高数上册第一章第九节连续函数的运算与初等函数的连续性学习教案

1、会计学1高数上册第一章第九节连续函数的运算与初高数上册第一章第九节连续函数的运算与初等函数的连续性等函数的连续性第一页，编辑于星期三：七点 五十一分。2【定理定理1】例例 如如 （上节已证）（上节已证）由函数由函数“点连续点连续”的定义和极限四则运算法则，立得的定义和极限四则运算法则，立得: :【推广推广】 有限个连续函数的和、差、积仍为连续函数。有限个连续函数的和、差、积仍为连续函数。【结论结论】三角函数在其定义域内连续三角函数在其定义域内连续.若若f(x) , g(x)在点在点x0处连续，则处连续，则f(x)g(x) ，f(x)g(x) , f(x)/g(x)g(x0)0在点在点x0处也连

2、续处也连续.第1页/共30页第二页，编辑于星期三：七点 五十一分。3【定理定理2】严格单调的连续函数必有严格单调的严格单调的连续函数必有严格单调的 连续反函数连续反函数. .（证明略）（证明略）例如例如【结论结论】反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续. . 1. . 反函数的连续性反函数的连续性第2页/共30页第三页，编辑于星期三：七点 五十一分。4【定理定理3】【证证】2、复合函数的连续性、复合函数的连续性第3页/共30页第四页，编辑于星期三：七点 五十一分。5将上两步综合起来将上两步综合起来: :【注意注意】本节本节定理定理3是是5定理定理6（复合函数求极限（复合函数求

3、极限的法则）的特例，外层函数由原来的的法则）的特例，外层函数由原来的极限极限存在存在加强为加强为连续连续。第4页/共30页第五页，编辑于星期三：七点 五十一分。6【意义意义】【例例1】【解解】可知可知极限符号极限符号 可以与函数符号可以与函数符号 f 交换次序交换次序; ;0limxx条件是：条件是：内层函数极限存在、外层函数在对内层函数极限存在、外层函数在对 应点连续；则可交换次序应点连续；则可交换次序. .同理同理（即教材例（即教材例6）利用利用lnu的的连续性连续性第5页/共30页第六页，编辑于星期三：七点 五十一分。7【教材教材例例3】【解解】可视为由可视为由复合而成，复合而成，则则第

4、6页/共30页第七页，编辑于星期三：七点 五十一分。8又如又如交换次序：交换次序：用用arccosu的的连续性连续性分子有理化分子有理化分离无穷小量分离无穷小量第7页/共30页第八页，编辑于星期三：七点 五十一分。9【定理定理4】【注意注意】定理定理4是定理是定理3的特殊情况的特殊情况. .简言之：简言之：内、外层函数在对应点都连续，则复内、外层函数在对应点都连续，则复合函数连续合函数连续第8页/共30页第九页，编辑于星期三：七点 五十一分。10例如例如是由连续函数链是由连续函数链因此因此在在*R x上连续上连续 .复合而成复合而成 ,xyoxy1sin第9页/共30页第十页，编辑于星期三：七

5、点 五十一分。11【关系关系】5 定理定理6：内、外层函数内、外层函数极限极限都都存在存在，则复，则复合函数合函数极限存在极限存在.(.(叙述不严格叙述不严格) )本节定理本节定理3：内层函数内层函数极限存在极限存在、外层函数加强、外层函数加强为为连续连续，则复合函数，则复合函数极限存在极限存在，且极限符号和，且极限符号和函数符号可函数符号可交换次序交换次序. .本节定理本节定理4：内、外层函数都加强为内、外层函数都加强为连续连续，则复合，则复合函数也函数也连续连续（极限存在且等于函数值、极限符极限存在且等于函数值、极限符号和函数符号可交换次序号和函数符号可交换次序）. . 第10页/共30页

6、第十一页，编辑于星期三：七点 五十一分。12三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的续的. .（已证）（已证）（指出但不详细讨论）（指出但不详细讨论）（由（由【定理定理2】反函数的连续性可得）反函数的连续性可得）第11页/共30页第十二页，编辑于星期三：七点 五十一分。13【定理定理5】 基本初等函数在基本初等函数在定义域内定义域内是连续的是连续的. .( (均在其定义域内连续均在其定义域内连续 ) )定义区间定义区间是指包含在定义域是指包含在定义域内内的区间的区间. .由由【定理定理4】复合函数的连续性复合函数的连续性基本初等函数在基本初等函数在定

7、义域内定义域内连续连续连续函数经连续函数经四则运算四则运算仍连续仍连续连续函数的连续函数的复合函数复合函数连续连续一切初等函数一切初等函数在在定义区间内定义区间内连连续续【定理定理6】 第12页/共30页第十三页，编辑于星期三：七点 五十一分。141. .初等函数仅在其定义初等函数仅在其定义区间内区间内连续连续, , 在其定义在其定义域内域内不一定连续不一定连续; ;例如例如在这些孤立点的某个去心邻域内没有定义在这些孤立点的某个去心邻域内没有定义. .在在0 0点的某去心邻域内没有定义点的某去心邻域内没有定义. .【注意注意】【注意注意】2. .初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法代入法代

8、入法. .则既不是连续点也不是间断点则既不是连续点也不是间断点又如又如第13页/共30页第十四页，编辑于星期三：七点 五十一分。15【例例3】【例例4】【解解】【解解】型型00有理化后消去有理化后消去0因子因子第14页/共30页第十五页，编辑于星期三：七点 五十一分。16【教材教材例例8】【解解】【解解】ln(1+2x) 2x (x0)第15页/共30页第十六页，编辑于星期三：七点 五十一分。17【补充补充】则有则有ln1+u(x) u(x) (u(x)0)第16页/共30页第十七页，编辑于星期三：七点 五十一分。18【一般地一般地】的函数称为的函数称为幂指函数幂指函数若若则则【注意注意】.

9、.lim表示自变量的同一变化过程中的极限表示自变量的同一变化过程中的极限. .（是定式情况下成立）（是定式情况下成立）.不能分两步写作：不能分两步写作：第17页/共30页第十八页，编辑于星期三：七点 五十一分。19【思考题思考题】第18页/共30页第十九页，编辑于星期三：七点 五十一分。20【思考题解答思考题解答】在在),( 上上处处处处连连续续 )(xgf在在)0 ,(), 0( 上上处处处处连连续续 )(xfg0 x是它的可去间断点是它的可去间断点第19页/共30页第二十页，编辑于星期三：七点 五十一分。21【思考题思考题】第20页/共30页第二十一页，编辑于星期三：七点 五十一分。22【

10、思考题解答思考题解答】)()()()(000 xfxfxfxf 且且第21页/共30页第二十二页，编辑于星期三：七点 五十一分。23但反之不成立但反之不成立. .例例但但| )(|xf、)(2xf在在00 x连连续续 第22页/共30页第二十三页，编辑于星期三：七点 五十一分。24教材习题教材习题19 P69 第第2题题 解答解答【证明证明】0 xx 在在 点，有且仅有三种情形：点，有且仅有三种情形：第23页/共30页第二十四页，编辑于星期三：七点 五十一分。25又由假设又由假设故故即即由函数极限的局部保号性立知由函数极限的局部保号性立知第24页/共30页第二十五页，编辑于星期三：七点 五十一

11、分。26今取今取故故此即此即则则第25页/共30页第二十六页，编辑于星期三：七点 五十一分。27上两式同时成立上两式同时成立即即【证完证完】连续连续第26页/共30页第二十七页，编辑于星期三：七点 五十一分。283. .定义区间与定义域的区别定义区间与定义域的区别; ;求极限的又一种方法求极限的又一种方法. .2. .两个定理（两个定理（3、4）; ;两点意义两点意义. .1.基本初等函数在基本初等函数在定义域内定义域内连续连续连续函数的连续函数的四则运算四则运算的结果连续的结果连续连续函数的连续函数的反函数反函数连续连续连续函数的连续函数的复合函数复合函数连续连续初等函数初等函数在在定义区定义区间内间内连续连续【说明说明】 分段函数在分界点处是否连续需讨论其分段函数在分界点处是否连续需讨论其 左、右连续性左、右连续性. 第27页/共30页第二十八页，编辑于星期三：七点 五十一分。29【思考题思考题】 设设xxfsgn)( ，21)(xxg ， 试研究， 试研究复合函数复合函数)(xgf与与)(xfg的连续性的连续性. . 第28页/共30页第二十九页，编辑于星期三：七点 五