平面向量的数量积的性质

1、個 J平面向量的数量积的性质【问题导思】已知两个非零向量a, b, &为a与b的夹角.1. 若ab= 0,则a与b有什么关系？【提示】a b= 0, aM0,0,二 cos 0= 0, 0= 90°, a丄b.2. aa等于什么？【提示】|a| |a|cos 0 = |a|2.(1) 如果e是单位向量，则 a e= e a= |a|cos <a, e(2) a丄b? a b= 0;(3) a a= |a|2 即 |a|= a a；a b(4) cos <a,工0)；(5) |a b|< |a|b|.卸5.J平面向量数量积的运算律(1) 交换律：a b= b

2、a；(2) 分配律：(a + b) c= a c+ b c；数乘向量结合律：对任意实数 入，Xa b) = (?a) b =a ( X).谓总斤动探究就號难期生丘动挫”崩能| toll -J向量的数量积运算卜例El(2013海淀高一检测)已知|a|= 5,|b|= 4,a与b的夹角为120°,(1)求a b；求a在b方向上的射影的数量.【思路探究】利用数量积的定义及几何意义求解【自主解答】(1)a b= |a|b|cos 01=5X 4X cos 120 = 5X 4X (-§) = 10.5(2)t |a|cos 0= 5Xcos 120 丄一，5 a在b方向上的射影的数

3、量为一|.I规律方法I1在书写数量积时，a与b之间用实心圆点“ 连接，而不能用“X”连接, 更不能省略不写2. 求平面向量数量积的方法(1) 若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a b= |a|b|cos 0.(2) 若已知一向量的模及另一向量在该向量上的射影的数量，可利用数量积 的几何意义求a b.>变戏训练1. (2013玉溪高一检测)已知|a|= 6，|b| = 3, a b= 12,则a在b方向上的射影的数量是()A. 4B.4C. 2D.2a b 122【解析】cos<a，b> = 丽=贏=-3,向量a在向量b方向上的射影的数量为 |a|cos<a，b>

4、;= 6X3 = 4，故选 A.【答案】 A2. 已知|a| = 6， e为单位向量，当向量a、e之间的夹角0分别等于45° 90° 135°时，分别求出a e及向量a在e方向上的正射影的数量.【解】 当向量a和e之间的夹角0分别等于45° 90° 135°时，|a| |e|cos 45 =6X 1子=3 2;|a| |e|cos 90 =6X 1 X 0= 0；|a|e|cos 135 =6X 1X (-2?)= 3,2.当向量a和e之间的夹角0分别等于45° 90°, 135°时，a在e方向上的正射影

5、的数量分别为:|a|cos 0= 6Xcos 45 ° 2;|a|cos 0= 6xcos 90 °0;”皿与向量模有关的问题b /Sil已知向量a与b的夹角为120°,且|a|= 4, |b|= 2，求：(1)|a|a|cos 0= 6 x cos 135 ° 3 2.+ b|;(2)|(a+ b) ( 2b)|.【思路探究】利用a a= a2或|a|= .a2求解.【自主解答】 由已知 a b= |a|b|cos 0= 4x2xcos 120 ° 4, a2= |af= 16,2 2b = |b| = 4.(1) v |a+ b|2= (a

6、 + b)2 = a2 + 2a b+ b2= 16+ 2x ( 4) + 4= 12,二 |a+ b|= 2 3.2 2(2) v (a+ b) ( 2b) = a a b 2b = 16 ( 4) 2x4= 12,二 |(a+ b) (a2b)|= 12.I规律方法I1. 此类求模问题一般转化为求模平方，与数量积联系 .2利用a a=a2= |af或|a|= a2，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.a h训练设&、e2是夹角为45°的两个单位向量，且 a= ei + 2e2, b= 2& + e2,试求|a + b|的值.【解】I a+ b= (ei + 2e

7、?)+ (2e + e2)= 3(e + e2), |a+ b|= |3(e1 + e2)| = 3|e1 + e?|= 3p(e1 + e f=3 . e1 + 2e1 e2 + e2 = 3 2+ 2.卜例与向量夹角有关的问题(2014济南高一检测)若向量a,b,c两两所成的角均为120°,且|a|= 1, |b|= 2, |c| = 3,求向量a+ b与向量a+ c的夹角0的余弦值.【思路探究】先利用已知条件，分别求出(a+ b) (a + c), |a + b|和|a + c|的大小，再根据向量的夹角公式求解【自主解答】I (a+ b) (a+ c) = a2 + a b+

8、a c + be9 =1+ 1X 2X cos 120 + 1 x 3X cos 120 °2X 3X cos 120 =空,|a+ b|= ia+ b =、ja + 2a b+ b*忙 + 2X 1X 2X cos 120 °22 =农,|a+ c|= a2 + 2a c+7,9n(a+ b)(a+ c) 23/21-cos 0= 一 _ ,|a+ b|a+ c| 3x714所以向量a+ b与a+ c的夹角0的余弦值是一3 2114 .I规律方法I1求向量a, b夹角的流程图I1 I1a b I1求|a|, |b 计算 a b计算 cos 0=-结合180°,求

9、解 0| |a|b| r2. 当题目中涉及向量较多时，可用整体思想代入求值，不必分别求值，以避 免复杂的运算.变耳训练(1)(2014辽宁师大附中高一检测)若向量a与b不共线，a b0,且c= a则a与c的夹角为(nA.0B.6nC.3nD.2(2)(2014贵州省四校高一联考角是()若 |a| = 2, |b| = 4 且(a+ b)丄 a,贝U a 与 b 的夹2n 代亍nB.34 nCE【解析】(1)v a c= a a囂丿b =2nD.2na222ab a b= a a = 0,又 a 0,ncm0,.°. a丄c, a与c的夹角为2，故选D., 2 2（2）因为（a+ b）

10、丄a，所以（a+ b） a= a + a b= 0, 即卩 a b= a = 4，所以a b 412 ncos<a, b> = 丽7厂24 =一，又因<a，b> 0 , n,所以a与b的夹角是, 故选A.【答案】D (2)A升K 1B P3 阱 3巧育厭解疑辨俱避易我易误辨析混淆两向量夹角为钝角与两向量数量积为负之间关系致误典例 设两向量ei，e2满足：斜| = 2,血|= 1, ei, e的夹角为60°.若向量 2tei + 7e2与向量ei + te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.1【错解】由已知得& e2 = 2x ix二1,于是(2tei

11、+ 7e2)(ei +1e2)= 2te 2 2 2(2t ei + 7e2)(e +1 e2) = 2te + (2t + 7)ei e2+ 7t 2 = 2t + 15t+ 7.因为2tei + 7e2与ei + te2的夹角为钝角，2 1所以 2t + 15t+ 7<0,解得7<t< 但是，当2tei + 7e2与ei + te2异向共线时，它们的夹角为180°,也有2t2 + 15t+ 7<0,这是不符合题意的.此时存在实数人使得 + (2t2 + 7)ei e2 + 7te2 = 2t2 + 15t+ 7.因为2tei + 7e2与ei + te2的

12、夹角为钝角，所以 2t?+ 15t+ 7<0,解得7<t< 【错因分析】当两向量反向共线时，其数量积为负，但夹角不是钝角而是平角.【防范措施】若两向量的夹角为钝角，则这两向量的数量积为负；反之不成立，因为两向量反向共线时，夹角为平角，即180。，其数量积也为负.1【正解】由已知得& e2 = 2x 1 x = 1,于是2tei + 7e2=Xei + te2），即卩2t=入且7=才，解得t =±2>.故所求实数t的取值范围是一7,弓2 .2tei + 7e2=Xei + te2），即卩2t=入且7=才，解得t =±2>.2tei + 7

13、e2=Xei + te2），即卩2t=入且7=才，解得t =±2>.1. 两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正（当a0,0,0 ° 0<90°时），也可以为负（当a 0,0,90 < 9< 180°时），还可以为0（当a = 0 或 b= 0 或 A 90°时）.2. 数量积对结合律一般不成立，因为 （a b） c= |a|b|cos <a，b> c是一个与c 共线的向量，而（a c） b= |a|c|cosa，c> b是一个与b共线的向量，两者一般不 同3. a在b方向上的射影与

14、b在a方向上的射影是不同的，应结合图形加以区 分.交谥学 习恆I習它双基达标驗堂练主生工动达”改捋1. 对于向量a，b, c和实数入下列命题中正确的是（）A. 若 a b= 0,贝U a= 0 或 b= 0B. 若尬=0,则a = 0或A0C. 若 a2 = b2,贝U a = b 或 a= bD. 若 a b= a c,贝U b= c【解析】由向量数量积的运算性质知 A、C、D错误.【答案】B（2013安徽高考）若非零向量a, b满足|aA3|bA |a + 2b|,则a与b夹角的余弦值为.【解析】由 a匸 |a+ 2b|,两边平方，得 |a|2= (a+ 2b)2=|a|2 + 4|b|2

15、 + 4a b,a b 一 |bpi所以 a b=- |b|2.又|a匸3|b|,所以 cosa, b=丽厂"3 = 3.1【答案】-12. 已知|a| = 4, |b|= 6, a与b的夹角为60°则向量a在向量b方向上的射影 是.1【解析】向量a在向量b方向上的射影是|a|cos 60 =4X- = 2.【答案】24已知|a匸4, |b|= 5,当(1)a/ b; (2)a丄b; (3) a与b的夹角为30°时，分别 求a与b的数量积.【解】当a / b时，若a与b同向，贝U A 0°a b= |a|b|cos 0 丄4X 5 = 20；若a与b反向

16、，贝U A 180°, ab= |a|b|cos 180 =4X 5X (- 1)=-20.当a丄b时，<a, b>=nn a b= |a|b|cos2= 4X 5X 0= 0.当a与b的夹角为30°时，a b= |a|b|cos 30 = 4X 5X今=10 3.濡下濟 自馳评估捉”者耘自主测 if K 1一、选择题1.|= 1, |b| = 2, c= a+ b且 c丄a,则 a 与 b 的夹角为()A.30 °B.60 °C. 120 °D.150 °【解析】c±a,设a与b的夹角为0,则(a+ b) a

17、= 0,所以a2 + a b= 0,所以 a2 + |a|b|cos 0= 0,1贝U 1 + 2cos 0= 0,所以 cos，所以 0= 120°.故选 C.【答案】C2.若向量a与b的夹角为60°, |b| = 4,且(a+ 2b) (a 3b)= 72,则a的模 为()A.2B.4 C.6D.12【解析】T (a+ 2b) (-a 3b) = a2 a b 6b2= |af|a| |b|cos 60 6|b|2= |af 2|a| 96= 72,|af 2|a| 24 = 0,二 |a|= 6.【答案】C34ABC 中，ABACV 0,则厶 ABC 是()A.锐角三

18、角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.等边三角形-【解析】T AB AC = AB|AC|cos Av 0, cos Av 0. a A是钝角. ABC是钝角三角形.【答案】C3. (2014怀远高一检测)已知i与j为互相垂直的单位向量，a= i 2j, b= i + 5且a与b的夹角为锐角，则实数 入的取值范围是()A.( -, 2)U 2,扌B.【解析】va b= (i 2j) (i + 5)= 1 2A>0,1 5vp 又 a、b 同向共线时，a b>0,设此时 a= kb(k>0),贝U i 2j = k(i = 2,二a、b夹角为锐角时，入的取值范围是（ g,2）

19、U 2, 2，故选 a.【答案】A4. （2014皖南八校高一检测）在厶OAB中，已知OA= 4，OB= 2,点P是AB的垂直平分线I上的任一点，贝U OPAB=()A.6B. 6 C.12D. 121 【解析】 设AB的中点为M，则OPAB= (OM + MP) AB = OM AB=(OA+ 1 2 2OB) (O B OA) = 2(OB OA) = 6.故选 B.【答案】B二、填空题5. (2014北大附中高一检测)向量a与b的夹角为120° |a|= 1, |b| = 3,则|5ab| =.【解析】因为 a b= |a|b|cos 120 = 2,所以 |5a bf = 2

20、5a2 10a b+ b2=25 10X 3 + 9= 49,所以 |5a b|= 7.【答案】76. 已知a丄b, |a| = 2, |b|= 3,且3a + 2b与2a b垂直，则 入等于.【解析】：(3a + 2b)丄(2 b) (2 b) (3a + 2b) = 0, 3 22+ (2 2 3)a b 2b2 = 0.又T |a| = 2, |b| = 3, a丄b,-12 2+ (2 入3) X 2X 3X cos 90 18= 0,3 12 18 = 0,. 2= 2.【答案】3（2014温州高一检测）已知a是平面内的单位向量，若向量 b满足b （a b）=o,则|b|的取值范围是

21、.【解析】设a, b的夹角为9,由b(a b) = 0, 得 |b| |a|cos B|b 0.解得|b|= 0或|b|=|a|cos A cos其1,所以|b|的取值范围是0,1.【答案】0,1三、解答题7. 已知向量a、b的长度|a| = 4, |b|= 2.若a、b的夹角为120°求|3a 4b|;若|a+ b| = 2,3,求a与b的夹角9【解】(1)a b= |a|b|cos 120 °=4 X 2 X = 4.又 |3a 4bJ (3a 4b)2 = 9a2 24a b+ 16b2=9 X 42 24X ( 4)+ 16 X 22 = 304,|3a 4b| =

22、 4,19.(2)v |a+ b|2= (a + b)2 = a2 + 2a b+ b2=42 + 2a b+ 22= (2 3)2,a b 41-a b= 4,cos|a |b 厂 4X 2= 2又 9 0, n. A 38. 已知a丄b,且|a|= 2, |b|= 1,若有两个不同时为零的实数k, t，使得a+ (t 3)b与一ka + tb垂直，试求k的最小值.【解】/ a±b,.°. a b= 0,又由已知得a+ (t 3)b ( ka+tb)= 0, ka + t(t 3)b 0.|a|= 2, |b| 1,a 4k + t(t 3) 0.1 2 c、 1329-

23、k 4(t 3t)4(t2 16(t 工 °).故当t I时，k取最小值一16.9. (2014 淄博高一检测)设向量 a, b满足 |a| |b| 1,且 |3a 2b| .7.(1)求a与b夹角的大小；求a+ b与b夹角的大小;求|3a+ b|3a- b|的值.【解】设 a 与 b 的夹角为 9, (3a- 2b)2 = 9|a|2 + 4|b|212ab= 7,1又|a| |b| ，a b= 2，|a|b|cos A £1 即 cos A £n又茨0, n, a a与b的夹角为3.213(2) 设 a+ b与 b 的夹角为 a, t (a+ b) b= b + a b= 1+|a+ b|= , a2 + b2 + 2a b= _3,