多元函数微分学复习题及答案38684

1、第八章多元函数微分法及其应用复习题及解答一、选择题1.极限 limx2 y=（ B）x4y2x0y0(A) 等于 0；(B) 不存在；(C)等于1 ； (D) 存在且不等于0 或 122（提示：令 yk2 x2 ）110 ，则极限 lim2、设函数 f ( x, y)x sin yy sin xxyf (x, y) =（ C ）0xy0x0y0(A) 不存在；(B) 等于 1；(C)等于 0；(D) 等于 2（提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小）3、设函数 f ( x, y)xyy 2x2y 20x2x 2y2，则 f ( x, y)（ A ）00(A)处处连续；(B)处处有极限，但不连续

2、；(C)仅在（ 0,0）点连续；(D)除（ 0,0）点外处处连续（提示：在x2y20 ， f (x, y) 处处连续；在x0,y0 ，令 y kx ，lim2kx222limkx20f (0,0)，故在 x2y20 ，函数亦连续。所以，f ( x, y) 在x0xxx 01ky0k整个定义域内处处连续。 ）4、函数 zf ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处具有偏导数是它在该点存在全微分的（ A ）(A) 必要而非充分条件；(B) 充分而非必要条件；(C)充分必要条件；(D) 既非充分又非必要条件5、设 uarctan y ，则u =（ B ）xx(A)x；(B)y；(C)y；(D

3、)xx 2y 2x 2y2xyy222x 26、设 f ( x, y) arcsiny，则 f x' (2,1)（ A ）x（ A ）1 ；（B） 1；（C）1 ；（D） 144227、若 z ln(xy ) ，则 xzyzxy（ A ）xy ； （ B）xy ； （ C） 1 ；（ D）1 8、设 z arctan x ， x u22v ， yuv ，则 zuzvy（ A ） uv； （ B） v u；（C） uv； （D）vu2v2u 2v 2u2v2u29、若 f ( x,2 x)x 23x, f x' ( x,2 x)6x1，则 f y' ( x,2 x) =（

4、 C ）（ C ）u v 2（ D ）(A) x3 ；(B)x3 ；(C)2x1 ；(D)2x 12210、设 zy x ，则 (zz) ( 2,1)（ A）xy(A) 2；(B) 1+ln2；(C) 0；(D) 111、设函数 z1x2y2，则点(0,0)是函数z 的（ B）（ A ）极大值点但非最大值点；（ B）极大值点且是最大值点；（ C）极小值点但非最小值点；（ D）极小值点且是最小值点。12、设函数 zf ( x, y) 具有二阶连续偏导数，在P0 ( x0 , y0 ) 处，有（ C）f x ( P0 )0, f y ( P0 )0, f xx ( P0 )f yy (P0 )0,

5、 f xy (P0 )f yx (P0 ) 2 ，则（ A ）点 P0 是函数 z 的极大值点；（B ）点 P0 是函数 z 的极小值点；（ C）点 P0 非函数 z 的极值点；（ D）条件不够，无法判定。二、填空题1、极限 lim sin( xy) =。答：x0xyln( yex2)。答： ln22、极限 lim=x0x2y 2y13、函数 zln( xy) 的定义域为。答： x y14、函数 zarcsin x 的定义域为。答：1x，0y1 y5、设函数 f (x, y)x2y2xy lny ，则 f ( kx, ky) =。答： k 2 f ( x, y)x欢迎下载2、设函数xy，则f

6、( xy, xy)=。答： x2y2f ( x, y)6y2xx（f (x y, x y)( xy)( xy)x2y2）( xy) ( xy)2x7、设 z sin(3x y)zy ，则xx 2_ 。答： 3cos5y 18 、函数zz( x, y)由方程( x y z)所确定，则2 z09 、设x yzex2u x ln xy ，则2 u1= _。答：x yy9、函数 z2x 23y24 x6y1 的驻点是 _。答：（ 1， 1）三、计算题1、求下列二元函数的定义域，并绘出定义域的图形.(1)z1 x2y2(2)zln( x y) (3) z1y)(4) zln( xy1)ln( x解： (

7、1) 要使函数 z1x2y2 有意义，必须有 1x2y20 ，即有 x2y 21.故所求函数的定义域为D( x, y) | x2y21 ,图形为图 3.1(2)要 使 函 数 zln( xy) 有 意 义 ， 必 须 有 xy 0.故所有函数的定义域为D( x, y) | xy0，图形为图 3.2(3)要使函数 z1有意义，必须有ln( xy)0，即 xy 0且 xy 1.ln( xy)故该函数的定义域为D(x, y) | x y 0，xy1，图形为图 3.3(4)要使函数 zln( xy1)有意义，必须有xy10.故该函数的定义域为D( x, y) | xy1 ，图形为图 3.4yyx+y=

8、0O1xO1 x欢迎下载3图 3.1图 3.2yy1x+y=01y=1/xO1x-1O1xx+y=1-1图 3.3图 3.4xyex2、求极限 lim4。x016 xyy0解： limxyexlimxyex ( 416xy )= -8xyx016 xyx0y0 4y03、设函数 zz( x, y) 由方程 xy 2 zxyz所确定，求z 。答： 2xyz 1y1xy 24、设 zy x ln( xy) ，求z ,z 。xy解： zxy x ln y ln xy1 y xzyxy x 1 ln( xy)1 y xxy四、应用题 。元，生产 x、某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为10元与9单

9、位的产品甲与生产y单位1的产品乙的总费用是 4002x3 y0.01(3x2xy3y 2 ) 元，求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少？解： L (x, y) 表示获得的总利润，则总利润等于总收益与总费用之差，即有利润目标函数 L( x, y) (10 x9 y) 4002x3y 0.01(3x2xy 3 y 2 )8x6 y 0.01(3x 2xy3y 2 ) 400,( x0, y 0) ，Lx80.01(6xy)0，解得唯一驻点（120， 80） .令60.01(x6 y)0Ly又因 AL xx0.060, BL xy0.01, CL yy0.06 ，得ACB 23.510 30.得

10、极大值 L (120,80)320. 根据实际情况，此极大值就是最大值故生产120 单位产品甲与80 单位产品乙时所得利润最大320 元.欢迎下载4五、证明题( 11 )1、设 z e xy求证 x2 z y2 z 2zxyze(1 1)1z(1 1)1x2 zy2 z(1 1)(1 1)2z证明： 因为xye xy所以e x ye x yxx2yy2xy2 设 2sin( x 2y3z )x2y3z证明zz1xy证明：设 F(x y z) 2sin(x 2y3z) x 2y 3z 则F x2cos(x2y 3z) 1F y2cos(x2y 3z) 222FxF z2cos(x2y 3z) (3)33F xzFFx1zFy2F