大学解析几何备课讲稿

1、此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除空间解析几何基本知识一、向量1、已知空间中任意两点M 1 (x1 , y1 , z1 ) 和 M 2 ( x2 , y2 , z2 ) ，则向量uuuuuurM1M 2(x2x1, y2y1, z2 z1 )2、已知向量 a(a1 ,a2 , a3 ) 、 b(b1 ,b2 ,b3 ) ，则（ 1）向量 a 的模为 | a |a12a22a32（ 2） a b (a1b1 , a2b2 ,a3b3 )（ 3） a ( a1 , a2 , a3 )3、向量的内积a b（ 1） a b| a | b | cosa, b（ 2） a ba1b1a2 b2a

2、3b3其中 a, b 为向量 a , b的夹角，且 0a, b注意：利用向量的内积可求直线与直线的夹角、直线与平面的夹角、平面与平面的夹角。4、向量的外积ab （遵循右手原则，且aba 、 abb ）ijka ba1a2a3b1b2b35、（ 1） a/ baa1a2a3bb2b3b1（ 2） a ba b0a1b1a2 b2a3b3 0二、平面只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除1、平面的点法式方程已知平面过点P(x0 , y0 , z0 ) ，且法向量为n( A, B, C ) ，则平面方程为A(xx0 ) B( y y0 ) C ( zz0 ) 0注意：法向量为n(

3、 A, B,C) 垂直于平面2、平面的一般方程Ax ByCzD0 ，其中法向量为 n ( A, B,C )3、（ 1）平面过原点(0,0,0)AxByCz 0（ 2）平面与x 轴平行（与yoz面垂直）法向量 n 垂直于 x 轴ByCzD0（如果 D0 ，则平面过 x 轴）平面与 y 轴平行（与 xoz 面垂直）法向量 n 垂直于 y 轴AxCzD0（如果 D0 ，则平面过y 轴）平面与 z 轴平行（与xoy面垂直）法向量 n 垂直于 z 轴AxByD0（如果 D0 ，则平面过 z 轴）（ 3）平面与 xoy 面平行法向量 n 垂直于 xoy 面CzD0平面与 xoz 面平行法向量 n 垂直于

4、xoz 面ByD0平面与 yoz面平行法向量 n 垂直于 yoz面AxD0注意：法向量的表示三、直线1、直线的对称式方程过点 P( x0 , y0 , z0 ) 且方向向量为 v(v1 , v2 , v3 ) 直线方程 xx0y y0z z0v1v2v3注意：方向向量 v (v1, v2 , v3 ) 和直线平行A1 x B1 y C1 z D10，注意该直线为平面2、直线的一般方程A2 xB2 yC2 zD20只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除A1 xB1 yC1zD10 和 A2 xB2 yC 2 zD 20 的交线xx0v1t3、直线的参数方程yy0v2tzz0v

5、3 t4、（ 1）方向向量v(0,v2 , v3 ) ，直线垂直于x 轴（ 2）方向向量（ 3）方向向量v(v1 ,0,v3 ) ，直线垂直于y 轴v(v1 , v2 ,0) ，直线垂直于z 轴5、（ 1）方向向量v(0,0,v3 ) ，直线垂直于xoy 面（ 2）方向向量（ 3）方向向量应用一、柱面v(0, v2 ,0) ，直线垂直于xoz 面v( v1 ,0,0) ，直线垂直于yoz 面1、设柱面的准线方程为f1 ( x, y, z)0(v1 , v2 , v3 ) ，求柱面方程f2 ( x, y, z)，母线的方向向量 v0方法：在准线上任取一点M (x1, y1 , z1 ) ，则过点

6、 M ( x1 , y1 , z1 ) 的母线为xx1yy1v1v2又因为 M (x1, y1 , z1 ) 在准线上，故f1 ( x1 , y1 , z1 )0（ 1）令x x1y y1zz1tv1v2v3由（ 1）、（ 2）、（ 3）消去 x1 , y1 , z1 求出 t ，再把则该方程为所求柱面方程z z1v3f 2 ( x1 , y1 , z1 )0（ 2）（ 3）t 代入求出关于 x, y, z 的方程 F (x, y, z)0 ，x2y 2z211, 0,1 ，求这柱面方例 1：柱面的准线为2 y 2z2，而母线的方向为 v2x22程。解：在柱面的准线上任取一点M ( x1 ,

7、y1 , z1 ) ，则过点 M ( x1 , y1 , z1 ) 的母线为只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除xx1yy1zz1101即 x1x t , y1y , z1z t （ 1）又因为M(x1,y1,z1)在准线上，故x 2y2z 21 （ ）， 2x122 y 2z 22 （3）111211由（ 1）（ 2）（ 3）得 x2y 2z22xz 1 02、圆柱面是动点到对称轴的距离相等的点的轨迹，该距离为圆柱面的半径方法：在圆柱面上任取一点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) ，过 M0 ( x0 , y0 , z0 ) 点做一平面垂直于对称轴，该平面的法向

8、量为对称轴的方向向量，把该平面方程和对称轴方程联立求得平面和对称轴的交点 M 1 ( x1 , y1 , z1 ) ，则 | M 0 M 1| 为圆柱的半径例 2：已知圆柱面的轴为xy1z1 ，点 M 1 （ 1，-2，1）在此圆柱面上，求这个圆122柱面的方程。解：设圆柱面上任取一点M 0 ( x0 , y0 , z0 ) ，过点 M 0 (x0 , y0 , z0 ) 且垂直于轴的平面为(x x0 ) 2( y y0 ) 2(z z0 ) 0轴方程的参数式为xt , y12t, z12t 代入平面方程得tx02 y02z09故该平面和轴的交点为( x02 y02z0,92x04 y04z0

9、 ,92x04 y04z0 )999过点 M 1 （ 1， -2，1）和轴垂直的平面和轴的交点为(115,)333因为圆柱截面的半径相等，故利用距离公式得8x25y 25z24xy4xz8yz18 y18 z990注意：也可找圆柱面的准线圆处理例 3：求以直线 x=y=z 为对称轴，半径 R=1 的圆柱面方程解：在圆柱面上任取一点M 0 ( x0 , y0 , z0 ) ，过点 M 0 (x0 , y0 , z0 ) 且垂直于轴的平面为(x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 ) 0轴方程的参数式为xt , yt , zt 代入平面方程得tx0y0z03故该平面和轴的交点为M 1 ( x

10、0y0z0, x0y0z0 , x0y0z0 )333只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除则 M 0 M 1 的长等于半径R=1故利用距离公式得( x0x0y0z0 ) 2( y0x0y0z0 ) 2(z0x0y0z0 ) 21333即所求方程为 (2x0y0 z0 ) 2(x02 y0z0 )2( x0y02z0 ) 29二、锥面锥面是指过定点且与定曲线相交的所有直线产生的曲面。这些直线是母线，定点为顶点，定曲线为准线。f1 ( x, y, z)01、设锥面的准线为，顶点为 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) ，求锥面方程f 2 (x, y, z)0方法：在准线上

11、任取一点M 1 ( x1 , y1 , z1 ) ，则过点 M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 的母线为xx0yy0zz0（ 1）x1x0y1y0z1z0又因为 M (x1, y1 , z1 ) 在准线上，故f1 ( x1 , y1 , z1 ) 0（ 2）f 2 ( x1 , y1 , z1 )0 （2）由（ 1）、（ 2）、（ 3）消去 x1 , y1 , z1 求出关于 x, y, z 的方程 F ( x, y, z)0 ，则该方程为所求锥面方程例 1 锥面的顶点在原点，且准线为x 2y 21，求这锥面方程。a2b2zc解：在准线上任取一点 M1 ( x1 , y1, z1 ) ，

12、则过点 M 1 ( x1 , y1, z1 ) 的母线为xyzx1y1z1又因为 M (x1, y1 , z1 ) 在准线上，故x12y121 且 z1 ca 2b2x2y2z20上面三个方程消去 x1, y1 , z1 得2b2c2a2、圆锥面只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除已知圆锥面的顶点M 0 (x0 , y0 , z0 ) ，对称轴（或轴）的方向向量为v(v1 , v2 , v3 ) ，求圆锥面方程方法：在母线上任取一点M (x, y, z) ，则过该点的母线的方向向量为n ( x x0 , y y0 , z z0 )利用 v 和 n 的夹角不变建立关于x,

13、y, z 的方程，该方程为所求例 2 求以三根坐标轴为母线的圆锥面的方程。（ ( xyz) 2x 2y2z2 ）解：在坐标轴上取三点(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) ，则过三点的平面为xyz1故对称轴的方向向量为(1,1,1) ，一条母线的方向向量为(1,0,0) ，则母线和对称轴的夹角为11101031cos，即 cos33在母线上任取一点M ( x, y, z) ，则过该点的母线的方向向量为n(x, y, z)x yzx2y 2z23 cos所以 ( x y z) 2x2y 2z 2例 3 圆锥面的顶点为 (1,2,3) ，轴垂直于平面 2 x2yz10 ，母线和轴成30

14、0 ，求圆锥面方程解：在母线上任取一点M (x, y, z) ，轴的方向向量为(2,2,1)，母线的方向向量为n ( x1, y2, z3)则 2(x1)2( y2)(z3)( x1) 2( y2) 2( z3) 29 cos300即4(2x2 yz3) 227( x 1)227( y2)227( z3) 2三、旋转曲面设旋转曲面的母线方程为f1 ( x, y, z) 0，旋转轴为x x0y y0z z0，求旋转f 2 ( x, y, z)0XYZ曲面方程方法：在母线上任取一点M 1 ( x1 , y1 , z1 ) ，所以过 M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 的纬圆方程X ( x x

15、1 ) Y( y y1 ) Z( z z1 ) 0( x x0 )2( y y0 )2( z z0 )2( x1 x0 ) 2( y1y0 ) 2( z1z0 ) 2又因为 M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 在母线上，有只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除f 1 ( x1 , y1, z1 )0f 2 ( x1 , y1 , z1 )0由上述四个方程消去x1 , y1 , z1 的方程 F ( x, y, z) 0为旋转曲面例 4 求直线 xyz1 绕直线 l ： xyz 旋转一周所得的旋转曲面的方程。210解：在母线上任取一点M 1 ( x1 , y1, z1

16、) ，则过 M 1 (x1 , y1 , z1 ) 的纬圆方程( x x1 ) ( y y1 ) (z z1 ) 0x 2y 2z 2x12y12z1 2又因为 M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 在母线上，有x1y1z11210由上述方程消去x1 , y1 , z1 的方程得 9x29 y 29z25( x yz 1) 29四、几种特殊的曲面方程1、母线平行于坐标轴的柱面方程设柱面的准线是xoy 平面上的曲线f ( x, y)0f (x, y)0z0，则柱面方程为设柱面的准线是xoz 平面上的曲线g (x, z)0g (x, z)0y0，则柱面方程为yoz平面上的曲线h( y, z)0

17、h( y, z)0设柱面的准线是x0，则柱面方程为注意：（ 1）母线平行于坐标轴的柱面方程中只含两个字母（ 2）准线为坐标平面内的椭圆、 双曲线、 抛物线等柱面称为椭圆柱面、 双曲线柱面、抛物线柱面例求柱面方程y22zx 轴（ 1）准线是0，母线平行于x解：柱面方程为y 22zx 2y 2z21，母线平行于y 轴（ 2）准线是49y3解：柱面方程为x 24z 2只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除x 2y 2z21，母线平行于z 轴（ 3）准线是499x2解： x22、母线在坐标面上，旋转轴是坐标轴的旋转曲面f ( x, y)0，旋转轴是 x 轴的旋转曲面为 f (x,y

18、 2z2 ) 0 ；旋转轴是 y 轴设母线是0z的旋转曲面为f (x2z2 , y) 0（同理可写出其它形式的旋转曲面方程）注意： 此类旋转方程中一定含有两个字母的平方和的形式，且它们的系数相等。例方程 y2z 2x0 是什么曲面，它是由xoy 面上的什么曲线绕什么轴旋转而成的22解： xoy面上的 y 2x0 绕 x 轴旋转而成的23、平行于坐标面的平面和曲面f ( x, y, z)0的交线方程平行于 xoy 面的平面 zh 和曲面 f (x, y, z)0 的交线为f ( x, y,h)0zh平行于 xoz 面的平面 yh 和曲面 f (x, y, z)0的交线为f ( x, h, z)0

19、yh平行于 yoz面的平面 xh 和曲面 f (x, y, z)0的交线为f (h, y, z)0xh例求曲面和三个坐标面的交线（ 1） x2y 216z264x2y264x 216 z264y 216z264解：0、y0、x0z（ 2） x24 y 216 z264解：注意在yoz面上无交线（ 3） x29 y 210z解：在 xoy 面上交于一点(0,0)五、求投影1、求点在平面上的投影、求点到平面的距离、求关于平面的对称点方法：（ 1）过点作直线垂直于平面，该直线的方向向量为平面的法向量只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除（ 2）求直线和平面的交点，该交点为点在平面

20、上的投影例 5（ 1）求点 A(3,1, 1) 在平面 3xyz200 上的投影（ 2）求点 A(1,2, 5) 到平面 xyz100 的距离，并求该点关于平面的对称点坐标3x2 y20（ 1）求过直线2 yz 6且与点 M (1,2,1) 的距离为 1 的平面方程x02、求点在直线上的投影、求点到直线的距离、求关于直线的对称点方法：（ 1）过点作平面垂直于直线，该平面的法向量为直线的方向向量（ 2）求直线和平面的交点，该交点为点在直线上的投影例 6（ 1）求点 A(1,1,0) 到直线 x 2y 1z 1的距离，该点在直线上的投影201（ 2）求点 M (1,2 y3z3 01,0) 到直线

21、y的距离x03、直线在平面上的投影方法：（ 1）过直线作平面和已知平面垂直，该平面的法向量为直线的方向向量和已知平面法向量的外积（ 2）联立两个平面方程所得直线为该直线在平面上的投影例 7（ 1）求直线2 x4 yz0在平面 4x yz 10 上的投影直线的方程3xy 2z90（ 2）直线在 yoz面上的投影为4 y7 z54x5z 3 0x0，在 xoz 面上的投影为，求y0直线在 xoy 面上的投影4、曲线f ( x, y, z)0g( x, y, z)0在坐标面上的投影柱面及投影方法：（ 1）消去 z 得 h1 ( x, y)h1 (x, y) 00 ，则0为曲线在 xoy 面上的投影z

22、（ 2）消去 x 得 h2 ( y, z)h2 ( y, z)0为曲线在 yoz面上的投影0 ，则0x（ ）消去y得h3( ,)0h3 ( x, z)0为曲线在 xoz 面上的投影3xz，则0y例（ 1）求球面 x2y 2z29 与平面 xz1 的交线在 xoy 面上的投影柱面及投影22 y 2z24x4z 的方程用母线平行于x 轴和z轴的两个投影柱面方程表（ ）把曲线y 23z28x12z只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除示解：消去 x 得母线平行于x 轴的投影柱面方程 y2z24z ；消去 z 得母线平行于z 轴的投影柱面方程 y 24xy 2z24z0 ，因此曲线

23、可表示为24x0y五、求平面方程A1 x B1 y C1z D101、过直线的平面方程可设为A2 x B2 y C2 z D20( A1 x B1 y C1 z D1 )( A2 x B2 y C 2 z D 2 ) 0如果直线方程是点向式或参数式可转化为上述形式处理例（ 1）在过直线xyz40x2 yz的平面中找出一个平面，使原点到它的距离最长。0（ ）平面过OZ轴，且与平面yz0 的夹角为6002，求该平面方程（两平面夹角等于两法向量的夹角或两法向量的夹角的补角）（ 3）求过点 M (1,0, 1) 和直线 x2y 1z 1 的平面方程201（ 4）过直线x2 z40xy403 yz8作平

24、面，使它平行于直线yz600(5) 过平面 2xy0 和 4x2 y3z6 的交线作切于球面x 2y 2z24的平面（ 6）求由平面 2xz120, x3y170 所构成的两面角的平分面方程2、利用点法式求平面方程注意：（ 1）任何垂直于平面的向量n 均可作为平面的法向量（ 2）和平面 AxByCzD0 平行的平面可设为AxByCzD10（ 3）如存在两个向量a(a1 , a2 , a3 ) 、 b(b1 ,b2 , b3 ) 和平面平行（或在平面内），则平只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除ijk面的法向量为 n a b a1a2a3b1b2b3例（ 1）已知两直线为方

25、程x 1y 1z 1 ， x3y 1z 2 ，求过两直线的平面111112（ 2）求过 A(8, 3,1) 和 B(4,7,2) 两点，且垂直于平面 3x5 yz 21 0 的平面（ 3）一平面垂直于向量(2,1,2) 且与坐标面围成的四面体体积为9，求平面方程（ 4）已知球面 x2y2z22xx04 y 6z 0 与一通过球心且与直线垂直的yz 0平面相交，求它们的交线在xoy 面上的投影3、轨迹法求方程方法：（ 1）设平面上任一一点M ( x, y, z) （ 2）列出含有 x, y, z 的方程化简的平面方程例求由平面 x y3z10 和 xy 3z 20 所构成的二面角的平分面的方程六

26、、求直线方程1、把直线的一般方程化为点向式方程方法：已知直线方程为A1 x B1 y C1 z D10，则该直线的方向向量为A2 x B2 y C2 z D20ijkvA1B1C1(v1 , v2 , v3 )A2B2C 2在直线上任取一点xx0y y0z z0( x0 , y0 , z0 ) ，则直线方程为v1v2v32x y z 5 0例化直线的一般方程2xy 3z为标准方程1 02、根据直线的方向向量求直线方程只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除例（ 1）过点 M (0,1,2) ，且平行于两相交平面xy3z 1 0和 x y3z20 的直线方程（ 2 求过点 M

27、(2,4,0)x2 z10，且与直线3z2平行的直线方程y0（ 3）求过点 M (1,0,2) ，且与平面 3x4 yz60 平行，又与直线 x3y2 z141垂直的直线方程注意：一直线和两直线垂直；一直线和两平面平行；一直线和一平面平行，和另一直线垂直均可确定直线的方向向量3、利用直线和直线的位置关系求直线方程注意：（ 1）两直线平行，则m1m2m3 ，其中 (m1 , m2 , m3 ) 和 (n1, n2 , n3 ) 为直线的方n1n2n3向向量（ 2）两直线 xx0yy0zz0和 xx1yy1zz1相交，则m1m2m3n1n2n3x1x0y1y0z1z00且 m1m2m3m1m2m3

28、n1n2n3n1n2n3（ 3）两直线 xx0yy0zz0和 xx1yy1zz1异面，其中公垂线的m1m2m3n1n2n3ijk|方向向量为 vm1m2m3(v1 ,v2 , v3 ) ，则两异面直线的距离为d；公垂线方n1n2n3| v |xx0yy0zz0m1m2m30程为v1v2v3xx1yy1zz1n1n2n30v1v2v3例（ 1）求通过点 M (1,1,1)且与两直线 xyz 和 x1y 2z 3 都相交的直线123214只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除方程解：设所求直线的方向向量为(a,b, c) ，已知两直线的方向向量为(1,2,3) 、 (2,1,4

29、) ，且分别过点 (0,0,0) 、 (1,2,3)111012则 12 3 0 ，即 a 2bc 0 ； 2140 ，即 a 2b c 0abcabc故 a0, c2b ，故 (a, b, c)( 0,1,2)所求直线为 x 1y1z1012（ 2）已知两异面直线xyz1 和 x1y 1z 1 ，求它们的距离与公垂线方110110程（ 3）求与直线 x2y1z3 平行且与下列两直线相交的直线871z5x6z2x4z4x和z3y53（ 4）求过点 P(1,2,3) 与 z 轴相交，且与已知直线xy 3 z2 垂直的直线方程432习题1、已知柱面的准线为(x1) 2( y3)2( z2) 225

30、且（ 1）母线平行于x 轴（ 2）x y z 2 0母线平行于直线 xy, zc ，求柱面方程2、已知柱面的准线为xy2z 2x2z母线垂直于准线所在的方程，求柱面方程3、求过三条平行线xyz, x1y z1, x1y1 z 2 的圆柱面方程4、求顶点为原点，准线为x 22z 10, yz10 的锥面方程5、顶点为 (3, 1,2) ，准线为 x2y 2z21, xyz0 ，求锥面方程6、顶点为 (1,2,4) ，轴垂直于平面2x2 yz 0 ，且过点(3,2,1) ，求该圆锥面的方程7、求下列旋转曲面方程（ 1）直线 x 1y1z1 绕直线 xyz1 旋转112112只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除（ 2）直线 xyz1 绕直线 xyz 1 旋转211112（ 3）直线 x1yz 绕直线 z 旋转133zx2绕直线 z 旋转（ 4）曲线y 2x218 例求曲面和三个坐标面的交线（ 1） x24 y 216 z 264 （ 2） x29 y 210 z （ 3） x 24 y216z209（ 1）求点 P(2,0,xy4z1201) 关于直线y2z3的对称点2x0（ 2）求点 A(2,3,1)2x2 yz30的距离，到直线2 y