多元函数微分学及其应用归纳总结精品资料

1、第八章多元函数微分法及其应用一、多元函数的基本概念1、平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概念2、多元函数的极限lim, yf ( x, y)A（或 limf (x, y)A ）的定义( x, y ) (x)P P000掌握判定多元函数极限不存在的方法：（1）令 P( x, y) 沿 ykx 趋向 P( x0 , y0 ) ，若极限值与 k 有关，则可断言函数极限不存在；（2）找两种不同趋近方式，若limf ( x, y) 存在，但两者不相等，(x, y) (x0 , y0 )此时也可断言极限不存在。多元函数的极限的运算法则（包括和差积商，连续函数的和差积商，等价无穷

2、小替换，夹逼法则等）与一元类似：例 1用定义证明lim( x2y2 )sin2120( x, y ) (0,0)xy例 2（03 年期末考试 三、 1，5 分）当 x 0, y0时，函数x2y2y2(x2y)2x2的极限是否存在？证明你的结论。xyy2, x2y20limf ( x, y) 是否存在？例 3 设 f ( x, y)x2，讨论0,x2y20(x , y)(0,0)例 4（07 年期末考试 一、 2，3 分）设 f ( x, y)xy2, x2y20，讨论x2y40,x2y20limf ( x, y) 是否存在？( x, y)(0,0)例 5求 limsin(x2 y)x2y2(

3、x, y) (0,0)3、多元函数的连续性limf ( x, y)f ( x0 , y0 )( x, y)(x0 , y0 )一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域。在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”33x2y2 , x2y 20在（ 0，0）处的连续性。例 1 讨论函数 f ( x, y)xy0,x2y 20xy24 , x2y20例 2（ 06 年期末考试 十一， 4 分）试证f (x, y)x2y在0,x2y20点 (0,0)不连续，但存在一阶偏导数。例 3求 limx y例 limxy 1 1( x, y) (1,2)xy4xy( x,

4、 y) (0,0)4、了解闭区域上商连续函数的性质：有界性，最值定理，介值定理二、多元函数的偏导数、 二元函数zf ( x, y)关于 x, y 的一阶偏导数的定义（二元以上类似定义）1如果极限 lim0f (x0x, y 0 ) f ( x0 , y0 ) 存在，则有xxzxx x0y y0fxzx x x0fx ( x0f ( x0x, y 0 ) f (x0 , y0 )x0, y0 ) limxxy y0x 0yy0（相当于把 y 看成常数！所以求偏导数本质是求一元函数的导数。）如果极限 lim f (x0 , y 0y)f ( x0 , y0 ) 存在，则有y 0yzyx x0 y

5、y0fyzy x x0f y ( x0f ( x0 , y 0y) f (x0 , y0 )x0, y0 ) limyxy y0y 0yy0对于分段函数，在分界点的偏导数要用定义求。例 1（08年期末考试 一、 3，4分）已知 f (x, y)(x2y2 ) xy, x2y20x2y2，0,x2y20则 f x (0, y)xy24 , x2y20例 2（06 年期末考试 十一，4 分）试证 f ( x, y)x2y在点 (0,0)0,x2y 20不连续，但存在一阶偏导数。( x2y 2 )sinx21y2 , x2y 20例 3 设 f ( x, y)，求 fx (x, y), f y (

6、x, y) 。0,x2y20例 4 设 zx y ，求 zx , zy 。例 5（03 年期末考试，一、 2，3 分） 设 ux ( y1)arcsinx ，则 u 在(1,2)yx的值为（）。2、 二元函数 zf ( x, y) 关于 x, y 的高阶偏导数（二元以上类似定义）,z2 zfxx( x ,y )z2 z( x ,y )xx2yxf xyxx yz2 zf yy ( x ,y )z2 zyyy2xyfyx ( x ,y )y x定理：若两个混合二阶偏导数2 z,2 z 在区域 D 内连续，则有2 z2 z 。x yy xx yy x例 1设 u1 ,r(xa) 2( yb) 2(

7、z c) 2 ，其中 a,b,c 为常数，求：r2u 2 u2u。x2y 2z2例 2设 z ( x2y2 )earctgy2z 。x ，求x y3、 zf ( x, y) 在点 P( x, y) 偏导数存在zf (x, y) 在点 P(x, y) 连续（ 07 年，04 年， 02 年等）4、偏导数的几何意义：zf ( x, y)fx (x0 , y0 ) 表示曲线在点 P( x0 , y0 , z0 ) 处的yy0切线与 x 轴正向的夹角。三、全微分1、 zf ( x, y) 在点 P( x0 , y0 ) 可微分的判定方法若limzf x ( x0 , y0 ) xfy (x0, y0

8、) y220 ，则可判定 z f (x, y) 在点(x, y ) (0,0)xyP(x0 , y0 ) 可微分。其中z f ( x0x, y0y) f ( x, y)例 1（08年期末考试十二、6分）证明函数(x2y2 )sin1, x2y 20f (x, y)x2y2在（ 0，0）处可微，但偏导数 fx (x, y)0,x2y20在（ 0，0）处不连续。xy, x2y20例 2 （07 年期末考试 七、 6 分） f ( x, y)x2y2，证明：（ 1）0,x2y20函数在（ 0，0）处偏导数存在；（ 2）函数在（ 0，0）处不可微。2、全微分的计算方法若 z f ( x, y) 在 P

9、( x0 , y0 ) 可微，则有 dzfx ( x0 , y0 )dxf y ( x0 , y0 )dy其中 fx (x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 ) 的求法可以结合复合函数或者隐函数求导。例 1（08 年期末考试，一， 1，4 分） 设 zx4 y32x ，则 dz (1,2)例 2（07，04 年期末考试，二，1， 3 分）设 zarctan y (x0), 求 dz 。x例 3（06 年期末考试，二、 2，3 分）设 ux y2，则 du例 4（03 年期末考试，二、 2，3 分）函数uln( xy22在点处的全z )(1,0,1)微分为例 5设 z uy arcs

10、in w ， u ex ， wx 2xy2，求函数：对变量 x, y 的全微分 dz 。3、多元函数的全微分与连续，可偏导之间的关系（07 年， 04 年， 02 年等）一 阶偏 导数 f x , f y 在 P( x0 , y0 ) 连续zf (x, y) 在 P(x0 , y0 ) 可微zf ( x, y) 在 P(x0 , y0 ) 连续z f ( x, y) 在 P( x0 , y0 ) 有极限zf ( x, y) 在 P(x0 , y0 ) 可微在 P( x0, y0 ) 的一阶偏导数 f x , f y 存在zf ( x, y) 在 P(x0 , y0 ) 可微在 P( x0, y

11、0 ) 的方向导数 f x, f y 存在四、多元复合函数求导法则1、链式求导法则：变量树状图法则(1) zf (u,v), u(t ), v(t )dzdtz duu dtz dvv dtd zzd uzd vzdd tud tvd td t(2) z f (u,v), u( x, y), v( x, y)zzuzvzzuzvxuxv,yuyvyx(3) z f ( u, x, y), u( x, y)xuzfuf ,zfufyxuxxyuyfz x y例 1（08 年期末考试， 七，7 分）设 z f( ,x )， f 具有连续二阶偏导数，xy求 z ,2 z。x x y例 2 （ 08

12、年 期 末 考 试 ， 十 一 ， 6 分 ） 设 z z( x, y) 是 由 方 程x2y2z( xyz) 所确定的函数，其中( x) 可导，求 dz 。例 3（ 07 年期末考试，八， 7 分）设 z xf ( xy,y) ， f 具有连续二阶偏导x数，求z ,2 z 。y y x例 4（ 06年期末考试，一、1 ， 3 分）设 zxyf ( y) ， f (u) 可导，则xxzyz（）。x y例 5 （ 04 年期末考试，三、 1，8 分）设 G( u,v) 可微，方程 G( u, v) 0 ，其中 u x2yz, v y2xz 确 定 了 z 是 x, y 的 二 元 可 微 隐 函

13、 数 ， 试 证 明(2 y2xz) z(2 x2yz) zz24xy. 。xy例 （03年期末考试，三、 ，5分）设 ( u, v) 具有连续偏导数，证明方程62( x yz, y xz)0所 确 定 的 函 数 z f ( x, y)满 足( y xz) z( x yz) z1 z2 . 。xy例 7记 uf ( x2t 2 ,t ) ， f 具有连续二阶偏导数，求u ,u ，2 u2,2u 。xxtxx t例 8 设 zx 2 ln y ，而 xu ， y3u v ，求 z 和 z 。vuv例 9设 ueax ( yz)，而 ya sin x ， z b cos x ，则du。a2b2d

14、x例 10 设 zf ( x2y2 , exy ) ，又 f 具有连续的二阶偏导数， 求 z ,z ,2 z 。xyx y2一阶全微分形式不变性：设 zf ( u, v) ，则不管 u, v 是自变量还是中间变量，都有dzfu'dufv' dv通过全微分求所有的一阶偏导数，有时比链式求导法则显得灵活。当复合函数中复合的层次较多， 结构较为复杂时， 用一阶全微分形式不变性求出一阶偏导数或者全导数比较方便。例 设 u F ( x, y, z), z f ( x, y), y( x), 其中 F , f ,都可微，求 du 。1dx五、隐函数的求导法则1、 F ( x, y) 0y

15、f ( x) ，求 dydx方法 1（直接代公式）：dyF x，其中： FxF x ( x, y) ，相当于把 F 看dxF y成自变量 x， y 的函数而对 x 求偏导数。方法 2：直接对方程两边同时关于x 求偏导（记住 yf ( x) ）：F xF ydydyF xdx0F ydxdydyd 2 y( F xxF xy dx)F yFx (F yxF yy dx)dx2( F y )22 F ( x, y, z) 0zzzf ( x, y) ，求,xy方法 1（直接代公式）：zF xzF yxFz,Fzy方法：直接对方程两边同时关于（ ）求偏导（记住 zf ( x, y) ）：2x yF

16、xF zz0zF x， F yFzzzFydxdxF zdy0Fzdy3 F ( x, y, u, v) 0u u( x, y) ,求 u ， u , v , vG( x, y, u, v) 0v v( x, y)x y x y建议采用直接推导法：即方程两边同时关于x 求偏导，通过解关于未知数 u ， v 的二元方程组，得到u ， v 。同理可求得u ,v 。x xxxyy例1设 f ( x, y, z) ex yz2 ，其中 zz( x, y) 是由 xy zxyz0 确定的隐函数，求 f x ( 0,1, 1) 。例 2设有隐函数 F ( x , y )0 ，其中 F 的偏导数连续，求z

17、,z 。z zxy例 3（04 年期末考试，三、1，8 分）设 G (u, v) 可微，方程G(u, v)0 ，其中ux2yz,vy2xz确定 了z 是x,y的二元可微隐函数，试证明(2 y2xz)z(2 x2yz)zz24 xy.xy六、多元函数微分学的几何应用1、空间曲线的切线与法平面方程（三种形式）参数形式，两柱面交线，两曲面交线xx(t)xxyyzzy y( t)x' (t0 )( x x ) y' ( t0 )( y y ) z' (t0 )( z z ) 0'0'0'0x (t0 )y ( t0 )z (t0 )000zz( t)切线

18、向量''' x (t0 ), y (t0 ), z (t0 )xxxy yz zy y( x)x( x x ) y' (t0 )( y y ) z' (t0yy( x)000)( z z ) 0z z( x)zz( x)1y' (t0 )z' (t0 )000切线向量 1, y' ( x0 ), z' (x0 )F ( x, y, z)0yy( x)xx切线向量 1, y' (x0 ), z' ( x0 )yy(x)G( x, y,z)0zz(x )zz(x )x xy yz z( x x ) y'

19、 (t0 )( y y ) z' (t0 )( z z ) 00001y' (t0 )z' ( t0 )0003、 曲面的切平面与法线方程（两种形式）隐函数，显示函数F x (x x0 ) Fy ( y y0 ) F z (z z0 ) 0F ( x, y, z) 0x x0y y0z z0F x ( x0 , y0 , z0 )F y ( x0 , y0 , z0 )Fz (x0 , y0 , z0 )法线向量 Fx ( x0 , y0 , z0 ), F y (x0 , y0 , z0 ), F z ( x0 , y0 , z0 )fx ( x x0 )fy ( y

20、 y0 ) (z z0 ) 0z f ( x, y)x x0y y0z z0f x ( x0 , y0 )f y ( x0 , y0 )1法线向量 fx (x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 ),1 ，规定法向量的方向是向上的，即使得它与 z轴的正向所成的角是锐角，在法向量的方向余弦为：f x,cosf y1cos,cos1 fx2f y21 fx2f y21 fx2f y2xa cost例 1（08 年期末考试，一、 2，4 分）曲线y a sin t 在点 (a,0,0)的切线方程 z ct例 2（08 年期末考试，十、 7 分）在曲面 z2 x21 y2 上求出切平面，使得

21、切2平面与平面 4 x 2 y 2z 1 0. 平行。例 3（07 年期末考试，二、 5，3 分）曲面zez2 xy 3在点处的法线(1,2,0)方程。例 4（07 年期末考试，十、 8 分）在第一卦限内作椭圆x2y2z21 的切平a2b2c2面，使该切平面与三个坐标平面围成的四面体的体积最小，求切点的坐标。例 5（06 年期末考试，二、 3，3 分）曲面3xyz z3 a3在点处的切平面(0,a,-a)方程。例 6（04 年期末考试，三、 3，7 分）在球面 x 2y2z29 上求一点，使得过该点的切平面与已知平面2 xy2z0 平行。例7. 在曲线 xt ， y2t 2 ， z3t 3 上

22、求点，使该点处曲线的切线平行平面8x7 y4z1。例 8 设 f (x, y) 具有一 阶 连续 偏导数 ，且 f x2f y 20 ，对任意 实 数 t 有f (tx, ty )tf ( x, y) ，试证明曲面 zf ( x, y) 上任意一点 (x0 , y0 , z0 ) 处的法线与直线 xyz 相垂直。x0y0z0例9 由曲线3 x22 y212 绕 y 轴旋转一周得到的旋转面在点 （ 0， 3, 2 ）处z0指向外侧的单位法向量，七、方向导数与梯度1、方向导数的概念和计算公式zf ( x, y) 在 P( x, y) 沿 l 方向的方向导数为： 设 P' ( x x, yy

23、) 为 l 上一点，则flimf (P ' )f (P)f ( x x, y y) f ( x, y)llim00 设 l 的方向余弦为： lcos ,cos ，则ff cosf coslxy可微方向导数存在，但方向导数存在与偏导数存在之间没有确定的关系2、梯度的概念和计算公式z f( x, y在) P( x, y沿)什么方向的方向导数最大？沿 梯 度 方 向 G f , f 的 方 向 导 数 最 大 ， 最 大 值 为 梯 度 的 模x y P|G |(fx)2(fy)2例 1求函数 f (x, y, z)x 2y2z2 在点 P0 (3,4,5) 沿曲线 2x22 y 2z225x 2y2z2在点 P0 处的切线方向的方向导数。例 2求函数f