高等数学教学汇编初等函数的幂级数展开学习教案

1、会计学1高等数学教学汇编初等函数的幂级数展开高等数学教学汇编初等函数的幂级数展开第一页，编辑于星期三：七点 四十六分。)()(0 xfxf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn其中)(xRn( 在 x 与 x0 之间)称为拉格朗日余项拉格朗日余项 .10) 1()(! ) 1()(nnxxnf则在若函数0)(xxf在的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式 ,该邻域内有 :机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共15页第二页，编辑于星期三：七点 四十六分。)(0 xf)(00 xxxf200

2、)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)(为f (x) 的泰勒级数泰勒级数 . 则称当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数麦克劳林级数 .1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?若函数的某邻域内具有任意阶导数, 0)(xxf在机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共15页第三页，编辑于星期三：七点 四十六分。各阶导数, )(0 x则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足:. 0)(limxRnn证明证明:,)(!)()(000)(nnnxxnxfxf令)()()(1xR

3、xSxfnn)(limxRnn)()(lim1xSxfnn,0)(0 xxknkknxxkxfxS)(!)()(000)(1)(0 xx设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 内具有机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共15页第四页，编辑于星期三：七点 四十六分。若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同.证证: 设 f (x) 所展成的幂级数为),(,)(2210RRxxaxaxaaxfnn则;2)(121nnxnaxaaxf)0(1fa;) 1(!2)(22 nnxannaxf)0(!212fa ;!)()(nnanxf)0()(

4、!1nnnfa 显然结论成立 .)0(0fa 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共15页第五页，编辑于星期三：七点 四十六分。1. 直接展开法直接展开法由泰勒级数理论可知, 展开成幂级数的步函数)(xf第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ;第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ; 第三步 判别在收敛区间(R, R) 内)(limxRnn是否为骤如下 :展开方法展开方法直接展开法 利用泰勒公式间接展开法 利用已知其级数展开式0. 的函数展开机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共15页第六页，编辑于星期三：七点 四十六分。xexf)(展开成 x 的幂级

5、数. 解解: ,)()(xnexf), 1 ,0(1)0()(nfn1其收敛半径为 对任何有限数 x , 其余项满足 )(xRne! ) 1( n1nxxe! ) 1(1nxn故,!1!31!21132nxxnxxxenRlim!1n! ) 1(1nn0),(x( 在0与x 之间)x2!21x3!31xnxn!1故得级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共15页第七页，编辑于星期三：七点 四十六分。xxfsin)(展开成 x 的幂级数.解解: )()(xfn)0()(nf得级数:x)sin(2nx其收敛半径为 ,R对任何有限数 x , 其余项满足 )(xRn) 1(sin(2 n!

6、 ) 1( n1nx! ) 1(1nxn12 kn),2, 1,0(k3!31x5!51x12! ) 12(11) 1(nnnx),(xxsinn0kn2,) 1(k,012! ) 12(115!513!31) 1(nnnxxxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共15页第八页，编辑于星期三：七点 四十六分。nnxnxxx2142! )2(1) 1(!41!211cos类似可推出:),(x),(x12153! ) 12(1) 1(!51!31sinnnxnxxxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共15页第九页，编辑于星期三：七点 四十六分。211x x11利用一些已知的函

7、数展开式及幂级数的运算性质, 例例3. 将函数展开成 x 的幂级数.解解: 因为nnxxx) 1(12)11(x把 x 换成2x211xnnxxx242) 1(1)11(x, 得将所给函数展开成 幂级数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共15页第十页，编辑于星期三：七点 四十六分。)1ln()(xxf展开成 x 的幂级数.解解: xxf11)()11() 1(0 xxnnn从 0 到 x 积分, 得xxxxnnnd) 1()1ln(00,1) 1(01nnnxn定义且连续, 区间为.11x利用此题可得11) 1(41312112lnnn11x11x上式右端的幂级数在 x 1 收敛

8、 ,有在而1)1ln(xx所以展开式对 x 1 也是成立的,于是收敛机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共15页第十一页，编辑于星期三：七点 四十六分。3412 xx展成 x1 的幂级数. 解解: ) 3)(1(13412xxxx)3(21)1 (21xx 14121x 4121x222) 1(xnnnx2) 1() 1( 81141x224) 1(xnnnx4) 1() 1(nnnnnx) 1(2121) 1(3220)31(x)21(x 18141x1机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共15页第十二页，编辑于星期三：七点 四十六分。)1 (lnxx1, 1(x221x

9、331x441x11) 1(nnxn在x = 0处展为幂级数.)32ln()(2xxxf解解:)1ln(2ln)1ln()(23xxxf )1ln(x)32)(1 (322xxxx1nnnx) 11(x)1ln(23xnnnxn)(23) 1(11)(3232xnnnxn)(1 12ln231)(3232x因此2ln)(xf1nnnxnnnxn)() 1(2311机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共15页第十三页，编辑于星期三：七点 四十六分。1. 函数的幂级数展开法(1) 直接展开法 利用泰勒公式 ;(2) 间接展开法 利用幂级数的性质及已知展开2. 常用函数的幂级数展开式xe1),(x)1 (lnxx1, 1(xx2!21x,!1nxn221x331x441x11) 1(nnxn式的函数 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共15页第十四页，编辑于星期三：七点 四十六分。! ) 12() 1(12nxnnxsinx!33x!55x!77xxcos1!22x!44x!