大一上学期高数期末考试题

1、高等数学 I1. 当 xx0 时，x , x 都是无穷小，则当 xx0 时（D）不一定是无穷小 .xx2(A)(B)2x2 x(x)(C)ln 1( x)(x)(D)( x)1sin xlimx asin a2.极限 xa的值是（ C）.（A） 1（B） e（ C） ecot a（ D） etan asin xe2ax1x0f ( x)x3.ax0 在 x0 处连续，则 a =（D）.（A） 1（B） 0（C） e（D）14. 设 f (x) 在点 xlim f ( ah) f ( a2h)A）.a处可导，那么 h0h（A ） 3 f (a)（B） 2 f (a)(C)f(a)1f(a)（D）

2、 3二、填空题（本大题有4 小题，每小题 4 分，共 16 分）lim ln( xa)ln a(a0)15.极限 x0x的值是a .6.由 ex yy ln x cos 2x确 定函 数y( x)，则导函数y2sin 2xyyexyxe xyx.ln x7.直线 l 过点 M (1,2,3) 且与两平面 x2yz0,2x3y5z6 都平行，则直x1y2 z3线 l 的方程为111.8.求函数 y2xln( 4x) 2的单调递增区间为（， 0）和（ 1， +）.三、解答题（ 本大题有4 小题，每小题8 分，共 32 分）1(1 x) xelimx.9.计算极限 x0(11e1 ln(1x) 11

3、ln(1x) xelimx) xe limexelimxxx22解： x 0x 0x 0xF (x)( xt ) f (t )dtxa,b10. 设 f (x) 在 a，b上连续，且a，试求出 F ( x) 。xxF ( x)xf (t)dttf (t) dt解：aaxxF ( x)f (t )dtxf ( x)xf ( x)f (t)dtF ( x)f ( x)aax cos x dx.11. 求sin 3 x解：x cos3x dx1xd sin 2xsinx21 x sin 2 x1sin 2 xdx1 x sin 2 x1 cot xC2222四、解答题（ 本大题有 4 小题，每小题8

4、 分，共 32 分）2dx12. 求2xx 213.令1tx111原式2()dt311t221tt 23dt3arcsin t2211 t216222 x13. 求函数 y 1 x2 的极值与拐点 .解：函数的定义域（， + ）y2(1x)(1x)4x(3x2 )(1x2 ) 2y(1x 2 ) 3令 y0 得 x 1 = 1, x 2 = -1y (1)0x 1 = 1 是极大值点，y(1)0 x 2 = -1是极小值点极大值 y(1) 1，极小值 y(1)1令 y0 得 x 3 = 0, x 4 =3 , x 5 = -3x3 )3 ,0)3 )(3,+)(-,-(-(0,+y33故拐点（

5、 -3 ， -2 ），（ 0， 0）（3 ，2 ）求由曲线 yx3x214.4 与 y3x所围成的平面图形的面积解 : x33xx 2 ,x 312x4 x20,4x( x6)( x 2)0,x16,x20,x3 2.S0(x 33xx2)dx2(3xx2x 3)dx6404( x43x2x3) 6( 3 x2x3x4) 00216232316452 147 133x215.设抛物线 y4上有两点 A(1,3) ， B(3,5) ，在弧P(x, y) 使 ABP 的面积最大 .连线方程：y2x 10AB45AB点 到的距离 2xy1x 22x 31x 3)PAB55(的面积ABPS(x)14

6、5x 22x 32( x 22 x 3)25S (x)4x 4 当 x 1S ( x) 0S (x)40当x时S( x)取得极大值也是最大值1.A B 上，求一点此时 y3所求点为(1， 3)另解：由于ABC的底一定,故只要高最大而过C点的抛物线AB的切线与 AB平行时 , 高可达到最大值, 问题转为求 C( x0 ， 4 x02 ), 使 f ( x0 )2 x05312,解得 x01,所求 C点为 (1,3)3六、证明题（ 本大题 4 分 ）16.设 x 0 ，试证 e2 x (1x)1x .证明：设 f (x)e2 x (1x)(1x), x0f( x)e2x (12x)1 ， f( x)4xe2 x ， x0, f ( x)0 ，因此 f(x) 在（ 0，+ ）内递减。在（0，+）内， f (x)f (0)0,f