奥数第八讲--不规则图形的面积计算

1、.奥数第八讲不规则图形面积计算我们曾经学过的 三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形.我们的面积及周长都有相应的公式直接计算 .如下表：实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合、拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算.一般我们称这样的图形为不规则图形 。那么，不规则图形的面积及周长怎样去计算呢？我们可以针对这些图形通过实施割补、剪拼 等方法将它们 转化为基本图形的和、差关系，问题就能解决了。一、例题与方法指导可编辑.例 1 、如右图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10 厘米和 12 厘米 .求阴影

2、部分的面积。思路导航：阴影部分的面积等于甲、 乙两个正方形面积之和减去三个“空白” 三角形（ABG 、BDE、EFG）的面积之和。例 2 、如右图，正方形 ABCD 的边长为 6 厘米，ABE 、ADF 与四边形 AECF 的面积彼此相等，求三角形 AEF 的面积 .思路导航：ABE 、ADF 与四边形AECF 的面积彼此相等，1四边形 AECF 的面积与 ABE 、ADF 的面积都等于正方形ABCD 的。3在ABE 中，因为AB=6. 所以 BE=4 ，同理 DF=4 ，因此 CE=CF=2 ，ECF 的面积为2 ×2 ÷2=2 。所以 SAEF=S 四边形 AECF-S

3、 ECF=12-2=10（平方厘米）。例 3 、两块等腰直角三角形的三角板，直角边分别是10 厘米和 6 厘米。如右图那样重合.C求重合部分（阴影部分）的面积。思路导航：B可编辑.在等腰直角三角形ABC 中AB=10EF=BF=AB-AF=10-6=4，阴影部分面积 =S ABG-S BEF=25-8=17（平方厘米）。例 4 、5 平方如右图， A 为CDE 的 DE 边上中点， BC=CD ，若ABC（阴影部分）面积为厘米 .求ABD 及ACE 的面积 .思路导航：取 BD 中点 F，连结 AF. 因为ADF 、ABF 和ABC 等底、等高，所以它们的面积相等，都等于5 平方厘米 .ACD

4、 的面积等于 15 平方厘米， ABD 的面积等于 10 平方厘米。例 5 、一个正方形，将它的一边截去 15 厘米，另一边截去 10 厘米，剩下的长方形比原来正方形的面积减少 1725 厘米 2，求剩下的长方形的面积。分析与解：根据已知条件画出下页图，其中甲、乙、丙为截去的部分。由左上图知， 丙是长 15厘米、宽 10厘米的矩形， 面积为 15 ×10=150 （厘米 2 ）。因为甲、丙形成的矩形的长等于原正方形的边长，乙、丙形成的矩形的长也等于可编辑.原正方形的边长，所以可将两者拼成右上图的矩形。右上图矩形的宽等于10+15=25（厘米），长等于原正方形的边长，面积等于（甲+丙）

5、 +（乙 +丙）= （甲+乙+丙）+丙= 1725+150= 1875（厘米 2）。所以原正方形的的边长等于1875 ÷25=75 （厘米）。剩下的长方形的面积等于75×75-1725=3900（厘米 2 ）。六、有红、黄、绿三块同样大小的正方形纸片，放在一个正方形盒的底部，它们之间互相叠合（见右图）。已知露在外面的部分中，红色面积是20 ，黄色面积是14 ，绿色面积是 10 ，求正方形盒子底部的面积。分析与解：把黄色正方形纸片向左移动并靠紧盒子的左边。由于三个正方形纸片面积相等，所以原题图可以转化成下页右上图。此时露出的黄、绿两部分的面积相等，可编辑.都等于（ 14+10

6、 ）÷2=12因为绿：红 =A 黄，所以绿×黄 = 红×A ，A= 绿×黄÷红=12 ×12 ÷20=7.2 。正方形盒子底部的面积是红+ 黄 + 绿 +A=20+12+12+7.2=51.2。又由于ACE 与ACD 等底、等高，所以 ACE 的面积是15 平方厘米。二、巩固训练1. 如右图， 在正方形 ABCD 中，三角形 ABE 的面积是 8 平方厘米， 它4是三角形 DEC 的面积的，求正方形ABCD 的面积。5解：过 E 作 BC 的垂线交 AD 于 F。在矩形 ABEF 中 AE 是对角线，所以SABE=S AEF

7、=8.在矩形 CDFE 中 DE 是对角线，所以SECD=S EDF。2. 如右图，已知： SABC=1， AE=ED,BD=2BC.求阴影部分的面积。3解：连结DF 。AE=ED ，可编辑D.SAEF=S DEF；SABE=S BED3.如右图，正方形ABCD 的边长是4 厘米， CG=3 厘米，矩形DEFG 的长 DG 为 5厘米，求它的宽DE 等于多少厘米？解：连结 AG ，自 A 作 AH 垂直于 DG 于 H ，在ADG 中， AD=4 ，DC=4 （ AD上的高） .SAGD=4 ×4÷2=8 ，又 DG=5 ，SAGD=AH×DG ÷2 ，

8、AH=8 ×2 ÷5=3.2 （厘米），DE=3.2 （厘米）。4. 如右图，梯形 ABCD 的面积是 45 平方米，高 6 米，AED 的面积是 5 平方米，BC=10米，求阴影部分面积.解：梯形面积 = （上底 + 下底）×高÷ 2即 45= （ AD+BC ）×6 ÷2，45= （ AD+10 ）×6÷2 ，AD=45×2 ÷6-10=5米。ADE 的高是 2 米。EBC 的高等于梯形的高减去ADE 的高，即6-2=4米，可编辑.5.如右图，四边形ABCD 和 DEFG 都是平行四边形，证明它们的面积相等.证明：连结CE，ABCD 的面积等于 CDE 面积的 2 倍，而DEFG 的面积也是CDE 面积的 2 倍。ABCD 的面积与DEFG 的面积相等。三、 练习1、如左下图所示，平行四边形ABCD 的周长是 75 厘米，以 BC 为底的高是 14厘米，以 CD 为底的高是 16 厘米。求平行四边形 ABCD 的面积。2、如下图，在三角形 ABC 中，BD=DF=FC