数学：122《组合(三)》(人教版选修2-3)

1、1 1、组合定义、组合定义: : 一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素）个元素并成一并成一组组，叫做从，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的一个个元素的一个组合组合从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素的所有组合的个数个元素的所有组合的个数，叫做从，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的个元素的组合数组合数，用符号，用符号 表示表示. .mnC2 2、组合数、组合数: :(1)(2)(1)!mmnnmmAn nnnmCAm3、组合数公式、组合数公式:!()!mnnCm nm01.nC我们规定：性质性质1mnnmnCC性

2、质性质211mmmnnnCCC例例1 1、6 6本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法；本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法；（1 1）将）将6 6本书分成三堆，一堆一本，一堆两本，一堆三本；本书分成三堆，一堆一本，一堆两本，一堆三本；（2 2）将）将6 6本书分给三个人，甲一本，乙两本，丙三本；本书分给三个人，甲一本，乙两本，丙三本；（3 3）将）将6 6本书分给三个人，一人本书分给三个人，一人1 1本，一人本，一人2 2本，一人本，一人3 3本本（4 4）将）将6 6本书平均分给三个人，每人两本本书平均分给三个人，每人两本（5 5）将）将6 6本书平均分成三堆，每堆两本；本书

3、平均分成三堆，每堆两本；（6 6）将）将6 6本书分给甲，乙，丙三人，甲四本，乙丙各一本；本书分给甲，乙，丙三人，甲四本，乙丙各一本；（7 7）将）将6 6本书分成三堆，一堆四本，其余两堆各一本；本书分成三堆，一堆四本，其余两堆各一本； (8) (8) 将将6 6本书分给甲，乙，丙三人，一人四本，其余本书分给甲，乙，丙三人，一人四本，其余2 2人各一本。人各一本。一、分类组合一、分类组合,隔板处理隔板处理例、例、 从从6 6个学校中选出个学校中选出3030名学生参加数学竞赛名学生参加数学竞赛, ,每校每校至少有至少有1 1人人, ,这样有几种选法这样有几种选法? ?5294095C例例1. 把

4、个把个30相同球放入相同球放入6个不同盒子个不同盒子(盒子不能空的盒子不能空的)有有几种放法几种放法?解解:采用采用“隔板法隔板法” 得得:5294095C解解:采用采用“隔板法隔板法” 得得:名额问题名额问题采用采用“隔板法隔板法”。 元素相同问题隔板策略元素相同问题隔板策略例例. .有有1010个运动员名额，再分给个运动员名额，再分给7 7个班，每班至少一个个班，每班至少一个, ,有有多少种分配方案？多少种分配方案？ 解：因为解：因为1010个名额没有差别，把它们排成一排。相邻个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成个空隙。名额之间形成个空隙。在个空档中选个位置插个隔板，在个空档中

5、选个位置插个隔板，可把名额分成份，对应地分给个可把名额分成份，对应地分给个班级，每一种插板方法对应一种分法班级，每一种插板方法对应一种分法共有共有_种分法。种分法。一班二班三班四班五班六班七班69C11mnC59C59126C 2615C 隔板法：隔板法：待分待分元素相同元素相同，去处不同，每处至少一，去处不同，每处至少一个。个。 4425624C34A24C34A3620C例例2、某城新建的一条道路上有某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节只路灯，为了节省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两灯，但两端的

6、灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭的方法共有（盏灯，可以熄灭的方法共有（ ）（A） 种（种（B） 种种 （C） 种种 （D） 种种38C38A39C311C（四）顺序固定问题（四）顺序固定问题例例（1）7人排成一列，甲必须在乙的右面（可以不相人排成一列，甲必须在乙的右面（可以不相邻），有多少种不同的排法？邻），有多少种不同的排法？解：解：（1）解法一）解法一: 7人排队，人排队，2人顺序固定，共有人顺序固定，共有7722A765432520A（种）解法二：先从解法二：先从7个位置中选个位置中选5个位置，排上其余个位置，排上其余5人，剩下人，剩下2人人直接插入。共有直接插入。共有57A

7、2520（种）（2）有）有5个节目的节目单中要插入个节目的节目单中要插入2个新节目，保证个新节目，保证原有节目顺序不变的排法有多少种？原有节目顺序不变的排法有多少种？解：解：（1）解法一）解法一: 相当于相当于7个节目全排列且要求个节目全排列且要求5个顺序固定，个顺序固定，因而有因而有解法二：两个节目一个一个地插入，先插第一个，有解法二：两个节目一个一个地插入，先插第一个，有6种插法，种插法，再插第二个节目，有再插第二个节目，有7种插法。因此总共有种插法。因此总共有7755A7 642A （种）6 742 （种）排法。nnnmmnAAAnn mmm个元素的全排列中有 （）个元素顺序固定，有种排

8、法。 （辽宁卷（辽宁卷9）一生产过程有）一生产过程有4道工序，道工序，每道工序需要安排一人照看现从甲、乙、每道工序需要安排一人照看现从甲、乙、丙等丙等6名工人中安排名工人中安排4人分别照看一道工序，人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排排1人，则不同的安排方案共有（人，则不同的安排方案共有（ ）A24种种 B36种种 C48 D72种种 B （海南卷（海南卷9）甲、乙、丙）甲、乙、丙3位志愿者位志愿者安排在周一至周五的安排在周一至周五的5天中参加某项志愿天中参加某项志愿

9、者活动，要求每人参加一天且每天至多安者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面。排一人，并要求甲安排在另外两位前面。不同的安排方法共有（不同的安排方法共有（ ）A. 20种种 B. 30种种 C. 40种种 D. 60种种 A（重庆卷（重庆卷16)某人有某人有4种颜色的灯泡种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如题（每种颜色的灯泡足够多），要在如题（16）图所示的）图所示的6个点个点A、B、C、A1、B1、C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方

10、法共有用一个的安装方法共有 种（用数字种（用数字作答）作答）. 2162、从、从6位同学中选出位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两人中位参加一个座谈会，要求张、王两人中至多有一个人参加，则有不同的选法种数为至多有一个人参加，则有不同的选法种数为 。32328778.()()A CCCC32328778.()()B CCCC32328778.C C CC C3218711.DC C C3、要从、要从8名男医生和名男医生和7名女医生中选名女医生中选5人组成一个医疗队，如果人组成一个医疗队，如果其中至少有其中至少有2名男医生和至少有名男医生和至少有2名女医生，则不同的选法种数名女医生，则不同

11、的选法种数为（为（ ）4、从、从7人中选出人中选出3人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、乙两人不都入选的不同选法种数共有（则甲、乙两人不都入选的不同选法种数共有（ ）2353. AC A3353.2B C A35.C A233535.2D C AA1、把、把6个学生分到一个工厂的三个车间实习，每个车间个学生分到一个工厂的三个车间实习，每个车间2人，人，若甲必须分到一车间，乙和丙不能分到二车间，则不同的分若甲必须分到一车间，乙和丙不能分到二车间，则不同的分法有法有 种种 。99CD3122440C 211182772()AC C C1277C A

12、211182772()AC C C1277C A9. 9. 某餐厅供应盒饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜某餐厅供应盒饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选肴中任选2 2荤荤2 2素共素共4 4种不同的品种种不同的品种. .现在餐厅准备了现在餐厅准备了5 5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200200种以上种以上的不同选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜的不同选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜_种种.( .(结果用数值表示结果用数值表示) )7 7【解题回顾解题回顾】由于化为一元二次不等式由于化为一元二次不等式n2n400求求解较繁，考虑到解较繁，考虑到n为正整数，故

13、解有关排列、组合的不为正整数，故解有关排列、组合的不等式时，常用估算法等式时，常用估算法. .10. 某电视台邀请了某电视台邀请了6位同学的父母共位同学的父母共12人，请这人，请这12位位家长中的家长中的4位介绍对子女的教育情况，如果这位介绍对子女的教育情况，如果这4位中恰位中恰有一对是夫妻，那么不同选择方法的种数是有一对是夫妻，那么不同选择方法的种数是( )(A)60 (B)120 (C)240 (D)270C11. 某次数学测验中，学号是某次数学测验中，学号是i (i=1、2、3、4)的四位的四位同学的考试成绩同学的考试成绩 f(i)86,87,88,89,90，且满足，且满足f(1)f(2)f(3)f(4)，则四位同学的成绩可能情况有，则四位同学的成绩可能情况有( )(A)5种种 (B)12种种 (C)15种种 (D)10种种CB12.表达式表达式 可以作为下列哪一问题的答案可以作为下列哪一问题的答案 ( )(A)n个不同的球放入不同编号的个不同的球放入不同编号的n个盒子中，只有一个盒子个盒子中，只有一个盒子放两个球的方法数放两个球的方法数(B)n个不同的球放入不同编号的个不