，兀l,sin 口 = 一，则 sin 2。= . 2 3 连续出现，且 y 在 z 的前面；C3数字在 0、1、2、 9 之间任选，可重复，且四个数字之积为 则.MBN 的大小等于（ ） JI 兀 2兀 A .- B . C . D .- 2

4、 4 3 3 A 数学（理科）试题卷第 3页（共4页） 12 .如图是某几何体的三视图，其中正视图和侧视图是全等的矩形，底边长 为 2，高为 3，俯视图是半径为 1 的圆，则该几何体的体积是 _ 13 . （1 + x）（2J?）4的展开式中x2项的系数为 _ .2 2 XV 2 2 14.已知双曲线 2 =1(a 0,b 0)的渐近线与圆x V -4x0有交点，则该双曲线的离心率 a b 的取值范围是 _ . 15已知正实数x, V满足In x+l ny=0,且k(x+2y)乞x2+4y2恒成立，则k的最大值是 _ . 16设x为实数，x为不超过实数x的最大整数，记 1x”.；=：x_x，则

5、的取值范围为0,1)，现定义无 f 1 丨 11 穷数列如下：印=乙？，当a. =0时，an, ;当a0时，an 0 .当:a 时，对任意的 aj 3 2 自然数n都有an =a，则实数a的值为 _ . 17. _ 设函数f(x) =x2 - x2 -ax -9( a为实数)，在区间(-：，和(3,；)上单调递增，则实数 a的取值范 围为 _ . 三解答题：本大题共 5 小题，共 72 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本题满分 14 分) 已知向量 m=(2sin x,1), n= (._ 3cos x,2cos2 x)，函数 f (x) = m n -t . (I )若

6、方程f(x)=0在0,-上有解，求t的取值范围； (n ) 在 ABC中，a,b,c分别是 A, B, C 所对的边，当(I)中的t取最大值且f (A) =1,b c = 2 时，求a的最小值. 19. (本题满分 14 分) 一个口袋中装有2个白球和n个红球(n兰2且n丘N,每次从袋中摸出两个球(每次摸球后把这 两个球放回袋中)，数学(理科)试题卷第 4页(共4页) 若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖. 1 (I)摸球一次，若中奖概率为 一，求n的值； 3 (n )若n =3,摸球三次，记中奖的次数为 ，试写出 的分布列并求其期望. 20. (本题满分 14 分) 已知直角梯形 AB

7、CD中，AD _ DC,AD _ AB,QDE是边长为 2 的等边三角形， AB = 5 .沿CE 将:BCE折起，使B至B处，且BC _ DE ；然后再将:ADE沿DE折起，使A至A处，且面ADE _ 面CDE , :BCE和.4 DE在面CDE的同侧. (I )求证：BC _平面CDE ； 21 .(本题满分 15 分) 已知椭圆C :2亍=1(a、b、0)的离心率为 ，且经过点A(0，-1). a2 b2 2 (I )求椭圆的方程； 3 (n )如果过点(0,-)的直线与椭圆交于 M ,N 两点(M ,N 点与A点不重合)， 5 O求AM AN的值； 包当AMN 为等腰直角三角形时，求直

8、线 MN 的方程. 22.(本题满分 15 分) 2 数学(理科)试题卷第 5页(共4页) 已知函数f (x) =(ax 一 ,X (0,1，它的一个极值点是 X-1. 2 -x 2 (I)求a的值及f (x)的值域； (n )设函数g(x)二ex 4、x -4x -a，试求函数F (x) =g(x) - f (x)的零点的个数.数学（理科）试题卷第 5页（共4页） 20 佃学年浙江省五校联考 三解答题 数学 （理科） 答案 选择题 1 5 CDBBC 6- 10 ACABD 10、提示：kpp kpQ =0,kBp KBQ = -3= kB = 3, kBQ = - 3 二.填空题 11、

9、12、2 二 3 13、25 (1,、2 15、 2 16、.2 -1 17、(0,12 ax 9, | 17、提示：设 g(x) =x2-ax-9 =0 的两根是：、：(八 門,则 f (x) =2x2 - ax-9, ax 9, （X厂） （：r x ：卩） x J :f (x)在(Y, ： ) L , a 0 ,又：g( -3) = 2a 0, g(0) = -9 ： 0, 一 ： * 一3 由 f（x）在（：，）L 可知，f （x）在（-：， 又 f(x)在 J和(V：0L ，且 f( 2 - 2 _a： _9 = a： 9， 则 f （x）在 （空， ：）L .f （x）在（3, f

10、）L当且仅当 a乞3,即a乞12 18、( 1) f (x)二 2sin(2 x ) 1 _t, f (x) = 0 = 6 二 二 7 二 , JI 当 x ,2时，“ 6 唁 6= Tt 2sin(2 x ) 1 =t 6 1 n sin(2x ) - ，1= 2sin(2 x ) 1 0,3 6 2 6 兀 (2) t =3,. f(x) =2si n(2x )-2 , 6 JI f( A)= - 1= A - 3 数学（理科）试题卷第 5页（共4页） 2 2 2 a = b c -2 bcos 2 bc( b c3 b4 -3 be =3 ：1a_1 am i n= 1 4 2)= 4

11、 数学(理科)试题卷第 8页(共4页) 彳 n(n1) 1 C| Cn 1 2 n2 n 2 n 2 = = = n = 2 3 C2 2 (n 2)(n 1)3n 2 2 2 因此， L B(3,)，分布列如下: 0 1 2 3 27 54 36 8 P 125 125 125 125 E 5 20、(I )证明：已知直角梯形 ABCD 中，可算得 AD=3, BC=23, CE=2,EB=3, 根据勾股定理可得 BC _ EC，即：BC _ EC，又 BC _ DE,DE CE 二 E , BC _ 平面 CDE ； 以 C 为原点，CE 为 y 轴，CB 为 z 轴建立空间直角坐标系，如

12、图 19、( 1) (2)若 n =3,则每次摸球中奖的概率 C； 1 3 10 (n) 从平面图形中可知： HU沦八谆鳥) n1 = (0,0,1), 设面 PAD 的法向量为 n2=(x,y,z)，且 BD =(、：3,1,-23), BA =( 3 4 4 x A E B y B A x C H E 易知面 CDE 的法向量为 数学(理科)试题卷第 9页(共4页) 则 C(0, 0, 0),B(0,0,2、.3),D( .3,1,0), E(0,2,0) 作AH _DE，因为面 ADE _面CDE，易知,AH _ 面CDE，且 AH 数学(理科)试题卷第 10页(共4页) 、3x y -

13、2 . 3z = 0 3 7 3 解得 x +_ y V3z =0, .4 21、( 1)因为椭圆经过点 A(0, _1) b =1，因为 c . a -1 3 e ，解得 a = 2, a a 2 2 所以椭圆的方程为 -y2 =1 . 4 一 3 (2)若过点(0, 3)的直线的斜率不存在，此时 5 M ,N 两点中有一个点与 A点重合，不满足题目条件. 所以直线 MN 的斜率存在，设其斜率为 k 3 则MN的方程为y =kx -, 5 24 kx 5 64 X2 2 ， 25(1 +4k ) 6 3 把y =kx 代入椭圆方程得(1 4k2)x2 5 24k X1 X2 2 , X1 5

14、(1 +4k ) 6 6 2 y1 y2 = k( X1 X2) , y1 y k X1 5 5(1 4k ) 因为 A(0, -1)，所以 AM扁 64 =0，设 M(X1,yJ,N(X2,y2)，则 25 X2 2 孰x1旳誥说， =(x,y 1)化小 1)=沁 y (yi y2) 1 2 64 -100 k 9 6 1 =0 25(1 4k ) 25(1 4k ) 5(1 4k ) 由O知: /MAN =90，如果 AMN 为等腰直角三角形，设 MN 的中点为P，则 AP _MN 口 12k - ，且 P ( ) 5(1 +4k ) 5(1 +4k ) 3 3 则P(0,)，显然满足 A

15、P_MN，此时直线 MN 的方程为y二一； 5 5 则kAP =-迎 ，解得 k 5，所以直线 MN 的方程为 y ，即 12k k 5 5 5 5x -5y 3=0 或 5x 5y -3 =0 . 综上所述：直线 MN 的方程为y =3或.5x-5y，3=0或5x，5y-3=0 . 22、( 1)f(x)=2a(am)2, (2 - x)2 因为它的一个极值点是 当a =2时, 分析可知: 1 2 ，所以有f ( )=0，可得a = 2或a二. 2 7 1 1 f(x)在区间(0,刁单调递减，在区间(?，1单调递增; 1 X 二 由此可求f(x)的值域为0,1； 2 当a 时, 7 分析可知

16、: ,COS ：: 4,数学(理科)试题卷第 11页(共4页) 1 1 f (x)在区间(0,单调递减，在区间(一，1单调递增; 2 2数学(理科)试题卷第 12页(共4页) 由此可求得，f (x)的值域为 - 49 49 (2)函数F (x)二g(x)-f (x)的零点个数问题可转化为函数 f (x)的图象与函数g(x)的图象的交点个数 问题. 设m(x) =exx -1，则m (x)二ex1 . 0，所以函数m(x)在区间(0,1上单调递增 A _ _ A 而 g() 2、一2 -4 0 = f(-), 2 2 结合(1)中函数f (x)的单调性可得，此时函数 f (x)的图象与函数g(x)的图象有 2 个交点，即函数 F(x)有 2 个零点. 2 x 一 2 5 25 (|)当 a 时，g(x) =e 4 .x-4x ，由于