大学物理绪论_杭师大

1、本学期要做的实验 长度密度的测量 刚体转动的研究 电表改装 静电场描绘 杨氏模量 示波器 惠斯通电桥测电阻 分光计的调整 声速的测量 线胀系数 牛顿环测量透镜的曲率 分光计测量三棱镜顶角1什么是物理学？什么是物理学？ 物理学是研究物质的物理学是研究物质的结构结构、运动运动、相互作用形式相互作用形式及其相互转化规律的科学及其相互转化规律的科学。物理学物理学研究对象在十分广泛范围内运动研究对象在十分广泛范围内运动 空间尺度空间尺度（相差（相差1046 m） 1026 m（约（约150亿光年）（宇宙）亿光年）（宇宙）10-20 m（夸克）（夸克） 时间尺度时间尺度 （相差（相差1045 s ） 10

2、18 s（150亿年）（宇宙年龄）亿年）（宇宙年龄）10-27 s（硬（硬 射线周期）射线周期） 速率范围速率范围 0（静止）（静止）3 108 m/s（光速）（光速） 不同尺度和速度范围的对象要用不同尺度和速度范围的对象要用不同的物理理论研究不同的物理理论研究1m10-2010-1510-1010-5101510410101025 1020W+粒子粒子原子原子DNA人人山山地球地球太阳系太阳系星系星系星系团星系团原子核原子核微观微观介观介观宏观宏观宇观宇观天体物理天体物理粒子物理粒子物理两大尖端紧密衔接两大尖端紧密衔接时间时间：表征表征物质存在的持续性，物质运动的阶段性物质存在的持续性，物质

3、运动的阶段性和顺序性和顺序性。用能周期性重复的现象来计量时间。时间。用能周期性重复的现象来计量时间。时间的国际单位是秒（的国际单位是秒（s）a.定义定义1秒为秒为平均太阳日的平均太阳日的1/86400。（一个太阳日就是太阳相。（一个太阳日就是太阳相继两次经过同一子午面的时间间隔。平均太阳日继两次经过同一子午面的时间间隔。平均太阳日就是全年太阳日的平均）就是全年太阳日的平均）b.1956年定义年定义1秒为秒为1900年太阳年年太阳年1/31556925.9747。（一太阳年为太。（一太阳年为太阳两次通过春分点的时间间隔）阳两次通过春分点的时间间隔） c.1967年第年第13届国际计量大会决定定义

4、届国际计量大会决定定义1秒等于铯秒等于铯133原子基态的两个超细能级之间跃迁相原子基态的两个超细能级之间跃迁相对应的辐射周期的对应的辐射周期的9192631770倍。这就是原子钟。倍。这就是原子钟。精度为精度为1210空间：空间：表征表征物质存在的广延性，物质之间的排列顺序物质存在的广延性，物质之间的排列顺序。空间两点的距离为长度，任何长度的测量都是通过某一空间两点的距离为长度，任何长度的测量都是通过某一长度基准进行的。长度的米制标准起源于法国。长度基准进行的。长度的米制标准起源于法国。a.最早的米定义是通过巴黎的一条子午线从北极到最早的米定义是通过巴黎的一条子午线从北极到赤道的一千万分之一。

5、赤道的一千万分之一。b.1889年的一届国际计量大会通过，将保存在法国年的一届国际计量大会通过，将保存在法国国际计量局中的铂铱合金棒的两条刻线间距离定义国际计量局中的铂铱合金棒的两条刻线间距离定义为为1米。米。c.1983年的十七届国际计量大会通过，光在真空中年的十七届国际计量大会通过，光在真空中（1/299792458）秒内运行的路程定义为）秒内运行的路程定义为1米。米。 时间和空间是一切物质运动和存在的基本形式时间和空间是一切物质运动和存在的基本形式二、物理学的发展二、物理学的发展 2600年前年前 古希腊的自然科学。古希腊的自然科学。 1687年年 牛顿牛顿自然哲学的数学原理自然哲学的数

6、学原理发表发表 物理学真正成为一门精确的科学；物理学真正成为一门精确的科学； 17 世纪世纪 在伽利略、开普勒工作基础上，牛在伽利略、开普勒工作基础上，牛 顿建立了完整的顿建立了完整的经典力学理论经典力学理论 ； 18-19世纪世纪 在大量实验基础上，卡诺、焦耳、在大量实验基础上，卡诺、焦耳、 开尔文、克劳修斯，建立了宏观热力学论；开尔文、克劳修斯，建立了宏观热力学论； 克劳修斯、麦克斯韦、玻尔兹曼建立了克劳修斯、麦克斯韦、玻尔兹曼建立了 气体分子动理论气体分子动理论；（热学）；（热学） 库仑、奥斯特、安培、法拉第、麦克斯库仑、奥斯特、安培、法拉第、麦克斯 韦建立了韦建立了电磁学电磁学理论理论

7、 。 2020世纪世纪 爱因斯坦独立创立了爱因斯坦独立创立了相对论相对论; ; 普朗克、爱因斯坦、玻尔普朗克、爱因斯坦、玻尔 德布罗意、德布罗意、 海森伯、薛定谔、海森伯、薛定谔、 玻恩等人共同努力玻恩等人共同努力 创立了量子论和创立了量子论和量子力学量子力学。 奠定了近代物理学的理论基础。奠定了近代物理学的理论基础。 至此，经典物理学理论体系的大厦巍然耸立至此，经典物理学理论体系的大厦巍然耸立! 惠更斯、菲涅尔等建立了惠更斯、菲涅尔等建立了波动光学波动光学物理学在不断发展物理学在不断发展前沿前沿 粒子物理、粒子物理、 天体物理天体物理 、 复杂性研究复杂性研究 经典经典物理也在发展物理也在发

8、展 波动光学波动光学 信息光学信息光学 21世纪物理学的发展趋势世纪物理学的发展趋势 把对把对微观微观世界的研究与对世界的研究与对宏观宏观世界的研究结合起来世界的研究结合起来（二）（二） 为什么学习物理学？为什么学习物理学？ 3. 物理学是现代技术革命的先导物理学是现代技术革命的先导2. 物理学是认识世界，掌握世界的思维方法物理学是认识世界，掌握世界的思维方法1.物理学是一切自然科学的基础物理学是一切自然科学的基础 发展发展独立思考和独立创新独立思考和独立创新的一般能力，的一般能力，应当始终放在首位应当始终放在首位, 而不应当把知识放在首而不应当把知识放在首位。如果一个人掌握了他的学科的基础理

9、位。如果一个人掌握了他的学科的基础理论，并且学会了独立思考与工作，他必定论，并且学会了独立思考与工作，他必定会找到自己的道路。而且比起那些主要以会找到自己的道路。而且比起那些主要以获取细节知识为训练内容的人来，他一定获取细节知识为训练内容的人来，他一定会更好地适应进步和变化。会更好地适应进步和变化。 爱因斯坦爱因斯坦 物理学是一门实验科学。物理实验的基础知物理学是一门实验科学。物理实验的基础知识、基本方法和基本技能是一般工程技术人员所识、基本方法和基本技能是一般工程技术人员所必须具备的。必须具备的。 (1) (1) 物理实验课的任务物理实验课的任务 1) 1) 通过对实验现象的观察、分析和对物

10、理量的通过对实验现象的观察、分析和对物理量的测量，学习物理实验知识，加深对物理学原理测量，学习物理实验知识，加深对物理学原理的理解。的理解。2) 2) 培养与提高学生的科学实验能力。其中包括：培养与提高学生的科学实验能力。其中包括：1.1. 物理实验课的任务和要求物理实验课的任务和要求 能够自行阅读实验教材或资料，做好实验前能够自行阅读实验教材或资料，做好实验前的准备的准备； 能够借助教材或仪器说明书，正确使用常用能够借助教材或仪器说明书，正确使用常用仪器；仪器； 能够运用物理学理论知识，对实验现象进行能够运用物理学理论知识，对实验现象进行初步分析判断；初步分析判断； 能够正确记录和处理实验数

11、据、绘制曲线、能够正确记录和处理实验数据、绘制曲线、分析误差原因、说明实验结果、撰写合格的实分析误差原因、说明实验结果、撰写合格的实验报告；验报告； 能够完成简单的设计性实验。能够完成简单的设计性实验。 物理实验报告要求物理实验报告要求 1 1、信息齐全、格式规范。、信息齐全、格式规范。2 2、字体工整、干净整洁。、字体工整、干净整洁。3 3、表述正确、层次清楚。、表述正确、层次清楚。4 4、图表合理、讨论认真。、图表合理、讨论认真。如实记录实验数据和现象如实记录实验数据和现象; ;整理仪器，清扫实验室。整理仪器，清扫实验室。 实验报告要求使用实验报告纸，作实验报告要求使用实验报告纸，作图部分

12、必须使用坐标纸，其内容包括：图部分必须使用坐标纸，其内容包括： 实验名称实验名称 实验目的实验目的 实验仪器实验仪器 实验概述：包括实验原理，原理草图，实验概述：包括实验原理，原理草图，实验电路图，主要公式。实验电路图，主要公式。 数据表格数据表格 1、信息齐全、格式规范。、信息齐全、格式规范。2、字体工整、干净整洁。、字体工整、干净整洁。3、表述正确、层次清楚。、表述正确、层次清楚。4、图表合理、讨论认真。、图表合理、讨论认真。物理实验的数据处理物理实验的数据处理u给出待测量（其值或关系）给出待测量（其值或关系）u不确定度的计算不确定度的计算u结果表达结果表达 数据记录（数据须如实用钢笔或圆

13、珠笔数据记录（数据须如实用钢笔或圆珠笔记录并交任课老师签名，不得抄袭！否记录并交任课老师签名，不得抄袭！否则作零分处理。可附原始数据记录纸）则作零分处理。可附原始数据记录纸） 补充实验步骤补充实验步骤 数据处理并得出实验结果和结论（要写数据处理并得出实验结果和结论（要写计算过程）计算过程） 课本上要求的分析和讨论，思考题课本上要求的分析和讨论，思考题课堂完成并签名课后完成测量误差与数据处理的基本测量误差与数据处理的基本 知识知识 (1) (1) 测量的概念测量的概念 所谓测量，就是将被测量的物理量与作为测所谓测量，就是将被测量的物理量与作为测量单位的标准量进行比较，确定其比值的过程。量单位的标

14、准量进行比较，确定其比值的过程。 1) 1) 直接测量直接测量 指使用仪器或量具，指使用仪器或量具，直接测得直接测得（读出）被测（读出）被测量数值的测量，该物理量称为直接测量量。量数值的测量，该物理量称为直接测量量。 2) 2) 间接测量间接测量 指依据直接测量量，通过一定的关系式指依据直接测量量，通过一定的关系式计算计算而得到而得到，这种测量称为间接测量，需要通过间接，这种测量称为间接测量，需要通过间接测量求得结果的物理量称为间接测量量。测量求得结果的物理量称为间接测量量。 (2) (2) 测量误差测量误差 物理量的物理量的真值真值一个待测物理量的大小一个待测物理量的大小，在客观上应该有一个

15、，在客观上应该有一个真实的数值，叫做真实的数值，叫做“真真值值”。 Axx 通常，用多次测量的算术平均值作为测量的通常，用多次测量的算术平均值作为测量的最最佳值佳值来代替真值。即：来代替真值。即：xxx1) 1) 绝对误差绝对误差 绝对误差是指被测量的测量结果与其最佳值之绝对误差是指被测量的测量结果与其最佳值之差，它与被测量具有相同的量纲，表示的是测量值差，它与被测量具有相同的量纲，表示的是测量值偏离其实际值的大小。偏离其实际值的大小。 测量误差简称为测量误差简称为“误差误差”，以，以 表示。误差表示。误差定义为测量值定义为测量值 与真值与真值 之差。之差。 xxA 2) 2) 相对误差相对误

16、差 相对误差是指某一待测物理量的绝对误差与其相对误差是指某一待测物理量的绝对误差与其测量的最佳值之比，它是没有量纲的，通常写成百测量的最佳值之比，它是没有量纲的，通常写成百分比的形式分比的形式。%100 xxEr(3) (3) 测量误差的分类测量误差的分类 1) 1) 系统误差系统误差 特点：总是使测量结果向一个方向偏离，它有固特点：总是使测量结果向一个方向偏离，它有固定的大小，或是按一定规律变化。系统误差的来定的大小，或是按一定规律变化。系统误差的来源主要有下面几个方面：源主要有下面几个方面： 仪器误差仪器误差 仪器本身不可能制造得无限精仪器本身不可能制造得无限精密，总是存在着某些缺陷。密，

17、总是存在着某些缺陷。 理论（方法）理论（方法）误差误差 理论公式的近似性、实验条理论公式的近似性、实验条件达不到要求、测量方法不件达不到要求、测量方法不够完善等。够完善等。 个人误差个人误差 由于实验者本人生理或心理特由于实验者本人生理或心理特点所带来的误差点所带来的误差 2) 2) 随机误差（又称偶然误差）随机误差（又称偶然误差） 由于环境有起伏变化和偶然因素的干扰，使由于环境有起伏变化和偶然因素的干扰，使测量结果略有差异，因而产生误差，这类误差称测量结果略有差异，因而产生误差，这类误差称为随机误差。为随机误差。 特点：测量结果的误差大小和符号都不固定，其特点：测量结果的误差大小和符号都不固

18、定，其值时大时小，其符号时正时负，就某一次测量而值时大时小，其符号时正时负，就某一次测量而言没有一定的规律，但在测量次数很大时，随机言没有一定的规律，但在测量次数很大时，随机误差整体上服从正态分布的统计规律。误差整体上服从正态分布的统计规律。 误差分布函数：误差分布函数： )2/exp(21)(22 xxf 1)(dxxf 误差的分类误差的分类按性质、来源分按性质、来源分系统误差系统误差随机误差随机误差粗大误差粗大误差天平不等臂所造成的天平不等臂所造成的 系统误差系统误差仪器误差仪器误差AOB B A a baabb AABB aBn I 0 螺线管为无限长，管壁磁漏可螺线管为无限长，管壁磁漏

19、可忽略。忽略。如：如： 理论理论公式公式 （忽略了空气阻力等）（忽略了空气阻力等）hg t 122人为人为 生理因素生理因素听觉听觉嗅觉嗅觉色觉色觉视觉视觉对音域（对音域（20HZ-20KHZ20HZ-20KHZ）的辨别。的辨别。对音色的辨别。对音色的辨别。环境环境A AV VV VR RV VA AA AV VI IR RI IV V 用用V V作为作为V VR R的近似值的近似值时，求时，求RVIVVIVIVIVIRARAR RVIVIIVIRVR 定义：定义： 在对同一量的多次重复测量中绝对值和符号以不可预知方式变在对同一量的多次重复测量中绝对值和符号以不可预知方式变化的测量误差分量。化

20、的测量误差分量。 产生原因：产生原因： 实验条件和环境因素无规则的起伏变化，引起测量值围绕真值实验条件和环境因素无规则的起伏变化，引起测量值围绕真值发生涨落的变化。发生涨落的变化。例如：例如： 电表轴承的摩擦力变动电表轴承的摩擦力变动 螺旋测微计测力在一定范围内随机变化螺旋测微计测力在一定范围内随机变化操作读数时的视差影响操作读数时的视差影响 随机误差随机误差随机误差分布的特点：随机误差分布的特点： 对称性对称性 单峰性单峰性 有界性有界性 u 当测量次数无穷多时，当测量次数无穷多时，该随机误差的算术平均值该随机误差的算术平均值趋向于趋向于0 0。(4)(4)随机误差的处理随机误差的处理 1)

21、1)测量的平均值：测量的平均值： ninixxxnnxxx121)(12)2)标准偏差：标准偏差： 测量列的标准偏差：测量列的标准偏差： 1)(12 nxxSniix平均值的标准偏差：平均值的标准偏差：) 1()(12 nnxxnSSniixxu 多次测量可以减小随机误差多次测量可以减小随机误差(5)(5)直接测量结果的表示和总不确定度的估计直接测量结果的表示和总不确定度的估计 测量结果的表达式：测量结果的表达式： xx22BA 总不确定度：总不确定度：指用统计的方法计算出的不确定度分量指用统计的方法计算出的不确定度分量 它表示被测量的真值在它表示被测量的真值在 的范围的范围内的可能性内的可能

22、性( (概率概率) )，不确定度是指由于测量误差，不确定度是指由于测量误差的存在而对被测量的真值不能肯定的程度。的存在而对被测量的真值不能肯定的程度。 ）（xx,1) 1) 总不确定度总不确定度 的的 类分量类分量 AA有限次测量：有限次测量：) 1()(12 nxxntSntniixA) 1()(12 nnxxntnSntSntniixxxA测量列的不确定度：测量列的不确定度：平均值的不确定度：平均值的不确定度：这时：这时：xAS指用其他方法计算出的不确定度分量指用其他方法计算出的不确定度分量2) 2) 总不确定度总不确定度 的的 类分量类分量 BB 上面两式中的上面两式中的 称为称为“ 因

23、子因子”，与测量次数，与测量次数 和和置信概率有关，在大学物理实验中，当测量次数置信概率有关，在大学物理实验中，当测量次数 时，时， 可近似取为可近似取为1。 ntt5nnt本课程中，近似地取：本课程中，近似地取：仪Bu仪器的最大允差仪器的最大允差仪仪仪仪可从仪器说明书中得到，可从仪器说明书中得到，它表征同一规它表征同一规格型号的合格产品，在正常使用条件下，可格型号的合格产品，在正常使用条件下，可能产生的最大误差能产生的最大误差。一般而言，。一般而言，仪仪为仪器为仪器最小刻度所对应的物理量的数量级（但不同最小刻度所对应的物理量的数量级（但不同仪器差别很大）。仪器差别很大）。3) 3) 总不确定

24、度的合成：总不确定度的合成： 2222仪仪 xBAS4) 4) 误差的判定与剔除误差的判定与剔除(6) (6) 间接测量结果的表示和总不确定度的估计间接测量结果的表示和总不确定度的估计 1) 1) 间接测量结果的一般表示：间接测量结果的一般表示： ),(),(zyxFFzyxFF 则则：令令：u 即：间接测量量的平均值等于将各直接测量量即：间接测量量的平均值等于将各直接测量量的平均值带入函数关系式后的结果。的平均值带入函数关系式后的结果。 当测量列的不确定度当测量列的不确定度 时，待测量真值时，待测量真值的随机误差落在的随机误差落在 这个区间以外的概率这个区间以外的概率仅为仅为0.3%0.3%

25、，因此，因此， 称为测量列的极限误差。称为测量列的极限误差。 xS3），（xxSS 33xS32) 2) 间接测量结果的总不确定度：间接测量结果的总不确定度： 222222)()()(zyxFzFyFxF 222222)ln()ln()ln(zyxFzFyFxFF%100 公公认认（理理论论）值值公公认认（理理论论）值值测测量量值值r (8) (8) 测量结果的有效数字测量结果的有效数字 1) 1) 定义：测量结果中，可靠的几位数字加上可定义：测量结果中，可靠的几位数字加上可疑的一位数字，统称为测量结果的疑的一位数字，统称为测量结果的有效数字有效数字。 (7)(7)百分差百分差r 2) 2)

26、在物理实验中，不确定度的有效数字只取一在物理实验中，不确定度的有效数字只取一位。任何测量结果，其数值的最后一位要与不确位。任何测量结果，其数值的最后一位要与不确定度所在的这一位取齐。定度所在的这一位取齐。 例如：正确：例如：正确：(3.520 (3.520 0.004)cm0.004)cm 错误：错误：(3.52 (3.52 0.004)cm0.004)cm，(3.520(3.520 0.04)cm0.04)cm3) 3) 数值很大或很小时，用科学记数法表示。数值很大或很小时，用科学记数法表示。4) 4) 有效数字的运算法则与有效位数判定：有效数字的运算法则与有效位数判定： 运算结果的有效数字

27、位数只和参加运算的运算结果的有效数字位数只和参加运算的待测量的有效数字位数有关。待测量的有效数字位数有关。 不考虑误差时：不考虑误差时：加减法：以其中有效数字的最后一位在位数上最加减法：以其中有效数字的最后一位在位数上最大的为准，运算过程中比它多保留一位，最后与大的为准，运算过程中比它多保留一位，最后与它取齐。它取齐。例如：例如： 123.123.3 3+43.46+43.462 2+8.0+8.01 1=174.=174.8 8 1. 1.2 2+32.+32.1 1-2.-2.1 1+42+427 7=45=458 8乘除法：一般取结果的有效数字位数与分量中有乘除法：一般取结果的有效数字位

28、数与分量中有效数字位数最少的相同效数字位数最少的相同. .例如：例如： 63.63.8 8 1.1.2 2=5=53 3 混合运算：混合运算：例如：例如： （2.52.50 0- -2.2.2 2）5.985.989 9 2.02.00 0 =0. =0.3 35.985.989 9 2.02.00 0 =0.=0.9 9 要考虑误差时：最终结果的有效数字应取至要考虑误差时：最终结果的有效数字应取至不确定度所在位，中间过程可多取一位。由此定不确定度所在位，中间过程可多取一位。由此定出结果的有效位数。出结果的有效位数。 不确定度的有效位数：不确定度的有效位数： 最终结果的不确定度取最终结果的不确

29、定度取一位一位有效数字；运算过程中取有效数字；运算过程中取两位。两位。最终结果的相对误差最终结果的相对误差10%10%时取两位时取两位有效数字；有效数字； 10%10%时时取一位或取一位或两位两位有效数字。有效数字。5) 5) 有效数字的取舍原则：有效数字的取舍原则： 对数据运算结果，尾数取舍原则为：对数据运算结果，尾数取舍原则为：“小于小于五则舍，大于五则入，等于五则把尾数凑成偶五则舍，大于五则入，等于五则把尾数凑成偶数数”。 例如：将下列各数取为例如：将下列各数取为3 3位有效数字：位有效数字： 2.534 2.534 取为：取为：2.532.53； 2.5554 2.5554 取为：取为

30、：2.562.56；2.5360 2.5360 取为：取为：2.542.54； 2.5450 2.5450 取为：取为：2.542.54； 对测量不确定度，取舍原则是只入不舍。对测量不确定度，取舍原则是只入不舍。 例如：例如：=0.=0.3 34 4 取为：取为：=0.=0.4 4； 函数的运算规则及有效数字（1）通常函数的有效数字同自变量；（2）若自变量给出了不确定度，则（1）的结果多保留一位或几位，再用传递公式计算函数的不确定度；（3）由不确定度决定最终有效数字位数。 另外，自变量未给出不确定度，还可以用近似不确定度的办法确定函数的有效数字位数。自变量的近似不确定度即为量具的最小分度值。例

31、1：解：6011801xS44102104 . 1601800509. 1cosxySxyS86787. 00509. 1sin3160siny110)002. 0679. 8 (y注意：若x未给出不确定度，可取其近似不确定度为量具的最小分度值1分，进而可求出y的不确定度，最后决定y的有效数字位数，如例2。已知 ，计算 。13160 xxysin例2：解：x的近似不确定度为 已知 ，计算 。4 .25xxyln1 . 0 xS004. 00039. 04 .251 . 0 xSSxySxxy235. 34 .25lnlnxy 由y的不确定度决定了y的有效数字需保留到小数点后3位。通常对数的小数

32、点后的位数与真数的有效位数相同。1 1、“0 0”在数据中的作用在数据中的作用 “0” 在其他数字之间或之后为有效数字，在之前则不是有效数字。例如：O.3和0.03都是一位有效数字，而103.00则是五位有效数字。 2 2、单位换算对有效数字的影响、单位换算对有效数字的影响 非十进制单位换算时，有效数字位数可以改变非十进制单位换算时，有效数字位数可以改变。例如时间 min，1.8为两位有效数字，误差位在O.1min=6s位上。若以秒为单位，应写成： s，误差位仍在秒位上，并未改变数据的精度，但108s为三位有效数字。有效数字由两位有效数字由两位变成三位！变成三位！) 1 . 08 . 1 (t

33、) 6108( t十进制单位换算不影响有效数字十进制单位换算不影响有效数字 例如例如80.20g80.20g是四位有效数字，若用千克单位表示则为是四位有效数字，若用千克单位表示则为O.08020kgO.08020kg，仍为四位有效数字。但是用毫克单位表示写，仍为四位有效数字。但是用毫克单位表示写成成80200mg80200mg，就有问题了，因为按有效数字规定，最后一，就有问题了，因为按有效数字规定，最后一位是有误差的数，原来数据位是有误差的数，原来数据80.20g80.20g有误差数是在有误差数是在1/100g1/100g位位上，当写成上，当写成80200mg80200mg时有误差数是在时有误

34、差数是在1/1000g1/1000g位上，则数据位上，则数据的准确性变了。的准确性变了。 为了解决这个矛盾，应使用所谓为了解决这个矛盾，应使用所谓科学记数法科学记数法，即把数，即把数据写成小数点前只有一位，再乘以据写成小数点前只有一位，再乘以lOlO的幂次来表示。如上的幂次来表示。如上述质量数据可写成述质量数据可写成8.0208.02010104 4mg mg 或或 8.0208.0201010-2-2kgkg，它们，它们都是四位有效数字，这样在十进制单位换算时，不会改变都是四位有效数字，这样在十进制单位换算时，不会改变有效数字的位数。有效数字的位数。 一般采用仪器说明书直接注明的仪器误一般采

35、用仪器说明书直接注明的仪器误差，或者取仪器最小分度差，或者取仪器最小分度d的一半作为测的一半作为测量的最大误差。量的最大误差。2dxx测单次测量的误差估算单次测量的误差估算仪测xx标准误差标准误差3仪32仪算术平均值算术平均值多次测量时真值的最多次测量时真值的最佳估计值。佳估计值。 设在相同条件下对一个物理量设在相同条件下对一个物理量x进行进行N 次 测 量 ， 测 量 值 分 别 为次 测 量 ， 测 量 值 分 别 为 x1，x2，xN ，则该测量值的算术平均值，则该测量值的算术平均值为：为： 多次等精度测量的误差估算多次等精度测量的误差估算NiixNx1 1 当N趋于无穷大时，趋近于真值

36、真值估算xxxxxxnxxnxnxnnnniinniinniinn0limlimlim1lim)(1lim1limlim111偏差：各测量值与平均值之差。当偏差：各测量值与平均值之差。当测量次数趋于无穷时，偏差趋近于测量次数趋于无穷时，偏差趋近于误差。误差。xxxii 算术平均误差：反映一组测量数算术平均误差：反映一组测量数据的离散程度或精密度据的离散程度或精密度。xxNxi1多次等精度测量的误差估算多次等精度测量的误差估算用算术平均误差作最大误差估算值用算术平均偏差表示测量结果：用算术平均偏差表示测量结果：xxx注：偏差在测量次数为无穷时才等注：偏差在测量次数为无穷时才等于误差。当测量次数足

37、够多时，两于误差。当测量次数足够多时，两者之间的区别较小，可不必区分。者之间的区别较小，可不必区分。多次等精度测量的误差估算多次等精度测量的误差估算标准误差和算术平均值的标准差：标准误差和算术平均值的标准差： N次测量中某一次测量的标准偏差：次测量中某一次测量的标准偏差：NiixxxN12)(11算术平均值的标准差：算术平均值的标准差： NiixxxxNNN12)() 1(1多次等精度测量的误差估算多次等精度测量的误差估算用标准误差作误差估算值结果表示：结果表示：xxx表示测量结果有一定几率分布表示测量结果有一定几率分布在以下区间内：在以下区间内：,xxxx平均值标准差的统计意义平均值标准差的

38、统计意义 待测待测物理量物理量在在 的概率为的概率为0.683; 在在 的概率的概率 为为0.955; 在在 的概率的概率 为为0.997. 测量列中若某一测量值与平均值测量列中若某一测量值与平均值 之偏差的之偏差的绝对值大于绝对值大于 时，作为粗大误差舍去。时，作为粗大误差舍去。xx2xxxx3xx2xxn n测量值测量值P=68.3%多次等精度测量的误差估算多次等精度测量的误差估算 步骤：步骤：1. 求算术平均值：求算术平均值：2. 求某一次测量的标准误差：求某一次测量的标准误差：NiixNx1 1 检验和剔除粗大误差：检验和剔除粗大误差：NiixxxN12)(11多次等精度测量的误差估算

39、多次等精度测量的误差估算3. 若某测量值满足若某测量值满足 则将此数值则将此数值xd剔除，认为它含有粗大误差。剔除，认为它含有粗大误差。4. 重新计算平均值、标准差，反复剔除粗大误差，重新计算平均值、标准差，反复剔除粗大误差，直至没有为止。直至没有为止。5. 计算算术平均值的标准差，并表示出测量结果。计算算术平均值的标准差，并表示出测量结果。xdxx2NiixxxxNNN12)() 1(1xxx对某物体进行对某物体进行1515次测量，测值为：次测量，测值为：ix11.42 11.44 11.40 11.43 11.4211.42 11.44 11.40 11.43 11.4211.43 11.

40、40 11.39 11.30 11.4311.43 11.40 11.39 11.30 11.4311.42 11.41 11.39 11.39 11.4011.42 11.41 11.39 11.39 11.40检测是否有坏值。检测是否有坏值。405.111511iixxnx034. 0115)(1)(215121xxnxxiiinix所以所以 11.3011.30为坏值，应剔除。为坏值，应剔除。余下的数据继续检验：余下的数据继续检验：068. 0034. 022x068. 0105. 0405.1130.11412.11141141iixx018. 0114)(2141xxiix1414个

41、测量值均满足个测量值均满足 条件，无坏值。条件，无坏值。xixx2036. 02x005. 014018. 0nxx005. 0412.11xxx结果表示为：相对误差及其估算相对误差及其估算%100 xxEr%100 xExr%100理论值（或标准值）理论值（或标准值）测量值rE绝对误差与其测量值的比称为相对误绝对误差与其测量值的比称为相对误差，换算成百分数称为百分误差。差，换算成百分数称为百分误差。有理论值的实验中：有理论值的实验中：niixnx11xxxxxx)1()(12nnxxnniixxniixxnx112dxx测仪测 xx3仪32仪%100 xxEx%100 xExx多多 次次 测

42、测 量量单次测量单次测量相对误差相对误差直直 接接 测测 量量 的的 结结 果果 及及 误误 差差 直接测量的误差会影响间接测量的误差。直接测量的误差会影响间接测量的误差。其误差可作相应的误差传递与合成来处理。其误差可作相应的误差传递与合成来处理。 例如一间接测得量为例如一间接测得量为Y，直接测得量为，直接测得量为A,B,C,.，它们之间的函数关系为，它们之间的函数关系为 Yf（A,B,C,)。如果直接测得量可表示。如果直接测得量可表示为：为： 则则CCCBBBAAA,),(CBAfY 最大误差的传递公式：最大误差的传递公式：求全微分：求全微分：可得：可得：取对数：取对数：再求全微分可得：再求

43、全微分可得： CCfBBfAAfY),(lnlnCBAfYCCfBBfAAfYCCfBBfAAfYYEYlnlnln标准偏差的传递公式：标准偏差的传递公式：设设 则则 ),(21NxxxfY22222221)()()(21NxNxxYxfxfxf22221lnlnln21NxNxxYYxfxfxfYE表0.2举例：yxNyxN22yxNyxN最大误差标准误差yxNyyxxNN22yxNyxN最大误差由(0.18)得标准误差由(0.20)得yxN 例例1 1 用米尺测量某一物体的长度用米尺测量某一物体的长度 l l，所得实，所得实验数据如下表所示，试求验数据如下表所示，试求 l l 的平均值和测

44、量不的平均值和测量不确定度，并写出测量结果的表达式确定度，并写出测量结果的表达式( (假定测量误假定测量误差以随机误差为主差以随机误差为主) )。测量次数测量次数 1 2 3 4 51 2 3 4 5 l l (cm) 12.25 12.20 12.19 12.16 12.23(cm) 12.25 12.20 12.19 12.16 12.23解：这是直接测量问题。解：这是直接测量问题。 cm21.12)23.1216.1219.1220.1225.12(515151 iill)(cm02. 02002. 005. 002. 001. 004. 0) 15(5)(22222512不不确确定定度

45、度取取一一位位数数 iilll %16. 021.1202. 0 lEr度度所所在在位位对对齐齐）（结结果果的的末末位位与与不不确确定定）（ cm02. 021.12 ll。及及其其不不确确定定度度环环的的体体积积求求高高度度内内径径的的外外径径已已知知金金属属环环例例VVhDD cm,)004. 0575. 2(cm,)004. 0880. 2(cm,)004. 0600. 3(212222212cm436. 9575. 2)880. 2600. 3(4)(412 hDDV环体积的对数及其偏导数为：环体积的对数及其偏导数为：解：这是间接测量间接测量问题。环的体积为：hDDVln)ln(4ln

46、ln2122 hhVDDDDVDDDDV1ln,2ln,2ln212211212222 代入式：代入式：6622222222221222122122222109 .6410) 4 . 24 .241 .38(575. 2004. 0880. 2600. 3004. 0880. 22880. 2600. 3004. 0600. 3222)(12 hhDDDDDDVDDV 222222)ln()ln()ln(zyxFzFyFxFF%81. 00081. 0109 .64)(6 VV3cm08. 00081. 0436. 9 VVVV因此，环体积为：因此，环体积为：3cm08. 044. 9）（ V

47、 已知x =(34.50.2)m，y =(12.40.3)m,求N = x+y，并写出最后结果表达式.解： （1）最大误差)( 9 .464 .125 .34myxNmyxN5 . 03 . 02 . 0mNNN)5 . 09 .46(myxN4 . 03 . 02 . 02222mNNN) 4 . 09 .46(%85. 0%1009 .464 . 0NENN%1.1%1009.465.0NNEN（2）标准误差： 已知x =(54.60.3)m，y =(2.00.1)m,求 ，并写出最后结果表达式.解：)(2 .1090 . 26 .542myxN%5 . 5%100)0 . 21 . 06

48、 .543 . 0(yyxxNNENyxN最大误差最大误差2)5109(mNNN2)6109(mNNN%0.5)0.21.0()6.543.0()()(2222yxNEyxNN)(6%5 . 52 .1092mENNN)( 5%0 . 52 .1092mENNN标准误差标准误差1.下列测量结果对吗？试改正之(1) L =(10.430.059)mA(2) V =(8.90.1)cm3(3) L =(205004102)km.mAL)06. 043.10(kmLkmL2410)4205(10)04.005.2(2. 求下列各间接测量值的绝对标准误差、测量结果和相对标准误差。(1) m = m1-

49、m2，式中m1 =(25.30.2)g，m2 =(9.00.3)g解： gmmm3 .160 . 93 .2521 gmmm36. 03 . 02 . 0222221%4 . 2%1003 .164 . 0mEmmgmmm4 . 03 .16 (2) U=I R，式中I =（0.200.02）A， R =（3502） VRIU7035020. 0解：%10350220. 002. 02222RIUERIUU）（VEUUU7%1070VUUU）（770(3) S =D2/4，式中D =（2.150.01） mm解：）（22263. 315. 244mmDS）（）（22203. 001. 015.

50、 22424mmDDSDSDDDS%9 . 0%10063. 303. 0SESS203. 063. 3mmSSS）（ 3. 测量某电阻阻值，测五次的数值分别为4.89，4.86，5.03，4.87，5.00，求电阻的平均值和标准误差，写出结果表达式。解：）（）（93. 400. 587. 403. 586. 489. 45111niiRnR五次中某一次测量的误差为）（ 08.0112nRRniiRRiRR2）（04. 0508. 0nRR%9 . 0%10093. 404. 0RERR）（04. 093. 4RRR 4. 一圆柱体，测得其直径d = ( 2 . 0 4 0 . 0 1 ) c

51、 m , 高h =(4.120.01)cm,质量 m = ( 1 4 9 . 1 0 0 . 0 5 ) g 。(1)计 算 圆 柱 体 的 密 度 ；(2)计算密度的相对标准误差、标准误差，写出结果的表达式。解：）（3207.1104. 212. 410.14944cmgdhm%104. 201. 0212. 401. 010.14905. 02222222dhmEdhm）（31 . 0%107.11cmgE31 . 01 .11cmg）（ 5. 用尺子量得正方形四边长为a=2.01cm，2.00cm，2.04cm，1.98cm，1.97cm， 2.45cm共五次，试求该正方形的周长和面积的平均值，标准误差和相对标准误差。解：cmananii00. 297. 198. 104. 200. 201. 25111cmnaaniia027. 01503. 002. 004. 001. 01222212cmaaai055. 02cmaa012. 05027. 05cmaL00. 800. 244cmaL05. 0012. 044%6 . 0%10000. 805. 0LE）（2200. 4cmaS）（）（22205. 02cmaaSaaS%1%10000. 405. 0SEcmL）（05. 000. 8205. 000