平面向量全部讲义

1、第一节平面向量的概念及其线性运算1. 向量的有关概念(1) 向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模. (2) 零向量：长度为 0的向量，其方向是任意的.单位向量：长度等于 1个单位的向量.平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线.相等向量：长度相等且方向相同的向量.相反向量：长度相等且方向相反的向量.例 3 :化简 AC BD + CD AB得() A.AB B.DA C.BC D . 0例4:如图，在正六边形 ABCDEF中，BA + CD + EF =()A. 0 B. BEC. ADD. CF三三二三三三设D ,E分别是 ABC的边AB

2、,BC上的点，AD =AB, BE=§BC.若DE =入AB +沁AC(乃，h为实数)，贝V入+ b的值为例1 .若向量a与b不相等，则a与b 一定()A .有不相等的模B .不共线C .不可能都是零向量D .不可能都是单位向量例2.给出下列命题：若|a|=|b|,贝U a= b;若A, B, C, D是不共线的四点，贝U AB = DC等价于四边形 ABCD 为平行四边形；若a = b,b=c,贝Ua= c;a= b等价于 |a|=|b|且a/b;若 a/ b, b/ c,贝Ua / c.其中正确命题的序号是()A .B .C .D .CA2. 向量的线性运算向量运算定义法则(或几

3、何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1) 交换律：a + b= b+ a;(2) 结合律：(a + b) + c=a+ (b+ c)三角形法则a平行四边形法则减法求a与b的相反向 量一b的和的运算 叫做a与b的差/ a b= a + ( b)a三角形法则数乘求实数h与向量a的积的运算(1)I h|=|h|a|;当h>0时，h的方向与 a的方向相同；当 hv 0时， h的方向与a的方向相反； 当 h= 0 时，ha= 0h ua)=(入 M；(h+ p)a = ha + a;h a+ b)= ?a+ 2b巩固练习：1. 将4(3a+ 2b) 2(b 2a)化简成最简式为 .2. 若 oA

4、+ofe|=OA- O)B| 则非零向量O)A,宛的关系是()A .平行 B.重合 C .垂直D .不确疋3 .若菱形ABCD的边长为2,则I AB CB + CD |=4. D是厶ABC的边AB上的中点，则向量 CD等于()111 1A . BC +: BA B . BC -： BAC. BC -； BAD . BC +； BA5 .若A, B, C, D是平面内任意四点，给出下列式子：AB + CD = BC + DA ;AC + BD = BC + AD ;AC BD = DC + AB .其中正确的有()A . 0个 B . 1个 C . 2个 D . 3个6.如图，在 ABC中，D,

5、 E为边AB的两个三等分点，CA = 3a, CB= 2b,求CD, CE.1 DD" 巩固练习 1。16a+ 6b 2。C 3。24。A 5。C 6.解：AB = AC + CB = 3a + 2b,v D , E为AB的两个三等分点， AD =1 AB = a+fb= DE. CD = CA+ AD = 3a a +£b= 2a+fb. CE= CD + De = 2a,224+ 3b a + 3 b= a + 3 b3. 共线向量定理：向量a(a0)与b共线等价于存在唯一一个实数 人使得b= ha例5 .已知a与b是两个不共线向量，且向量 a + ?b与一(b 3a)

6、共线，贝U =例6.设两个非零向量 a与b不共线，(1)若AB = a + b, BC = 2a+ 8b, CD = 3(a b),求证：A, B, D三点共线.(2)试确定实数k,使ka+ b和a + kb共线.巩固练习：1给出下列命题:P, B三点共线？ AP = XAB(疋 0)? OP = (1 t) OA + tOB (0 为平面内异于 A,P, B的任两个具有公共终点的向量，一定是共线向量两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.为实数)，则入必为零 人为实数，若 扫=山,则a与b共线其中错误的命题的个数为2如图，已知AB = a, AC = b, BD = 3 DC，用a, b

7、 表示 AD，则 AD =()3.已知向量量 a + b+ c=(13B.4a+4bi ia+4bb, c中任意两个都不共线，但a + b与c共线，且b+ c与a共线，则向C. c4如图，在 ABC1中，/ A = 60 ° / A的平分线交BC于D，若AB= 4,且AD = - AC +入AB (氐R)，则AD的长为()A 2 .33,3 C 4 3D 5,35在？ABCD 中，AB = a, AD = b, AN = 3 NC , M 为 BC 的中点，贝V MN =a,b表示)6.设点M是线段BC的中点，点A在直线BC夕卜，BC 2= 16,1 AB + AC |= | AB

8、AC ,则| AM | =t R)? OP = xOA + yOB(O为平面内异于A, P, B的任一点,x R, y R, x+ y= 1).第二节平面向量的基本定理及坐标表示1. 平面向量基本定理如果e1, e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数X, X,使a=Xe1 + Xe2.其中，不共线的向量 e1, e?叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2. 平面向量的坐标运算(1) 向量加法、减法、数乘向量及向量的模：设a = (x1, y” , b= (x2, y2),则 a + b= (X1 + X2, y1 + y2), a b= (x1 X2

9、, y1 y2), ?a=( Xx Xy, |a |= , x1+ y1.(2) 向量坐标的求法： 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. 设 A(x1 , y1), B(X2, y2),则 AB = (x2 x1 , y2 y1), | AB 1=7(X2 X1)2+( y2 y1.3. 平面向量共线的坐标表示设 a = (X1, y” , b= (X2, y2),其中 b* O.a/ b? X1y2 X2y1 = 0.B . 3a bC. a+ 3bD . a+ 3bA. . 2 B. , 3 C. 5 D. 一 10A. 4 B. 5 C. 6 D. 71 例 5 3 例 6

10、 解(1)证明：/ AB = a + b, BC = 2a+ 8b, CD = 3(a b), BD = BC + CD = 2a + 8b+ 3(a b)= 2a+ 8b+ 3a 3b= 5(a + b) = 5 AB AB , BD 共线，又它们有公共点 B, A, B, D三点共线./ ka+ b与a+ kb共线，存在实数 人 使ka+ b= ?(a+ kb),即ka+ b= ?a+入b. (k ?)a =(入1)b.°.° a, b是不共线的两个非零向量，- k =入 k 1 = 0,. k2 1 = 0. k= ±1.1 1C B D B 4 a + 4

11、b24向量的中线公式： 若P为线段AB的中点，0为平面内一点，贝U OP = (OA + 0B)例 7 若 A(0,1), B(1,2), C(3,4)，则 AB 2BC =_例8.已知点M(5 , 6)和向量a= (1, 2)，若MN = 3a,则点N的坐标为()A . (2,0) B. ( 3,6)C.(6,2)D. ( 2,0)例 9 .已知 A( 2,4), B(3, 1) ,C( 3, 4).设 AB = a , BC = b ,CA = c.(1)求3a + b 3c；求满足a = mb+ nc的实数m , n.巩固练习:1 .若向量 a = (1,1) , b= ( 1,1) ,

12、 c= (4,2),贝U c= () A . 3a + b2已知向量 a= (x , y) , b= ( 1,2),且 a + b= (1,3),则 |a等于()已知向量 a= ( 3,2) , b= (x , 4),若 a / b,贝U x=()3#5.三点共线等价关系P的坐标为()4 .设点A(2,0), B(4,2),若点P在直线AB上,且|AB|= 2|AP| ,则点 A . (3,1) B. (1 , 1) C. (3,1)或(1 , 1)D .无数多个#B.-32tttBE=§BC.若DE =bAB +&AC(入,b 为实数),贝V 入 +1 1 115. 已知

13、a= (1,2), b= ( 3,2)，当 ka + b 与 a 3b 平行时，k= ()A.4 B - C. -D.§6. 已知向量a=(cos0,sin0)，向量b=(3, 1)，则|2a b|的最大值、最小值分别是( )DA. 4 .2，OB. 42，4 C. 16,0 D. 4,07. 已知向量 a= (1,2), b= ( 2,3), c= (4,1)，若用 a 和 b 表示 c,贝U c=.&已知向量 a= (3,1), b= (1,3), c= (k,7)，若(a c)/ b,贝U k=.变式训练:1.在 ABC中，已知D是AB边上一点，若AD二2DB , CD

14、二CA CB ,则怎=3C.312.设D , E分别是 ABC的边AB , BC上的点，AD =AB ,4#拒的值为例 7. ( 3, 3) 例 8.A 例 9.解：由已知得 a= (5 , 5), b= ( 6, 3), c= (1,8).3.若M为. ABC内一点，且满足AM3 1AB AC ,则=ABM与厶ABC的面积之比为4(1) 3a + b 3 c= 3(5, 5) + ( 6, 3) 3(1,8) = (15 6 3, 15 3 24) = (6, 42).6m+ n = 5,m= 1,(2) / mb+ nc= ( 6m+ n, 3m+ 8n) ,. *解得 i3m + 8n=

15、 5 ,|n = 一 1.B C C C C D2a b54若点M是厶ABC所在平面内的一点,且满足5AM = AB + 3AC ,则厶ABM与厶ABC的面积比为（）C#2B£9D.25平面向量基本定理及其应用：如果，那么对这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数入,A，使a =入&+ ba ,其中 e1 , e2是一 -组基底.- 1 =1 特别注意：若e1 , e2是同一平面内的两个不共线向量，a =入&+代,b = 'e,亠為空则a二b：=02 =卩2#例10：（ 1）如图，平面内有三个向量 Oa , OB , OC ,其中OA与Ob的夹角为120

16、76; OA与OC的夹角为30°且|Oa例10 :1:4>>>>>|= |OB|= 1, |OC|= 2占,若0C = QA+ QB(入 吐 R),贝U H 的值为平面向量共线的坐标表示例 11 .已知 a = (1,2) , b= ( 3,2),当实数k取何值时，ka + 2b与2a 4b平行?#练习：1.已知向量 a = (2,3) , b= ( 1,2),若(ma+ nb) / (a 2b),则書等于()C1 1（2）已知AD, BE分别是AABC的边BC, AC上的中线，且AD =a,BE =b，则BC可用向量a, b表示为A . 2B. 2C

17、. -D.?2. 已知A(1,1) , B(3 , 1) , C(a , b). (1)若A , B , C三点共线，求a , b的关系式；若AC = 2 AB,求点C的坐标.(3).如图，已知 C为也OAB 边 ab上一点，且 AC =2CB,OC = mOA + nOB(m,n R),则 mn=_A3. 平面内给定三个向量a= (3,2) , b= ( 1,2) , c= (4,1). (1)求满足a = mb+ nc的实数 m , n;若(a + kc) / (2ba),求实数k；5解法k 2?= 0,2 + 4 ?= 0.16石性质几何表示坐标表小定义a b= |a|b|cos a,

18、b>a b= a1b+ a2b2模a a= |a|2或|a|=0_a厂i；2丄2|a |= ； aa 2若 A(x1, y1), B(x2, y2),则 AB = (X2X1, y2 y”| AB =寸(x2 x1)2+ (y2 y1)2a丄b的等价条件a b= 0a1b1+ a2b2= 0夹角a bcosa，b>= aiibi (|a|b 0)a* 玄2匕22cosa, b> ,丿2丄2.2丄-2寸a +玄2、|鸟+ b?|a b|与 |a |b 的 关系|a b|w|a |b | a1b1 + a2b2 任 Ja； + a； Jb； + b；例11.解法一：/ 2a 4b

19、z 0,.存在唯一实数入使ka + 2b= 2a-4b).将a, b的坐标代入上式,得(k 6,2k+ 4) =2(14, 4)，得 k 6 = 14 入且 2k + 4= 4人解得 k= 1.同法一有 ka+ 2b= 22a 4b)，即(k 2 ?)a + (2 + 4?)b= 0. v a 与 b 不共线, k= 1.1. C 2解：(1)由已知得 AB = (2, 2), AC = (a 1, b 1),v A, B, C 三点共线，AB / AC . 2(b 1) + 2(a 1) = 0，即 a + b = 2.ff_a 1 = 4,a= 5,(2) / AC = 2 AB , (a

20、 1, b 1) = 2(2 , 2). 解得|b 1 = 4,|b= 3.点 C的坐标为(5, 3).5f m+ 4n = 3,m= 93.解(1)由题意得(3,2) = m( 1,2) + n(4,1)，所以得2m+ n = 2,.8-，n = _9(2)a+ kc= (3 + 4k,2+ k), 2b a = ( 5,2)，由题意得 2X (3 + 4k) ( 5)x (2 + k)= O. k=一、平面向量数量积的运算例1(1)在等边三角形 ABC中，D为AB的中点，AB= 5,求AB BC , CD(2)若 a = (3, 4), b= (2,1)，求(a 2b) ( a + 3b)

21、和 |a+ 2b|.6#平面向量的数量积及应用知识梳理1.两个向量的夹角(1) 定义：已知两个 向量a和b,作0A = a, OB = b,则向量b的夹角，记作a, b>.(2) 范围：向量夹角 a, b>的范围是 ，且= b, a>.称作向量a与变式训练1.已知下列各式：|a|2= a2；¥=上；(a b)2= a2b2:(a b)2= a2 2a b+ b2,其中正确的有().|a I aA . 1个B . 2个C . 3个D . 4个2 r 222下列命题中： a (b-c)二 a b-a c ； a (b c (a b) c ；(a-b) =|a| -2|a

22、|bp |b| ； 若a，b = 0，则a = 0或b=0 ；若a'b=C'b,则a=c ；其中正确的是 (答：)3.已知 a=2，b = 3,a与b的夹角为 120°，求(1 a'b;( 2)ab'；(3 ( 2ab)(a+3b)(3)向量垂直：如果a, b>，贝H a与b垂直，记作3T4已知a = 3 , b = 4, a与b的夹角为 ，求(3a- b)(a+ 2b)。 42.平面向量的数量积(1)平面向量的数量积的定义： 叫作向量a和b的数量积(或内积)，记作a b=.可见，a b是实数，可以等于正数、负数、零.其中|a|cos 0(|b|

23、cos 6)叫作向量a在b方向上(b在a方向上)的投影.7#(2)向量数量积的运算律a b=(交换律)(a+ b) c=(分配律)(扫)b= a (期(数乘结合律).5.已知 a= (1, 3), b= (4,6), c= (2,3)，则(b c)a 等于().A . (26 , 78) B . ( 28, 42) C. 52D . 78#3.平面向量数量积的性质：已知非零向量a = (a1, a2), b= (b1, b2)#3.已知a,b是两个非零向量，且 a = b = ab，则a与a+b的夹角为 (答: 30：)8#二、求平面向量的模例2 (1)设向量a,b满足a = b=1及3<

24、;2b=3，求3< + b的值4、已知a二(6,0) , b = (-5,5)，则a与b的夹角为()A、45 0B、60 0C、135 0 D、120 0(2)设平面向量 a= (1,2), b= (-2, y)，若 a / b,则 |3a+ b等于().A .5B. .6C. .17D.265. 已知 a = (1,),b = (0, - -),c = a kb,d = a- b , c与 d 的夹角为，贝y k 等于 (答：1)；224126. 已知|a|=3 , |b|=5，且a，b = 12，则向量a在向量b上的投影为(答：一)5变式训练1 .已知 | a |=2,| b |=5

25、, a b =-3,则 | a + b |=,|a - b |=.n2. 若向量a, b满足|a|= 1, |b|= 2且a与b的夹角为-，则|a + b| =.3四。利用数量积解决垂直问题例4若非零向量ot、0满足a =|a _ p，证明：a丄&3. ABC 中，| AB |=3 , | AC | = 4，| BC | =5，则 AB BC = (答：一9)；4. 已知向量a =仙乎,5和乎-b= (cos'si n|)，且x -扌,扌(1)求a b及|a + b|; (2)若f(x)= a b- |a+ b|,求f(x)的最大值和最小值.#三、求夹角例 3 已知 |a|=

26、4, |b|= 3, (2a- 3b) (2a + b)= 61.(1)求 a 与 b 的夹角 0;变式训练：MK MM M1.已知a =1,b =-、2,且a-b与a垂直，求a与b的夹角2.若a, b是非零向量且满足(a2b) _ a , (b -2a) _ b，则a与b的夹角(A.D.35:变式训练：1. 已知 0A=(-1,2), 0B = (3,m)，若 0A_ OB，则 m=(答：-);22. 以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，上B = 90° ,则点B的坐标是 (答：(1,3)或(3,-1 )；m" mk""hat3. 已知n = (a,b),向量n丄m，且n = m，则m的坐标是 (答：(b-a)或(b,a)4 .已知a, b是平面内