北师大初二数学上册勾股定理学习教案

1、会计学1北师大初二数学北师大初二数学(shxu)上册勾股定理上册勾股定理第一页，共44页。 第一节第一节 探索探索(tn su)(tn su)勾股定理勾股定理你知道毕达哥拉斯想到你知道毕达哥拉斯想到(xin do)了什么吗？了什么吗？情境情境(qngjng)引入引入相传两千多年前，古希腊著名的哲学家、数学家毕达哥拉相传两千多年前，古希腊著名的哲学家、数学家毕达哥拉斯去朋友家做客。在宴席上，其他的宾客都在尽情欢乐，只有斯去朋友家做客。在宴席上，其他的宾客都在尽情欢乐，只有毕达哥拉斯却看着朋友家的方砖地发起呆来。原来，朋友家的毕达哥拉斯却看着朋友家的方砖地发起呆来。原来，朋友家的地是用一块块直角三

2、角形形状的砖铺成的，黑白相间，非常美地是用一块块直角三角形形状的砖铺成的，黑白相间，非常美观大方。主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪，就想过去问他观大方。主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪，就想过去问他，谁知，毕达哥拉斯突然恍然大悟的样子，站起来，大笑着跑，谁知，毕达哥拉斯突然恍然大悟的样子，站起来，大笑着跑回家去了。原来，他发现了地砖上的三个正方形存在某种数学回家去了。原来，他发现了地砖上的三个正方形存在某种数学关系。关系。（黑白相间的地砖）（黑白相间的地砖）第1页/共44页第二页，共44页。第2页/共44页第三页，共44页。第3页/共44页第四页，共44页。ABCABC（图中每个小方格代表一个

3、单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）图图1-1图1-2（1）观察图）观察图1-1 正方形正方形A中含有中含有 个小方格，即个小方格，即A的面积的面积(min j)是是 个单位面积个单位面积(min j)。 正方形正方形B的面积的面积(min j)是是 个单位面积个单位面积(min j)。正方形正方形C的面积的面积(min j)是是 个单位面积个单位面积(min j)。99918数格子：数格子： 第4页/共44页第五页，共44页。ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）图图1-1图1-2cS正方形143 3182 分割成若干个直角分割成若干个直角(

4、zhjio)边为整数的边为整数的三角形三角形（单位（单位(dnwi)面积面积）第5页/共44页第六页，共44页。ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）图图1-1图1-2cS正方形216218（单位（单位(dnwi)面积面积）把把C看成边长为看成边长为6的正的正方形面积方形面积(min j)的的一半一半第6页/共44页第七页，共44页。（A的面积(min j)B的面积(min j)C的面积(min j)） （A的面积(min j)B的面积(min j)C的面积(min j)）第7页/共44页第八页，共44页。“割割”“补补”“拼拼”方法方法(fngf)一

5、一：方法方法(fngf)二二：方法方法(fngf)三三：分分割割为四个直角为四个直角三角形和一个小三角形和一个小正方形正方形补补成大正方形，成大正方形，用大正方形的面用大正方形的面积减去四个直角积减去四个直角三角形的面积三角形的面积将几个小块将几个小块拼拼成一成一个正方形，如图个正方形，如图中两块红色（或中两块红色（或绿色）可拼成一绿色）可拼成一个小正方形个小正方形正方形C的面积该怎么求？第8页/共44页第九页，共44页。直角三角形两直角边的平方和等于直角三角形两直角边的平方和等于(dngy)(dngy)斜斜边的平方边的平方第9页/共44页第十页，共44页。如果(rgu)直角三角形两直角边长分

6、别为a，b，斜边长为 c ，那么即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 222cba 勾股定理勾股定理(u dn l) （gou-gu theorem）第10页/共44页第十一页，共44页。第11页/共44页第十二页，共44页。简单简单(jindn)应用应用 例例 如图所示，一棵大树在一次强烈台风中如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面于离地面9米处折断米处折断(sh dun)倒下，树顶落倒下，树顶落在离树根在离树根12米处米处. 大树在折断大树在折断(sh dun)之前之前高多少米？高多少米？解：设大树在折断解：设大树在折断(sh dun)之前高之前高为为xm,由勾股定理得：由勾股

7、定理得： (x-9)2=92+122 解得：解得：x=24 答：大树在折断答：大树在折断(sh dun)之前高为之前高为24米。米。第12页/共44页第十三页，共44页。巩固练习：巩固练习：（口答）求下列图形中未知正方形的面积（口答）求下列图形中未知正方形的面积(min j)(min j)或未知边的长度：或未知边的长度： 已知直角三角形两边已知直角三角形两边(lingbin)，求第三边求第三边.第13页/共44页第十四页，共44页。生活中的应用：生活中的应用：小明妈妈买了一部小明妈妈买了一部(y b)29(y b)29英寸（英寸（7474厘厘米）的电视机米）的电视机. . 小明量了电视机的屏幕

8、后，发小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有现屏幕只有5858厘米长和厘米长和4646厘米宽，他觉得一定厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了是售货员搞错了. . 你同意他的想法吗？你能解你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？释这是为什么吗？ 我们通常所说的我们通常所说的29英寸或英寸或74厘米的电视机，是指其荧厘米的电视机，是指其荧屏对角线的长度屏对角线的长度27454762258465480售货员没搞错售货员没搞错荧屏对角线大约荧屏对角线大约(dyu)为为74厘米厘米第14页/共44页第十五页，共44页。生活(shnghu)中勾股定理的应用ABOCD第15页/共44页第十六页，共44页。生活(s

9、hnghu)中勾股定理的应用210 2. 2.有一个水池，水面是一个边长为有一个水池，水面是一个边长为1010尺的正方尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面面1 1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端端(dngdun)(dngdun)恰好到达岸边的水面，请问这个水恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？池的深度和这根芦苇的长度各是多少？ 解：解：设水深为设水深为X X尺，则尺，则 芦苇长为（芦苇长为（X X1 1）尺，）尺， 由由勾股定理得：勾股定理得： （X X1 1）2

10、 2X2X2（ ）2 2 解解得得X X1212 X X1 11313答：水池的深度为答：水池的深度为1212尺，芦苇长为尺，芦苇长为1313尺。尺。210第16页/共44页第十七页，共44页。第17页/共44页第十八页，共44页。 毕达哥拉斯 第18页/共44页第十九页，共44页。 周髀算经第19页/共44页第二十页，共44页。 有不同的拼法有不同的拼法吗吗？ 第20页/共44页第二十一页，共44页。aaaabbbbcccc22)(421baabc a+b =c 验证验证(ynzhng)方法一方法一图图 1你还能用图你还能用图2进行验证吗？进行验证吗？ 方法小结：我们利用拼图的方法，将形的问

11、题方法小结：我们利用拼图的方法，将形的问题(wnt)与数的问题与数的问题(wnt)结合起来，再进行整式运结合起来，再进行整式运算，从理论上验证了勾股定理算，从理论上验证了勾股定理. 第21页/共44页第二十二页，共44页。据传是当年据传是当年(dngnin)(dngnin)毕达哥拉斯发现勾股定理时做毕达哥拉斯发现勾股定理时做出的证明。出的证明。 将将4个全等的直角三角形拼成边长个全等的直角三角形拼成边长为为(ab)的正方形的正方形ABCD，使中间留下，使中间留下边长边长c的一个正方形洞画出正方形的一个正方形洞画出正方形ABCD移动三角形至图移动三角形至图2所示的位置所示的位置中，于是留下了边长

12、分别为中，于是留下了边长分别为a与与b的两个的两个(lin )正方形洞则图正方形洞则图1和图和图2中的白中的白色部分面积必定相等，所以色部分面积必定相等，所以c2=a2+b2图图1图图2第22页/共44页第二十三页，共44页。cab a22)(421cabab a+b =c 你还有其他的方法吗？下来你还有其他的方法吗？下来继续研究喔！继续研究喔！图图 3第23页/共44页第二十四页，共44页。验证方法验证方法(fngf)三三美国第二十任总统伽菲尔德的证法：美国第二十任总统伽菲尔德的证法：bcabcaABCD如图，梯形由三个直角三角形组合而成如图，梯形由三个直角三角形组合而成，利用，利用(lyn

13、g)(lyng)面积公式，列出代数关面积公式，列出代数关系式系式, ,得得化简化简, ,得得2111()()2.222ab baabc 222.abc第24页/共44页第二十五页，共44页。其他验证法：勾股定理的无字证明其他验证法：勾股定理的无字证明以刘徽的以刘徽的“青朱出入图青朱出入图”为代表，证明为代表，证明不需用任何数学符号和文字，更不需进不需用任何数学符号和文字，更不需进行运算，隐含在图中的勾股定理便清晰行运算，隐含在图中的勾股定理便清晰地呈现，整个证明单靠移动几块图形地呈现，整个证明单靠移动几块图形(txng)(txng)而得出，被称为而得出，被称为“无字证明无字证明”。 约公元约公

14、元 263 年，三国时代魏国的数学家刘年，三国时代魏国的数学家刘徽为古籍九章算术徽为古籍九章算术(ji zhn sun sh)作注释时，用作注释时，用“出入相补法出入相补法”证明了勾股证明了勾股定理。定理。 第25页/共44页第二十六页，共44页。 做法是将一条垂直线和一条水平做法是将一条垂直线和一条水平线，将较大线，将较大(jio d)直角边的正方形分直角边的正方形分成成 4 分。之后依照图中的颜色分。之后依照图中的颜色,将两个将两个直角边的正方形填入斜边正方形之中直角边的正方形填入斜边正方形之中，便可完成定理的证明。，便可完成定理的证明。其他验证法：勾股定理的拼图证明其他验证法：勾股定理的

15、拼图证明在印度、在阿拉伯世界和欧洲出现在印度、在阿拉伯世界和欧洲出现(chxin)(chxin)的一种拼图证明的一种拼图证明第26页/共44页第二十七页，共44页。第27页/共44页第二十八页，共44页。同学你知道古埃及人用什么方法得到直角同学你知道古埃及人用什么方法得到直角?古埃及人曾用下面的方法古埃及人曾用下面的方法(fngf)得到直角得到直角:用用13个等距的结个等距的结,把一根绳子分成等长的把一根绳子分成等长的12段段,一个一个(y )工匠同时握住工匠同时握住绳子的第绳子的第1个结和第个结和第13个结个结,两个助手分别握住第两个助手分别握住第4个结和第个结和第8个结个结,拉紧绳子就得到

16、一个拉紧绳子就得到一个(y )直角三角形直角三角形, 其直角在第其直角在第4个结处个结处.想一想：这个方法得到的是直角三角形吗？是不是只有勾三股四弦五想一想：这个方法得到的是直角三角形吗？是不是只有勾三股四弦五才能得到直角三角形呢？才能得到直角三角形呢？第28页/共44页第二十九页，共44页。第29页/共44页第三十页，共44页。1.如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2， DF=1， 图中有几个直角三角形，你是如何(rh)判断的？4 41 12 22 24 43 3易知易知: :ABEABE，DEFDEF，FCBFCB均为均为RtRt 由勾股定理由勾股定理(u dn l)(u dn l

17、)知知 BE2=22+42=20 BE2=22+42=20，EF2=22+12=5EF2=22+12=5， BF2=32+42=25 BF2=32+42=25 BE2+EF2=BF2 BE2+EF2=BF2 BEFBEF是是Rt Rt 第30页/共44页第三十一页，共44页。如图所示的一块地，已知如图所示的一块地，已知AD=4m，CD=3m， ADDC，AB=13m，BC=12m，求这块，求这块(zh kui)地的面积地的面积.A DCB解：连接AC ADDC AC=AD2+DC2=42+32=5 AC2+BC2=AB2 ACBC答：这块(zh kui)地的面积是24m2.224)43125(

18、212121mDCADACBCSSSADCABC第31页/共44页第三十二页，共44页。如图，如图，E E、F F分别是正方形分别是正方形ABCDABCD中中BCBC和和CDCD边上的边上的点，且点，且AB=4AB=4，CE= BCCE= BC，F F为为CDCD的中点，连接的中点，连接AFAF、AEAE，问，问AEFAEF是什么三角形？请说明是什么三角形？请说明(shumng)(shumng)理由理由. . 41FEACBD第32页/共44页第三十三页，共44页。如图，已知等腰如图，已知等腰ABC的底边的底边(d bin)BC=20cm，D是腰是腰AB上一点，且上一点，且CD=16cm，BD

19、=12cm，求求ABC的周长的周长.DB CA第33页/共44页第三十四页，共44页。第34页/共44页第三十五页，共44页。BA 蚂蚁怎么走最近蚂蚁怎么走最近? 在一个圆柱石凳上，若小明在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在在吃东西时留下了一点食物在B处处，恰好一只在，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从一信息，于是它想从A 处爬向处爬向B处处，你们想一想，蚂蚁怎么，你们想一想，蚂蚁怎么(zn me)走最近？走最近？第35页/共44页第三十六页，共44页。ABABAArOh怎样怎样(znyng)计算计算AB？在在RtRtAABAAB中，利用中，利用(ly

20、ng)(lyng)勾股定理可得勾股定理可得，222BAAAAB侧面侧面(cmin)展开图展开图其中其中AA是圆柱体的高是圆柱体的高,AB是底面圆周长的一半是底面圆周长的一半(r)第36页/共44页第三十七页，共44页。小试牛刀小试牛刀练习练习(linx)1练习练习(linx)2 1如图，台阶如图，台阶A处的蚂蚁要处的蚂蚁要爬到爬到B处搬运食物，它怎么处搬运食物，它怎么(zn me)走最近？并求出最近距离。走最近？并求出最近距离。第37页/共44页第三十八页，共44页。小试牛刀小试牛刀练习练习(linx)1练习练习(linx)2 2有一个有一个(y )高为高为1.5米，半径是米，半径是1米的圆米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5米，问米，问这根铁棒有多长？这根铁棒有多长？你能画出示意图你能画出示意图吗吗? ?解解:设伸入油桶中的长度为设伸入油桶中的长度为x x 米米,则最长时则最长时:5 . 225 . 1222xx最短时最短时:最长是最长是2.5+0.5=3(米米)5 . 1x答答:这根铁棒的长应在这根铁棒的长应在23米之间米之间最短是最短是1.5+0.5=2(米米)第38页/共44页第三十九页，共4