2014年高考数学真题汇编(含答案)立体几何

1、2014年全国高考理科数学试题分类汇编 （纯word解析版） 九、立体几何（逐题详解） 第 I部分 1. 2014 年陕西卷（理 05 ）】已知底面边长为 1,侧棱长为.2 则正四棱柱的各顶点均在同 一个球面上，则该球的体积为（ ） 【答案】 D 【解析】 设球的半径为 r, (2r)2= 12+12+C.2)2二 4,解得 r= 1,A V = -n r3 = 4 冗选 D 3 3 A. 54 B.60 C.66 D.72 A. 32 3 B.4 C.2 D.4 3 2.【2014 年重庆卷 （理 07） 】 某几何体的三视图如下图所示, 则该几何体的表面积为正视图 3 左视图 俯视图 【答

2、案】B 【解析】 在长方体中构造几何体 ABC ABC,如右图所示, AB 4, AA 5,BB 2, AC 3，经检验该几何体的三视图满足 题设条件。其表面积 S S ABC SACC A SABB A SBCCB S ABC, 6 15 14 60,故选择B 3. 【2014 年安徽卷（理 07）】一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为 4. 【2014 年福建卷（理 02）】某空间几何体的正视图是三角形， 则该几何体不可能是 （ ） A.圆柱 B. 圆锥 C.四面体 D. 三棱柱 【答案】A 【解析】圆柱的正视图为矩形，故选： A 5. 【2014 年湖南卷 （理 07） 】一

3、块石材表示的几何体的三视图如图 2 所示.将该石材切割、 打磨，加工成球，贝惟得到最大球的半径等于 (A) 21 . 3 (C) 21 (B) 18 ,3 (D) 18 【答案】A 【解析】此多面体的直观图如下图所示 1 表面积为2 2 6 1 1 6 2 （、2）2 2 21 .3 4 正（主）视图 侧（左）视图 -1 1 俯视图 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 由图可得该几何体为三棱柱 ,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径 r,则 8 r 6 r 82 62 2，故选 B 6.【2014 年辽宁卷（理 04）】已知 n表示两条不同直线， 表示平面，

4、下列说法正确的 是（ ） A.若 m/ ,n/ ,则 ml /n .右m ，则m n c.若 m n，则 nl/ D 若 ml/ 【解析】A 若m/a, n /a,贝U B.若 mla, n? a,贝y C.若 mLa, ml n,贝U D.若 ma, ml n,贝U 【答案】B m n相交或平行或异面，故 mln,故 B 正确； /a或 n? a,故 C错； /a或 n? a或 n丄a,故 A 错; D 错.故选 B 7.【2014 年全国大纲卷 （08）】正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4,底面 边长为 2，则该球的表面积为（ A. 27 【答案】 设球的半径为 R, 氏=(

5、4 - R) 2+ C ：) 2, 【解析】 则棱锥的高为 4，底面边长为 2, 2=812! =4 R 寸，球的表面积为 4n?（-i） .故选：A 2 8. 【2014 年四川卷（理 08）】如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，点O为线 段BD的中点。设点P在线段CG上，直线OP与平面ABD所成的角为 ，则 sin 的取值范围是 A 屯 a 斯 c 乖 2j2 f 2j2 A- ,1 B ,1 C , D 1 3 3 3 3 3 【答案】B 【解析】直线OP与平面ABD所成的角为 的取值范围是 由于 sin AOA 3，Sin C1 A 2 / 3 ：2 所以sin 的取值范围是

6、上,1 9. 【2014 年辽宁卷（理 07）】某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为 【答案】B 【解析】由三视图知：几何体是正方体切去两个 AOA1, Cd】， SS 1 A. 8 23 2 +圆柱，正方体的棱长为 2，切去的圆柱的 底面半径为 1,高为 2，二几何体的体积 3 V=2 - 2 X XnX 仁 X 2=8-n .故选：B 10. 【2014 年全国大纲卷 （11） 】 已知二面角 为 60, AB , AB l , A 为垂 A 1 2 c 31 A. B . C . D .- 4 4 4 2 【答案】B 【解析】如图，过 A 点做 AE!l，使 BE13，垂足为 E,

7、过点 A 做 AF/ CD, 过点 E 做 EF 丄 AE,连接 BF,v AB 丄 l ,二/ BAE=60 , 又/ ACD=135 ,/ EAF=45，在 Rt BEA 中，设 AE=a 贝 U AB=2a BE= ;a, 在 Rt AEF中，贝 U EF=a, AF=二 a，在 Rt BEF 中，贝 U BF=2a, 异面直线 AB 与 CD 所成的角即是/ BAF, cos Z BAF=一 t=一-八 ZAB-AF 2X2aX 72a 4 11. 【2014 年全国新课标1（理 12）】如图，网格纸上小正方形 的边长为 1,粗实线画出的是某多面体的三视图， 则该多面体的 个条棱中，最

8、长的棱的长度为 A. 6.2 B. 4.2 C .6 D .4 【答案】：C 【解析】：如图所示，原几何体为三棱锥 D ABC , 其中 AB BC 4, AC 4.2, DB DC 2.5，足，CD ACD 135，则异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为（ 4 6，故最长的棱的长度为 DA 6，选 C 12. 【2014 年全国新课标n （理 06）】如图，网格纸上正方形小格的边长为 1 （表示 1cm） 图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为 3cm,高为 6cm 的圆柱体毛坯 切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ） A. 17 B. 5 C. 10

9、 D. 1 27 9 27 3 【答案】 C 【解析】 加工前的零件半径为 3,咼 6,.体积 v1 = 9 n?6 = 54 n. 加工后的零件，左半部 为小圆柱，半径 2,高 4,右半部为大圆柱，半 径为 3,高为 2. 二体积 V2 = 4 冗?4+ 9 n?2 = 34 n. 削掉部分的体积与原体 积之比二54 n- 34 n = 10 .故选 C. 54 n 27 13. 【2014 年全国新课标n (理 11)】 直三棱柱 ABC-ABG 中，/ BCA=90 , M N 分别是 A1B1, AC 的中点，BC=CA=CC 则 BM 与 AN 所成的角的余弦值为( ) A. 1 B

10、. 2 C. 二0 D三 10 5 10 2 【答案】 C 【解析】 如图，分别以 GBp GA, C1C 为 X,Y,Z 轴，建立坐标系。令 AC = BC = C1C = 2,则 A(0,2,2), B(2,0,2), M (1,1,0), N(0,1,0). BM = (-1,1,-2),AN = (0,-1,-2)。 BM ?AN 0-1+4 V30 cos 0= = - :-= .故选 C. |BM|?|AN| 10 14.【2014 年北京卷（理 07）】在空间直角坐标系 Oxyz中，已知A 2,0,0 , B 2,2,0 , C 0,2,0 , D 1,1,、2，若 0 , S2

11、, S3 分别表示三棱锥 D ABC 在 xOy , yOz , zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ） (A) S1 S2 S3 (B) S1 S2且 S3 S1 (C) $ 2 且 S3 S2 (D) S2 &且 S S3 【答案】 D 【解析】 设 A（ 2，0，0），B（ 2，2，0），C（ 0，2，0），D（ 1，1,血），则各个面上的射 影 分别为 A，B，C，D，在 xOy 坐标平面上的正投影 A（2, 0，0），B（2, 2，0），C（ 0, 2，0），D（ 1，1，0），s气西2耳 C-i 在 yOz 坐标平面上的正投影 A （ 0, 0，0），B （0, 2

12、, 0 ），C （0，2, 0），D （ 0, 1，晅） S=._ 匚 - 在 zOx 坐标平面上的正投影 A （ 2, 0, 0） , B （2, 0, 0） , C （0, 0, 0）, D （ 1, 0，近） S二： =-：,贝 U S=S 且 SM S,故选：D 15. 【2014 年广东卷（理 07 ）】若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4 ,满足 h 122 13,13 14，则下列结论一定正确的是 A. 11 I4 B. I1/I4 C. 11,14既不垂直也不平行 D. 11,14的位置关系不确定 【答案】D 【解析】女口图所示的正方体 ABCD ABCD中，令11

13、为AA , 12为BC，当13为CC时, J3 li 4，则选项 A 成立，当3为CD时，则4可以为对角线BC或BB或BC , I b li与l4是异面直线或平行或垂直，所以 li与14位置关系不确定故选 D. 16. 【2014 年湖北卷（理 05）】在如图所示的空间直角坐标系 xyz中，一个四面体的顶 点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（ 1,2，1），（2,2,2），给出编号、的四个图， 则该四面体的正视图和俯视图分别为 A.和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】D 【解析】在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为 与俯视图为，故选 D. 17.

14、 2014 年湖北卷（理 08）】.算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出 土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，另相 乘也。又以高乘之，三十六成一。该术相当于给出了有圆锥的底面周长 L与高h，计算其体 1 2 积V的近似公式v L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 近似取为 3.那么近 36 似公式v L h相当于将圆锥体积公式中的 近似取为（ ) 75 八22 25 厂 157 35A. B. D.- 7 8 50 113 C 答案】 B 【解析】 设圆锥底面圆的半径为r ,高为h ,依题意，L （2 r）2 , V 1Sh 1 r2h

15、 3 3 (2 r)2h 12 L2h，所以 75 12 ，即 75 的近似值为 25 8 18.【2014 年江西卷（理 05）】一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中正确的 【答案】B 【解析】俯视图为在底面上的投影，易知选： B 19.【2014 年江西卷（理 10）】如右图，在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，AB遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理） ，将i 1次到第i次反射点之间 的线段记为Li i 2,3,4，L1 AE，将线段L1.L2.L3.L4竖直放置在同一水 平线上，则大致的图形是 A(0,0,0),E(4,3,12), E1 (8,6,0) ， E2 A

16、E ,2 2 4 3 122 13， EE1 42 32 1 2 2 -5 5 65 E2E3 1 _ 52 E1E2 :3 4 12 28 ( ,7,4), 3 E3 (11, 5 ,9), 4 2 厂L L 4 2 2 13 5, E1E2 1 4 3 3 【答案】C 【解析】 2 20.【2014 年上海卷（理 16）】 如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱， AB是一 AB APf（i 1, 2, I）, 8）的 【答案】 (A) 1. (B) 2.(C) 4. (D) 8. 条侧棱，R（i 1,2,川，8）是上底面上其余的八个点，则 （ ） 不同值的个数为 :根据向量数量积的几

17、何意义, 【解析】 AFP在AB方向上的投影是定值, AB ApP 等于 乘以APp在AB方向上的投影, AB也是定值， AB AP为定值1 ,选 A 21. 【2014 年浙江卷 （理 03） 】 某几何体的三视图 表面积是 （单cm ）如图所示，则此几何体的 视图 3 【答案】D 【解析】由三视图知：几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体， 其中直三棱柱的侧棱长为 3, 底面是直角边长分别为 3、4 的直角三角形，四棱柱的咼为 6，底面为矩形，矩形 的两相邻边长为 3 和 4, 几何体的表面积 S=2X4X6+3 冷+3X3+2X3X4+20 X3X4+ (4+5) 2 X3=48+18+9+

18、24+12+27=138 ( cm ) 第 II部分 22. 【2014 年山东卷(理 13)】三棱锥P ABC中，D, E分别为PB, PC的中点，记三棱 锥D ABE的体积为V1, P ABC的体积为V2，则V1 V2 1 【答案】4 分别过E,C向平面做高h1,h2，由E为PC的中点得 主 【解析】 h2 1 1 由D为PB的中点得S ABD S ABP，所以V : V2 S 2 3 23. 【2014 年天津卷(理 10)】一个几何体的三视图如图所示(单位:1 ABD h1 二 S ABP h2 3 m),则该几何体的 3 m 側视囹 【解析】 由三视图可得，该几何体为圆柱与圆锥的组合

19、体，其体积 2 20 n 2X 丁 24. 【2014 年江苏卷（理 08）】设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 S1,S2，体积分别为 y,V2 , 若它们的侧面积相等，色9，则. S2 4 V2 3 【答案】2 【解析】 由题意， S1 r1 S2 D 2 1 2 r2 Q r 9，所以旦 3 2 圆柱的侧面积S狈 寸 2 rh , 4 r2 h1 r2 2 V1 9 2 3 Sy 1 2 r1 h1 S 侧 2 2 r2h2，则 一 一 一 h2 r1 3 V2 S24 3 2 25. 【2014 年上海卷（理 06）】若圆锥的侧面积是底面积的 3倍，则其母线与底面夹角的大 小为 _ （结果

20、用反三角函数值表示） 1 arccos 3 第 III部分 26. 【2014 年陕西卷（理 17）】（本小题满分 12 分） 四面体ABCD及其三视图如图所示，过棱 AB的中点E作平行于AD , BC的平面分 别交四面体的棱 BD , DC , CA于点F , G , H .【答20 n V=nX 12X 4 + gnX 【答【解析】 ： 设圆锥母线长为 即 R 3r，二 cos R，底面圆半径为r , S侧 1 一 ，即母线与底面夹角大小为 3 3S 底， r R 3 r2, 1 arccos- 3 解法二 如图，以 D 为坐标原点建立空间直角坐标系， 则 D( 0,0,0 ),A( 0,

21、0,1 ),B( 2,0,0),C (0,2,0). (II )求直线AB与平面EFGH夹角 的正弦值. 解(I)由该四面体的三视图可知， BD DC, BD AD , AD DC, BD=DC=2 AD = 1. 由题设，BC/平面 EFGH, 平面 EFGH 平面 BDC=FG, 平面 EFGH 平面 ABC=EH, BC/ FG, BC/EH, FG/EH. 同理 EF/AD,HG/AD, EF/HG, 四边形 EFGH 是平行四边形。 又 AD DC , AD BD, AD 平面 BDC AD BC, EF FG, 四边形 EFGH 是矩形 (II )解法一如图，以 D 为坐标原点 建

22、立空间直角坐标系，则 D( 0,0,0),A(0,0,1), B(2,O,0),C(O,2,O), DA 电 0,1), BC =(-2,2,0), BA 垃 0, 1). 设平面 EFGH 的法向量 n=(x , y , z )， EF/AD,FG/BC, n ? DA 卡 n ? BC =0-， z 0, 得 取 n=( 1,1,0). 2x 2y 0. sin = cos BA, n BA?n BA n| 2 一 10 5 2 5 E(1,0,-),F(1,0,0),G(0,1,0). 22 FE（o,o,1）,FG （ i,i,o）,BA （ 2,0,1）. 设平面 EFGH 的法向量

23、 n= （x，y, z）. 则 n?FE 0,n ?FG 0,得 !z 0 2 取 n=（ 1,1,0 ）， x y 0, sin cos BA,n BA?n 2 J10 网 in 5 0)，贝 U C (m, , 3 , 0) 设 n(x,y,z) 为平面 ACE 的法向量, 即 mx 3y 0 歩=(0 可取n1 =( -1,-1 m D C (2)T E,F 分别为棱 AC,AB 的中点，且 BC=8,由中位线知 EF=4 分别为 PC,AC,的中点，且 PA=6 由中位线知 DE=3, 又 DF=5 DF2=EF2+DE2=25, DEI EF,又 T DE/ PA / PAL EF,

24、又 T PAL AC,又 T AC EF=E, AC 平面 ABC EF 平面 ABC - PAL平面 ABC - DE!平面 ABC T DE 平面 BDE 平面 BDEL 平面 ABC 39. 【2014 年北京卷(理 17)】(本小题 14 分) 如图，正方形AMDE的边长为 2, B,C分别为AM , MD的中点，在五棱锥P ABCDE 中，F为棱PE的中点，平面 ABF与棱PD, PC分别交于点G,H . (1) 求证：AB/FG ; (2) 若PA 底面ABCDE，且AF PE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并 求线段PH的长解：(I )在正方形中，因为 B 是 AM 的中点

25、，所以 AB / DE 。 又因为AB 平面 PDE 所以AB /平面 PDE因为AB 平面 ABF,且平面ABF 平面 FG， 所以 AB / FG 。 (2)求二面角D AF E的余弦值。 (n)因为 PA 底面 ABCDE 所以 PA AB , PA AE . 如图建立空间直角坐标系 Axyz ,则 A(0,0,0) , B(1,0,0) , C(2,1,0) , P(0,0,2) , F (0,1,1), (1,1,0). 设平面 ABF 的法向量为n (x, y, z)，则 因此直线BC与平面ABF所成角为30：. 设点 H 的坐标为(u,v,w).。 即(u,v,w 2) (2,1

26、, 2).。所以 u 2 ,v ,w 2 2 2 4 2 2 解得3，所以点H的坐标为(3,?3).。 所以 PH ,J3)2 Q2 (3)2 2 40. 【2014 年广东卷(理 18)】(本小题满分 13 分)如图 4,四边形ABCD为正方形，PD ,即X 0, y 0, z 0. 令z 1,，则y (0, 1,1)，设直线 BC 与平面 ABF 所成角为 a,则 因为点 H 在棱 PC 上，所以可设 因为n是平面 ABF 的法向量，所以 0，即(0, 1,1) (2 , ,2 2 ) 0。 平面 ABCD， DPC 300，AF (1)证明：CF 平面 ADF PC于点F ， FE/CD

27、，交PD于点E . 1。所以n sin a 1 2 B C F v3,1,0）, 1) PD 平面 ABCD , PD AD，又 CD AD , AD 平面PCD , AD PC，又 AF PC , PC 平面ADF，即 CF 平面 ADF CD 1,又 DPC 300, DF DF # , AF 荷 DF2 CF AF2 又 FE/CD , CF PC DE PD 如图所示，以 -4，同理EF D 为原点，建立空间直角坐标系, DE 3CD 4 则 F (乎务0) , PC. 3,0,0), C(0,1,0), 所以 （x, y, z）是平面 AEF的法向量，TE 拧,0,0) (03,0)

28、 4 m AE 3x mEF 3y 4 y 0，令 x 4 , (4,0, ：3), 由（1）知平面 ADF的一个法向量 PC 设二面角D AF E的平面角为I，可知 | im|PC| PDCD (2)设 AB 1，贝U Rt PDC 中, PC 2, PD ，由(1)知 CF ,0,0), 设 o A B P C ” y x 3 4， A(0,0,1), cos | cos 为锐角， 4 3 今尹，即所求. 、19 2 19 41.【2014 年湖北卷（理 19）】如图，在棱长为 2 的正方体ABCD A1B1C1D1中，E,F,M,N 分别是棱AB, AD, A1B1, A,D1的中点，点

29、P,Q分别在棱DD1 , BB1上移动，且 DP BQ (1 )当 1时，证明：直线 BC, /平面EFPQ ； (2)是否存在 ，使平面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出 【解析】以D为原点，射线 DA,DC,DD i分别为x,y,z轴的正半轴建立空间直角坐标系 D xyz。由已知得 B(2,2,0),Ci(0,2,2),E(2,1,0), F(1,0,0), P(0,0,) T T T BG ( 2,0,2),FP ( 1,0, ),FE (1,1,0). (I)证明：当 1 时，FP (1,0,1) 的值； 因为 ( 2,0,2)，所以 BC1 2FP，即 BCi

30、/ FP 而FP 平面 EFPQ，且BCi平面 EFPQ，故直线BC1 /平面EFPQ 。 (n)设平面EFPQ的一个法向量为n (x, y, z)，贝U 由報0可得x y 0 ，于是可取n(, ,1) FP A 0 x y 0 同理可得平面 MNPQ的一个法向量为 m (2 ,2 ,1) 若存在 则mn ，使得平面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角， (2 ,2 ,1)|( , ,1)，即(2 ) (2 ) 1 0 解得 1迈 2 故存在 1 ，使平面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角。 2 42.【2014 年江西卷(理 19 )】(本小题满分 12 分) ABCD中，AB

31、CD为矩形，平面PAD 平面ABCD . (1)求证：AB PD; (2)若 BPC 90 ,PB . 2,PC 2,问 AB为何 值时，四 棱 锥 P ABCD的体积最大？并求此时平面 PBC与平面DPC夹角的余弦值. 【解析】 解：(1).面 PAD 面 ABCD,面 PAD 面 ABCD = AD , AB AD B 面ABCD . 2 分 又:PD 面ABCD . 3 分 AB PD . 4 分 过 P 作PO AD ,由(1)有PO 面 ABCD, 作OM BC,连接 PM 作PM BC 设 AB=x. 如图，四棱锥P OP SABCD OP AB BC x2|x6 8x 6x 7 分 3 2 即 x 时，Vmax 3 3 2 6 9 . ABCD 43.【2014 年上海卷（理 19）】（本题满分 12 分） 底面边长为2的正三棱锥P-ABC，其表面展开图是 三角形PP2P3，如图求 PP2P3的各边长及此三棱锥的 体积V .如图建P 0,0,竺 3 ,M 0,0, 3 3,0 0,上 3 ,PC .6 2 .6 3 _