平面向量的所有公式-平面向量公式

1、平面向量的所有公式设 a=（x，y），b=（x'，y'）。1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。AB+BC=AC 。a+b=（x+x' ， y+y'）。a+0=0+a=a。向量加法的运算律：交换律： a+b=b+a；结合律： （a+b）+c=a+（b+c）。2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么 a=-b, b=-a, a+b=O. 0的反向量为0AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=（x,y） b=（x',y'） 则 a-b=（x-x',y-y'）.3、数乘向量实数入和向量a的乘积是一个向量，

2、记作 入a且I入1 = 1 Xl?l al。当A>0时，入a与a同方向；当& 0时，入a与a反方向；当入=0寸，入a=0方向任意。当a=0时，对于任意实数 人都有入a=0注：按定义知，如果 入a=0那么入=0或 a=0。实数入叫做向量a的系数，乘数向量入的几何意义就是将表示向量 a的有向线段伸长或压 缩。当I XI > 1时，表示向量a的有向线段在原方向（入0）或反方向（疋0） 上伸长为原来 的I入I倍；当I Xv 1时，表示向量a的有向线段在原方向（X>0）或反方向（疋0） 上缩短为原来 的I X I倍。数与向量的乘法满足下面的运算律结合律： （Xa）?b=X（a?

3、b）=（a。? Xb）向量对于数的分配律（第一分配律）：（X +卩）a= X a+卩a.数对于向量的分配律（第二分配律）：X （a+b）= X a+ X b.数乘向量的消去律： 如果实数入工且X a=XI那么a=b。 如果a0且 X a=仏那么X =卩4、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作a,b并规定 0W a,b<n定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a?b若a、b不共线，则a?b=|a|?|b|?cos a，b> ；若 a、b 共线，则 a?b=+- I a II b I。向量的数量积的坐标

4、表示：a?b=x?x'+y?y。'向量的数量积的运算律a?b=b?a（交换律）；（X a）?b= X （a关于数乘法的结合律）；（a+b）?c=a?c+b? （c 分配律）；向量的数量积的性质a?a=|a的 平方。a 丄 b =a?b=0o|a?b| < |a|?|b|向量的数量积与实数运算的主要不同点1、向量的数量积不满足结合律，即：（a?b）?c工a?（b?例如：（a?b2工aA2?bA22、 向量的数量积不满足消去律，即：由a?b=a?c （a千推不出3、|a?b| 工 |a|?|b|4、由 |a|=|b|，推不出 a=b 或 a=-b。5、向量的向量积定义：两个向

5、量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作 则a>b的模是：l a>b I =|a|?|b|?sina, b； a>b的方向是：垂直于 这个次序构成右手系。若a、b共线，则a>b=0o向量的向量积性质：I a>b I是以a和b为边的平行四边形面积。a 冶=0。a II b =a>b=0。向量的向量积运算律a>b=-b 冶；（入）> b=（ a>b） =a> （入 b；（a+b） >c=a>c+b>c.注：向量没有除法，向量AB/向量CD'是没有意义的。6、向量的三角形不等式1、II a I - I b I

6、I <1 a+b I < I a I + I b I ； 当且仅当 a、 b 反向时，左边取等号； 当且仅当 a、 b 同向时，右边取等号。2、a - b < a-b < a + b 。 当且仅当 a、 b 同向时，左边取等号； 当且仅当 a、 b 反向时，右边取等号。7、定比分点定比分点公式（向量 P1P=X佝量PP2）设P1、P2是直线上的两点，P是I上不同于P1、P2的任意一点。 量P1P=X?量PP2,入叫做点P分有向线段P1P2所成的比。若 P1 （x1,y1），P2（x2,y2）, P（x,y），则有OP=（OP1-a OP2）（1+ ；（定比分点向量公式）x=（x1+ 入 x2）/（1+ 入）,y=（y1+入y2）/（1 +。X定比分点坐标公式）我们把上面的式子叫做有向线段 P1P2的定比分点公式8、三点共线定理若OC=X OA +卩OBJ且 X +卩二则,A、B、C三点共线9、三角形重心判断式在厶ABC中，若GA +GB +GC=0,则G ABC的重心10、向量共线的重要条件若bQ则a/b的重要条件是存在唯一实数 X，使a= X。a/b的重要条件是 xy'-x'y=0。零向量 0 平行于任何向量。11、向量垂直的充要