天津高考数学高考必备知识点总结精华版

1、第一章 - 集合（一）、集合：集合元素的特征：确定性、互异性、无序性.1、集合的性质：任何一个集合是它本身的子集，记为AA ；空集是任何集合的子集，记为A ；空集是任何非空集合的真子集；n 个元素的子集有 2n个. n 个元素的真子集有2n1 个.n 个元素的非空真子集有 2n2 个. 注 一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题逆命题 .一个命题为真，则它的逆否命题一定为真.原命题逆否命题 .交：A B x | xA, 且 x B2、集合运算：交、并、补 . 并： A B x | xA或 x B补： CUA x U , 且 x A（三）简易逻辑构成复合命题的形式： p 或 q( 记

2、作“pq” ) ；p 且 q( 记作“pq” ) ；非 p( 记作“ q” ) 。1、“或”、“且”、“非”的真假判断4、四种命题的形式及相互关系：原命题：若 P 则 q；逆命题：若 q 则 p；否命题：若 P则 q；逆否命题：若 q 则 p。、原命题为真，它的逆命题不一定为真。、原命题为真，它的否命题不一定为真。、原命题为真，它的逆否命题一定为真。6、如果已知 pq 那么我们说， p 是 q 的充分条件， q 是 p 的必要条件。若 pq 且 qp, 则称 p 是 q 的充要条件，记为p? q.第二章 - 函数0/17一、函数的性质（1）定义域：（2）值域：（3）奇偶性：（在整个定义域内考虑

3、）定义： 偶函数： f ( x) f ( x)，奇函数： f ( x)f (x)判断方法步骤： a. 求出定义域； b. 判断定义域是否关于原点对称； c.求 f ( x) ；d. 比较 f ( x)与 f ( x) 或 f (x)与 f ( x) 的关系。（4）函数的单调性定义：对于函数 f(x) 的定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x ,x2,1若当 x1<x2 时，都有 f(x 1)<f(x 2), 则说 f(x) 在这个区间上是增函数；若当 x1<x2 时，都有 f(x 1)>f(x 2), 则说 f(x)在这个区间上是减函数.二、指数函数与对数函数

4、指数函数 ya x (a0且 a1) 的图象和性质a>10<a<1图象4.54.5443.53.532.5322.51.52y=111.5y=10.51-4-3-2-112340.5-0.5-4-3-2-11234-1-0.5-1性(1) 定义域： R质（ 2）值域：（ 0，+）（ 3）过定点（ 0，1），即 x=0 时， y=1(4)x>0 时， y>1;x<0 时， (4)x>0 时， 0<y<1;x<0 时， y>1.0<y<1（ 5）在 R 上是增函数（ 5）在 R 上是减函数对数函数 y=log ax（ a

5、>0 且 a 1）的图象和性质:1/17对数、指数运算：log a (MN ) log a Mlog a Na r a sa rs( a r) sa rslog aMlog a Mlog a NN) ra rb r( ablog a Mnn log aM y a x （ a0, a1 ）与 ylog a x （ a0, a 1 ）互为反函数 .第三章数列yy=loga xa>1图象Oxx=1a<1（ 1）定义域：（ 0， +）（ 2）值域： R（ 3）过点（ 1， 0），即当 x=1 时， y=0性质（ 4） x(0,1) 时y 0x(0,1)时x(1,) 时 y>0x

6、(1,) 时y 0 y 0（ 5）在（ 0， +）上是增在（ 0， +）上是减函数函数1.等差、等比数列：等差数列等比数列定义an 1andan 1q(q 0)an2/17递 推 anan 1d ；anan 1q ；公式 anam nmdanam q n m通 项 a na1(n 1)dana1 q n 1 （ a1 , q0 ）公式中 项AabG 2ab公式2前 nSn (aa )Snna1(q 1)项和n21na 1 qna a q2)n(n1)11n (qSnna11 q1q2d重 要 nmpq 则性质anamapaqam an ap aq(m,n, p,q N*,m n p q)（ 2

7、）数列 an 的前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系：ans1a1 (n1)snsn 1(n2)第四章 - 三角函数一. 三角函数1、角度与弧度的互换关系：360°=2；180°=；1801rad ° 57.30 °=57°18； 1°0.01745（rad ）180注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.2、弧长公式： l| r. 扇形面积公式： s扇形1 lr1 | | r 2223、三角函数：sinyrxy；cos；tan；rx4、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）3/17yyy+-+

8、-+oxo+ xox-+-正弦、余割余弦、正割正切、余切5、同角三角函数的基本关系式：6、诱导公式：sinsin 2cos21tancoss i n2k(x)s i nxsin( x)sinxc o s2k(x)c o xscos( x)cosxt a n2k(x)t a xntan( x)tanxc o 2tk(x)c o xtcot( x)cotxsin(x)sin xcos(x)cosxtan(x)tan xcot(x)cot x7、两角和与差公式s i n2 (x)s i nxc o s2 (x)c o xst a n2 (x)t a xnc o 2t (x)c o xts i n (

9、x)s i nxc o s (x)c o xst a n (x)t a nxc o t (x)c o xtsin()sincoscossincos()cos cossinsintan()tantan1tantantan()tantan1tantan8、二倍角公式是：sin2= 2sincoscos2= cos2sin2= 2 cos21=1 2sin 22 tantan 2= 1tan2 。4/17辅助角公式 asin +bcos =a2b2 sin( +) ，这里辅助角b所在象限由 a、b 的符号确定，角的值由 tan= a 确定。9、特殊角的三角函数值：0sin0cos1tan0不存cot

10、在364322123101222321010222313不存0不存3在在3130不存03在10、正弦定理abc2 R （ R为外接圆半径）sin Asin Bsin C余弦定理c2 = a 2+b22bccosC，b2 = a 2+c22accosB，a2 = b 2+c22bccosA面积公式：S1 ah1 bh1 ch1 absin C1 acsin B1 bcsin A2a2b2c22211. ysin( x) 或 ycos( x) （0 ）的周期 T2.12.ysin(x ) 的对称轴方程是 xk（ kZ ），对称中心（ k,0 ）；2y(socx) 的对称轴方程是 xk（ kZ ），

11、对称中心（ k1,0 ）；2ytan( x) 的对称中心（k）.,02第五章 - 平面向量(1) 向量的基本要素：大小和方向.5/17( 2) 向量的长度：即向量的大小，记作a .ax 2y 2ax , y(3) 特殊的向量：零向量 a O a O.单位向量 a 为单位向量 a 1.(4)相等的向量：大小相等，方向相同( ， ) （ ， ）x1x 21122y 1y 2(5)相反向量： a =- b b =- aa +b = 0(6) 平行向量 ( 共线向量 ) ：方向相同或相反的向量， 称为平行向量 . 记作 a b .平行向量也称为共线向量.（7）. 向量的运算运算几何方法类型向量 1.

12、平行四边的 形法则加 2. 三角形法则法向量 三角形法则的坐标方法运算性质abbaab( x1x2 , y1y2 )(ab)ca(bc)ABBCACaba( b)ab( x1 x2 , y1 y2 )ABBA,OB OA AB6/17减法1. a 是一个向量 , 满数足 : |a | a |乘2.>0 时,a与 a向同向 ;<0 时,量a与 a 异向 ;=0 时,a 0.向 a b 是一个数量 1. a 0或b 0的时， ab0数 a 0且b 0时，量 a b | a | b | cos(a, b)积( a) ()a()aaaa ( x, y)b)ab( aa / bababbaa

13、 b x1x2y1 y2( a) b a ( b)(a b)a b a b cosa 0,b 0,0180 (ab)cacb c2| a |2 即|a|=x2y2a| ab | a |b |(8) 两个向量平行的充要条件a b ( b 0)ab或 x1 y 2x 2 y1 0(9) 两个向量垂直的充要条件a ba · b =0 x1·x2+y1·y2=0a·bx1x2y1 y2(10) 两向量的夹角公式： cos= | a |·| b | =x12y12x22y220 180°,附：三角形的四个“心”；1、内心：内切圆的圆心，角平分线

14、的交点7/172、外心：外接圆的圆心，垂直平分线的交点3 、重心：中线的交点4 、垂心：高的交点(11) ABC的判定：c 2a2b2ABC为直角A+ B=2c 2 a 2b2ABC为钝角A + B2c 2 a2b2为锐角A + ABCB2(11) 平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和.第六章 - 不等式1. 几个重要不等式（1） aR,a20, a0当且仅当a 0, 取“ ”20(a 、 bR)，(a b)（2） a, bR, 则a 2b22ab（ 3） a,b R，则 ab2ab ；（ 4） a 2b2( a b ) 2 ；22( ab ) 2 (a,b若 a、bR+，则

15、a 2b2R)22ababa ba2b2(a,bR ) ；a b222、解不等式（1）一元一次不等式axb(a0) a 0,x xb0,x xb aaaax2bx0, (a0)（ ）一元二次不等式c2第七章 - 直线和圆的方程一、解析几何中的基本公式1. 两点间距离：若 A (x 1 , y1 ), B (x 2 , y 2 ) ，则 AB( x2x1 )2( y2 y1 )28/172. 平行线间距离：若 l1 : AxByC10,l 2 :Ax ByC 20则： dC1C2A 2B 2注意： x，y 对应项系数应相等。3. 点到直线的距离： P( x , y ),l :AxBy C0AxB

16、yC则 P 到 l的距离为： dA 2B 24. 直线与圆锥曲线相交的弦长公式：ykxbbx c0 ，F( x, y)消 y： ax20务必注意0. 若 l与曲线交于 A(x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 则：AB(1 k 2 )( x2x1 ) 21 k 2x1x224 x1 x2x1x25. 若 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ，P（x，y）,P 为 AB中点，则x2y1y 2y26. 直线的倾斜角（ 0° 180°）、斜率 : k tan7.过两点 P1 (x1, y1 ), P2 ( x2 , y2 )的直线的斜率公式： ky2y1

17、 .(x1x2 )x2x18.直线 l 1与直线 l 2 的的平行与垂直k=kllkk =1（1）若 l1，l均存在斜率且不重合： l /l211221212（2）若 l1 : A1 x B1 y C10,l 2 : A2 x B 2 y C2 0若 A 、A、B 、B 都不为零1212l 1/lA1B1C1；l1l2AA+BB=0；2A2B2C212129. 直线方程的五种形式名称方程斜截式：y=kx+b点斜式：yyk( xx )两点式：yy1xx1y2y1x2（x1x2 ）x1截距式：xya1b一般式：10. 圆的方程AxByC0（其中 A、B不同时为零）9/17（ ）标准方程： ( xa

18、)2( yb) 2r 2 ， (a, b)圆心， r半径 。1（2）一般方程： x2y2DxEyF0，（ D2E 24F0)(D,E )圆心 ,半径 rD 2E 24F222特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是： x 2y2r 2.xar cos注：圆的参数方程：ybr sin（ 为参数） .特别地，以 (0 ，0) 为圆心，以 r 为半径的圆的参数方程为x2y2 r 2xr cos为参数）y(r sin（3）点和圆的位置关系：给定点M ( x 0 , y 0 ) 及圆 C : (x a) 2 ( y b) 2 r 2 .M 在圆C内(x 0 a) 2 ( y 0 b)2 r 2M 在

19、圆C上（ x0a) 2 ( y 0 b) 2 r 2M 在圆C外( x0a) 2 ( y 0 b) 2 r 2（4）直线和圆的位置关系：设圆圆 C ： ( xa) 2 ( yb) 2r 2 (r0)；直线 l ： AxBy C0(A2B 20)；圆心 C(a, b) 到直线 l 的距离 dAaBb C.A2B 2 d r dr时，时，ll与 C 相切； d r 时， l 与 C 相交；与C相离.第八章 - 圆锥曲线方程一、椭圆1. 定义：若 F1，F2 是两定点， P为动点，且 PF1PF22aF1 F2（ a 为常数）则 P 点的轨迹是椭圆。10/17x2y2y 2x 22. 标准方程： a

20、221 ( a b 0)1(a b 0)ba 2b 2a2长轴长 =2a ，短轴长 =2b焦距： 2c准线方程： x，cce 1)焦点： (c,0)(c,0) 或 (0,c)(0, c) .离心率： e(0a二、双曲线1、定义：若 F1，F2 是两定点， PF1PF22a F1F2（ a 为常数），则动点 P 的轨迹是双曲线。2. 性质x 2y 21(a0, b0)y2x 21 (a 0, b 0)（1）方程： a 2b 2a 2b 2实轴长 = 2a ，虚轴长 =2b 焦距： 2c准线方程： xa 2c离心率 ec.准线距2a2（两准线的距离）；通径2b 2.aca参数关系 c2a 2b 2

21、 , ec.a（2）若双曲线方程为 x2y 21渐近线方程： yb xa2b 2a等轴双曲线：双曲线x2y 2a2称为等轴双曲线，其渐近线方程为yx ，离心率 e2 .三、抛物线1. 定义：到定点 F 与定直线 l 的距离相等的点的轨迹是抛物线。即：到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离之比是常数 e（e=1）。2. 图形：3. 性质：方程：y 22 px, ( p 0), p焦参数 （焦点到准线的距离）；焦点：( p ,0) ，通径 AB2p ；211/17准线： xp；离心率 e 12第九章 - 立体几何一、判定两线平行的方法1、 平行于同一直线的两条直线互相平行2、 垂直于同一平面的两

22、条直线互相平行3、 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行4、 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行二判定线面平行的方法a) 据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点b) 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行c) 两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面d) 平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面e) 平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面三、判定面面平行的方法由定义知：“两平行平面没有公共点”。由定义推得：“两个平面平行，其中

23、一个平面内的直线必平行于另一个平面。两个平面平行的性质定理：“如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行”。一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。夹在两个平行平面间的平行线段相等。经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。四、面面平行的性质1、两平行平面没有公共点2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行4、 垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面五、判定线面垂直的方法1、定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直2、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直3、

24、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面4、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面5、如果两个平面垂直， 那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面六、判定两线垂直的方法12/171、定义：成 90 角2、直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直3、一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直七、判定面面垂直的方法1、定义：两面成直二面角 , 则两面垂直2、一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面八、面面垂直的性质1、二面角的平面角为 902、在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面3、相交平面同垂直于第

25、三个平面，则交线垂直于第三个平面九、各种角的范围1 、异面直线所成的角的取值范围是： 0900 ,902、直线与平面所成的角的取值范围是：0900 ,903、斜线与平面所成的角的取值范围是：0900 ,904 、二面角的大小用它的平面角来度量；取值范围是：01800 ,180十、面积和体积1. s直棱柱侧 chs斜棱柱侧cl c为直截面周长s圆柱侧cl2 rh2 、 s正棱锥侧1 chs圆锥侧1clrl223、球的表面积公式：S4 R2 . 球的体积公式： V球4 R3.34、圆柱体积： V圆柱r 2hsh（ r 为半径， h 为高）圆锥体积： V圆锥1r 2h1 sh（ r 为半径， h为高

26、）33锥体体积： V棱锥1 sh（ S 为底面积， h 为高）35、面积比是相似比的平方，体积比是相似比的立方第十章 - 概率与统计1.必然事件 P(A)=1，不可能事件 P(A)=0，随机事件的定义 0<P(A)<1 。两条基本性质pi0(i1,2,12) ； P +P+=1。13/17m2. 等可能事件的概率：（古典概率） P(A)= n 理解这里 m、的意义。3. 总体分布的估计：用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法，一般地，样本容量越大，这种估计就越精确，要求能画出频率分布表和频率分布直方图；（1）平均数设数据 x1 , x2 , x3 ,， xn ，则x1(

27、xx2x)n1n（2）方差：衡量数据波动大小S21x12xnx2nx（ xix 较小）S2-标准差4. 了解三种抽样的意义（ 1）简单随机抽样：设一个总体的个数为 N。如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样。实现简单随机抽样，常用抽签法和随机数表法。（ 2）系统抽样：当总体中的个数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取 1 个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样（也称为机械抽样）。系统抽样的步骤可概括为：（ 1）将总体中的个体编号；（ 2）将整个的编号进行分段；（ 3）确定起始的个体

28、编号；（ 4）抽取样本。（ 3）分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分成的各部分叫做层。第十一章导 数1. 导数的几何意义：函数 yf ( x) 在点 x0 处的导数的几何意义就是曲线yf (x) 在点( x0 , f ( x) 处的切线的斜率， 也就是说，曲线 yf ( x) 在点P( x0 , f ( x)处的切线的斜率是 f ' ( x0 ) ，切线方程为 yy0f ' ( x)( xx0 ).2. 基本初等函数的导数公式与运算法则 C '0； ( xn ) 'nxn 1；(sin x) 'cos x ； (cos x) 'sin x ； (a x )'a x