高中数学秒杀型推论

1、高中数学秒杀型推论一 函数1. 抽象函数的周期（1）f（a±x)=f(b±x) T=|b-a|（2）f（a±x)=-f(b±x) T=2|b-a|（3）f(x-a)+f(x+a)=f(x) T=6a（4）f(x-a)=f(x+a) T=2a（5）f(x+a)=-f(x) T=2a2奇偶函数概念的推广及其周期：（1）对于函数f（x），若存在常数a，使得f（a-x）=f（a+x），则称f（x）为广义（）型偶函数，且当有两个相异实数a，b同时满足时，f（x）为周期函数T=2|b-a|（2）若f（a-x）=-f（a+x），则f（x）是广义（）型奇函数，当有两个相

2、异实数a，b同时满足时，f（x）为周期函数T=2|b-a|3.抽象函数的对称性 （1）若f（x)满足f（a+x）+f（b-x）=c 则函数关于（，）成中心对称（充要）（2）若f（x）满足f（a+x）=f（b-x）则函数关于直线x=成轴对称（充要）4.洛必达法则，设连续可导函数f(x)和g(x)二、三角1.三角形恒等式（1）在中， （2） 正切定理&余切定理：在非Rt中，有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC （3） （4） （5）2任意三角形射影定理（又称第一余弦定理）：在ABC中abcosCccosB；bccosAacosC；c=acosBbcosA3. 任意三角形

3、内切圆半径r=（S为面积），外接圆半径欧拉不等式：R>2r4梅涅劳斯定理如下图，E.D.F三点共线的充要条件是 5塞瓦定理 如下图，AD、BE、CF三线共点的充要条件是 6. 斯特瓦尔特定理：如下图，设已知ABC及其底边上B、C两点间的一点D，则有AB²DC+AC²BD-AD²BCBCDCBD7、和差化积公式（只记忆第一条）sin+sin=2sincossin-sin=2cossin cos+cos=2coscos cos-cos=-2sinsin8、积化和差公式sinsin=- coscos=sincos= cossin=9、万能公式10三角混合不等式：若

4、x（0，),sinxxtanx当x0时sinxxtanx11.海伦公式变式如下图，图中的圆为大三角形的内切圆，大三角形三边长分别为a.b.c，大三角形面积为12.双曲函数定义双曲正弦函数sinhx=，双曲余弦函数coshx=易知（1）奇偶性：sinhx为奇函数，coshx为偶函数（2）导函数：（sinhx）=coshx，（coshx）=sinhx（3）两角和：sinh（x+y）=sinhxcoshy+coshxsinhy cosh（x+y）=coshxcoshy+sinhxsinhy（4）复数域：sinh（ix）=isin（x） cosh（ix）=icos（x）（5）定义域：xR（6）值域：s

5、inhxR，coshx1，+）13.三角形三边a.b.c成等差数列，则14.三角形不等式（1）在锐角中， （2）在中，（3）在中，sinA>sinBcos2A>cos2B15ASA的面积公式：3、 复数1欧拉公式（泰勒级数推出） cos+isin=ei2棣莫弗定理（欧拉公式推出）（cos+isin）n=cos(n)+isin(n)3.复数模不等式（三角不等式）|z1+z2+zn|z1|+|z2|+|zn| 当且仅当所有复数幅角主值相等时等号成立45. 复数恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)四数列（所有通过递推关系得出通项后都要检验首项）1.An

6、+1=kAn+f(n)两边同除以kn+1，构造数列，通过累加法得出通项公式2. An+1=kAn+C 设一常数x，An+1+x=k（An+x） An+1 =kAn+（k-1）x则（k-1）x=C，求出x=，得到等比数列,公比为k3不动点法：形如An+1=（d0，当d=0时，则是第二种情况），设函数f(x)=，x=的根称为f(x)的不动点，（1）若函数f（x）有2个不动点， 则数列是一个等比数列，An=，An=（2）若函数f（x）只有一个不动点 则数列数一个等差数列，An=（3）若函数f（x）没有不动点，则数列An是周期数列，周期自己找4特征方程法：形如An+2=pAn+1+qAn称为二阶递推数

7、列，我们可以用它的特征方程x²-px-q=0的根来求它的通项公式（1）若方程有两根x1，x2，则An=x1n-1+x2n-1 (,可根据题目确定)（2）若只有一个根x0An=(+n)x0n-1 (,可根据题目确定)5变系数一阶递推数列四、不等式1.权方和不等式（赫德尔不等式推出）当且仅当2.黎曼和-定积分不等式级数与定积分之间的关系设可积函数f(x)当f(x)为减时，当f(x)为增时，3琴生不等式函数的平均数与平均数的函数之间的关系当f(x)为凹函数，即f（x）>0时当f(x)为凸函数，即f（x）<0时当且仅当x1=x2=xn时，等号成立4.卡尔松不等式 5排序不等式 当

8、且时， 其中以上可概括为 顺序和乱序和倒序和5切比雪夫总和不等式（排序不等式推出）当an与bn逆序时当an与bn顺序时不等式反向6舒尔不等式（Schur不等式）xt（x-y）（x-z）+yt（y-x）（y-z）+zt（z-x）(z-y)0当x=y=z时，等号成立配Schur法（Schur分拆法）三元齐三次对称轮换式f(x,y,z)0的充要条件是因为f(x,y,z)=a+b+cxyz三元齐四次对称轮换式f(x,y,z)0的充要条件是因为f(x,y,z)=三元齐五次对称轮换式f(x,y,z)0的充要条件是因为f(x,y,z)=7常用对数不等式当x-1时，当且仅当x=0时等号成立8.伯努利不等式当x

9、-1，n0时或n为正偶数，xR时（1+x）n1+nx当n=0或1，或x=0时等号成立9uvw法和pqr法（解决三元对称轮换式）uvw法：令a+b+c=3u,ab+bc+ca=3v2,abc=w3，得到新不等式pqr法：令a+b+c=p ,ab+bc+ca=q ,abc=r，得到新不等式当a.b.c为非负实数时，用uvw法；当a,b,cR时，用pqr法10.SOS法（配方法）不解释11拉格朗日乘数法（解决条件极值问题）已知f(x,y,z)=0，求F（x,y,z）的极值构造拉格朗日函数L=F（x,y,z）+f(x,y,z)对F（x,y,z）分别关于x,y,z，求偏导，得到四元方程组，其中对F（x,

10、y,z）关于求偏导所得方程即f(x,y,z)=0解四元方程组所得解，即F（x,y,z）的极值点，从而算出极值。由拉格朗日乘数法可知，所有对称轮换式的极值在x=y=z时取到12拉格朗日乘数法推论（拉格朗日乘数法得到）已知x，y，za,b，对称轮换式F（x,y,z）的极值在和x=y=z时取到13已知a.b.c为正实数，且a+b+c=k，求证证明：k=a+b+c=a+整理即得所求不等式14幂平均不等式当且仅当a1=an时等号成立1516 17.双绝对值函数图像18a.b为正数当mn>0时，当mn<0时，五、排列组合1隔板法I把n个元素放到m个集合中，所得集合均非空，则有种x1+x2+xm

11、=n的正整数解个数为2.隔板法II把n个元素放到m个集合中，所得集合可为空，则有种x1+x2+xm=n的非负整数解个数为（a1x1+a2x2+amxm）n展开式的项数为3.圆排列从n个元素中抽取m个元素，按照一定的顺序排列成一圈，叫做一个圆排列，圆排列的个数4.重复组合从n个元素中抽取m个元素，元素可以重复选取，不管顺序，组成一组，叫重复组合，重复组合个数5组合恒等式（只例举了最简洁的四个） 6.从互不相同的n个非零数字中任取m个，所得m位数之和为S，S=，其中为n个非零数字的算术平均数7（ax+by）n展开式中，第k项系数绝对值最大，则其中 表示高斯函数，即取整函数六、解析几何1圆锥曲线统一

12、极坐标方程2圆锥曲线统一焦点弦长公式3A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），当且仅当时，三点共线4. A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）四点共圆的充要条件5.A1x+B1y+C1z=0 A2x+B2y+C2z=0 A3x+B3y+C3z=0三线共点的充要条件=06过（x0，y0）引圆锥曲线F（x,y）的弦，弦中点的轨迹方程为y-y0=F（x,y）（x-x0），当（x0，y0）为弦中点时，弦中点轨迹方程为y-y0=F（x0,y0）（x-x0）7.定比分点公式：A（xA，yA），B（xB，yB），AB的+1等分点坐标为（）8.若抛物线y2=2px

13、，AB是抛物线上的动弦，kOAkOB=，则AB恒过定点（）9.抛物线焦点弦性质：抛物线焦点弦两端点A（x1，y1）、B（x2，y2），焦点弦斜率为k，焦点弦长度为L（1）y1y2=-p2 x1x2= x1+x2=p+= y1+y2=（2）L=x1+x2+p=（3）k= （4） （5）10圆锥曲线焦点弦性质（通性）：焦点弦长为L，（1）已知x1+x2时， 椭圆：L=2a-e（x1+x2） 双曲线：L=e-2a 抛物线：L=+p（2）已知焦点弦倾斜角时，L=（3）椭圆、抛物线、双曲线（焦点弦端点在同支）焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数双曲线（焦点弦端点在异支）焦点弦的两个焦半径倒数之差为常数（4）

14、圆锥曲线正交焦点弦倒数之和为常数（5）圆锥曲线焦点弦AB的中垂线于对称轴（标准方程中为x轴）于D，（6）圆锥曲线内，最长的焦点弦为通径11.圆锥曲线的焦半径（通性）（1）极点为焦点，极轴为x轴的圆锥曲线极坐标方程 式中的为极径，即焦半径，为极角（2）已知焦半径端点的横坐标x时 12双焦点三角形面积：F1.F2为有心圆锥曲线两焦点P为椭圆上一个点，P为双曲线上一个点，13.圆锥曲线幂定理：圆锥曲线F（x,y）Ax2+By2+Dx+Ey+F=0与一条过M（x0，y0），且倾斜角为的直线L交于P1.P2两点，则·=14.点P（x0，y0）对圆锥曲线C引两条切线，连结切点所得线为切点弦（极线

15、），或点P（x0，y0）为切点，则极线方程或切线方程为（1）若C为椭圆，（2）若C为双曲线，（3）若C为抛物线，15.已知有心圆锥曲线F（x,y），直线l：f(x,y)，p是l上一点，射线OP交圆锥曲线于点R，又点Q在OB上，且满足，当P在l上移动时，Q的轨迹方程即为F（x,y）=f(x,y)16曲线族F（x,y,t）的包络为F（x,y,t）=017. A（x1，y1），B（x2，y2），以AB为直径的圆的方程为（x-x1）（x-x2）+（y-y1）（y-y2）=018.关于双曲线渐近线：（1）共轭双曲线：实轴与虚轴对换，有相同渐近线，四焦点共圆，离心率的倒数平方和为1：（2）焦点到渐近线距离

16、为虚半轴长b（3）若两渐近线夹角为，则双曲线离心率e=（4）双曲线上任意一点到两渐近线距离之积为常数（5）过双曲线上任意一点M作平行于实轴的直线交两渐近线于P.Q，则19过有心圆锥曲线上一定点P（x0，y0）作倾斜角互补的两直线与有心圆锥曲线的另两交点A.B的连线的斜率为定值过无心圆锥曲线上上一定点P（x0，y0）作倾斜角互补的两直线与无心圆锥曲线的另两交点A.B的连线的斜率为定值以上情况中，APB的角平分线x=x0平行于y轴，APB的内切圆圆心恒过直线x=x0.20.圆锥曲线光学性质：椭圆：由一焦点出发的光线经椭圆反射后必过另一焦点双曲线：由一焦点出发的光线经双曲线反射后的反向延长线必过另一

17、焦点抛物线：平行于对称轴的光线经抛物线反射后必过焦点；过焦点的光线经抛物线反射后必平行于对称轴21.有心圆锥曲线的两焦点到任一切线的距离积为定值，且定值为b222.椭圆上动点对直径端点连线的斜率积=椭圆切线的斜率切点与中心连线的斜率=椭圆弦斜率弦中点与中心连线的斜率=双曲线上动点对直径端点连线的斜率积=双曲线切线的斜率切点与中心连线的斜率=双曲线弦斜率弦中点与中心连线的斜率=23.抛物线y2=2px内接RtOAB（以O为直角顶点），A（x1，y1）B（x2，y2）（1）x1x2=4p2，y1y2=-4p2（2）AB恒过顶点（2p,0）（3）AB中点轨迹方程y2=p（x-2p）（4）AB边上高的

18、垂足轨迹方程（x-p）2+y2=p2（5）（SOAB）min=（）min=4p224.对于极坐标方程，从1到2，曲线所围成的面积S=对于极坐标方程，从1到2，曲线所积出的长度L=25圆锥曲线上一弦AB，其中点M（x0，y0），AB的斜率为（1）对于椭圆，（2）对于双曲线，（3）对于抛物线，26.圆锥曲线上定点：圆锥曲线上有一定点P（x0，y0），另有一直线L于圆锥曲线交于与P相异两点A.B.第一组：当kPAkPB=（）时1） 对于椭圆，L恒过定点2） 对于双曲线，L恒过定点3） 对于抛物线，L恒过定点第二组：当kPA+kPB=（0）时1） 对于椭圆，L恒过定点2） 对于双曲线，L恒过定点3） 对于抛物线，L恒过定点七、立体几何1万能求积公式：2.设平面内三点A.B.C，（x1，y1，z1），（x2，y2，z2），则该平面的法向量为3.空间余弦定理：相交平面内分别有两条垂直于相交棱的线段，长度分别为m.n，垂足距离为d，另一端点之间距离为L，则平面所成二面角，满足4.二面角射影定理：如果平面内的一个多边形面积为S，它在平面内的射影面积为S射，与所成