2020年北京市中考二模数学试题分类汇编：解析

1、1 .(西城3).焦点在x轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为 4的抛物线的标准方程是2 .2.2-2 八(A) x 4y ( B) y 4x ( C) x 8y ( D) y 8x答案D2.(西城6)圆x6.(昌平7)已知点P是双曲线C:x2 y- 1的一条渐近线y kx(k 0)上一点，F是双曲线C的右焦点，若OPF的面积为5,则点P的横坐标为(A)店(B)后(C) 2而(D) 275答案A7.(昌平13)已知点M在抛物线y2 4x上，若以点M为圆心的圆与x轴和其准线l都相切，则点 M到其顶点O y2 4x 2y 1 0截x轴所得弦的长度等于(A)2( B)2,3( C)2、.5( D)4答

2、案B223 .(西城14).能说明“若m ( n +2)w0,则方程- -y 1表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组m , n的值m n 2是.答案答案不唯一.如m 的距离为., n 14 .(海淀3)若抛物线y2 12x的焦点为F，点P在此抛物线上且横坐标为 3,则|PF|等于(A) 4(B) 6(C) 8(D) 10答案B5 (海淀12)已知双曲线E的一条渐近线方程为 y x,且焦距大于4,则双曲线E的标准方程可以为 .(写 出一个即可)22J L 1答案了 了 1答案58.(密云5)2x.已知双曲线一 a1(a 0)的一条渐近线方程为x2y 0,则其离心率为.5A. TbT15D.42

3、一 29.(密右7)已知圆C : x (y 1)点P的个数为A. 1 B. 2C. 32 ,若点P在圆C上，并且点P到直线yx的距离为,则满足条件的2D. 4答案3210.(东城4)双曲线C:x24 ,那么双曲线C的离心率为)1的渐近线与直线x 1交于A,B两点，且AB b(A)2(B) '一 3(C) 2(D) 5211.(丰台6)已知抛物线 M :x2 2py(p 0)的焦点与双曲线 N : x2 1的一个焦点重合，则 p 3(A)质(B) 2(C) 272(D) 4答案D2212.(丰台13)双曲线M :与 1(a 0,b 0)的离心率为 V3,则其渐近线方程为 . a b答案y

4、 .2x22_13.(房山4)若双曲线与 当 1 (a 0,b 0)的一条渐近线经过点(1,而)，则该双曲线的离心率为 a b(A)亚(B)任(C) 2(D) 45答案C2214.(房山12)右直线x 3与圆x y 2x a 0相切，则a .215.(房山13)已知抛物线C：y2 2x的焦点为F ,点M在抛物线C上，|MF | 1,则点M的横坐标是 , MOF (O为坐标原点)的面积为 .圆心在直线x y 0上且与y轴相切于点(0, 1)的圆的方程是 22, _、221)(y1)1(B)(x 1)(y1)122221)2(y1)22(D)(x 1)2(y1)2216.(朝阳(A)(C)4)(x

5、(x答案A17 .(朝阳5)直线l过抛物线y22x的焦点F ,且l与该抛物线交于不同的两点A(x1,y1), B(x2,y2).若x1x23,则弦AB的长是(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 8答案A18 .(朝阳14)已知双曲线C的焦点为Fi(0,2) , F2(0, 2),实轴长为2,则双曲线C的离心率是;若点Q是双曲线C的渐近线上一点，且 FQ F2Q ,则QF1F2的面积为19 .(西城 20)巳知楠圆E：4+1 = 1经过点 m 5 离心率为堂,。为坐标原点.(I)求椭圆E的方程：( 11)设分别为椭圆H的左、右项点，D为椭圆E上一点(不在坐标轴上3直线口i"交1轴

6、于点Q为5线h 点.且。，I,求证£3, Q三点共线.答案解：(I)由题意，得b 1, c Y3. 2分a 2又因为a2 b2 c2 , 3分所以a 2, c石.2故椭圆E的方程为 一y2 1. 5分4(n) A( 2,0) , B(2,0).2设 D(x0,y0)(x0yo 0),则闻 y2 1. 6 分4一 y0 1/、Xo所以直线cd的方程为y x 1, 7分x0令y 0 ,得点P的坐标为(,0). 8分1 V。ULur uuu4(1y0)设 Q(Xq,Vq),由 OP OQ 4,得 Xq -_(显然 Xq2).9 分Xo,、一y。直线AD的万程为y (x 2), 10分xo

7、2y0(4 4y0 2x0)4(1 y°) y°(4 4y0 2x0)将 xQ 代入，得 Vq ,即 Q(,) .X0(X0 2)X0X0(X0 2)11分故直线BQ的斜率存在，且kBQVqy0(4 4 y0 2X0)Xq 2(%2)(4 4y0 2%)12分22y0 2y0 X0V0-2«'4 X0 2x0 y0 4y02,13分14分2y02y0X0 y012"二.4y02x0 y04y02，1又因为直线BC的斜率kBc2所以kBC kBQ ,即C, B,Q二点共线.20.(海淀 19)已知椭圆W：1 * 1 (a b 0)过A(0,1),

8、B(0, 1)两点，离心率为 .a b2(I)求椭圆W的方程；(n)过点A的直线l与椭圆W的另一个交点为 C ,直线l交直线y 2于点M ,记直线BC , BM的斜率分别为k1 ,k2,求kk的值.答案b 1,g.一 c 3解：(I)由题意，-,a 22,22a b c .a解得b2, 1.(n)由题意，直线1不与坐标轴垂直设直线l的方程为：y kx 1 ( k 0).2_1)x 8kx 0.y kx 1,2由 2 ，2，得(4kx 4y4.设 C(X, %),因为 xi 0 ,所以xi得 y1 k% 1k 4k8k1 4k 4k28k 4k22即C(£1 4k4k22彳).24k又

9、因为B(0,1),所以k14k2 18k-"4k2114k所以点kx2.1，/曰得1 k 2.M的坐标为1 (k，2).所以k22 1 3k1k所以k1k2 3k4k21.(昌平19)(本小题15分)22已知椭圆M : x- y- 1(aa2 b20)的离心率为 至,椭圆M与y轴交于A,B两点(A在下方)，且|AB| 4 .过5点G(0,1)的直线l与椭圆M交于C,D两点(不与A重合).(I)求椭圆M的方程;(n )证明：直线 AC的斜率与直线AD的斜率乘积为定值.答案a解：(i)由题意得 2b2a分54,b2解得2c ,、5,2,1.分.5即椭圆的方程为(H)法由题意，直线l的斜率

10、存在.当k 0时，直线l的方程为1.代入椭圆方程有x-152则C( 4,1)2(3,1).所以kAC2 1.而, kAD-15所以kAC kAD12分.8当k 0时，则直线1的方程为y kx 1,由x25,得(4 5k2)x2110kx 15 0.分.9设 C(xi, %)D(X2, y2),则 x1x210k4k?,X1x2154 5k2又 A(0,2)所以kACy1XikAD北分11因为kACkAD上X22 y2 2(kx1 3)(kx23)XiX2型2,2k x1x2 3k (x1 x2) 9k2取23k(x X2)X1X210k 、c3k(2 ) 9k24 5k154 5k2k2230

11、 k 361545k2125即直线AC的斜率与直线 AD的斜率乘积为定值.15设直线l的斜率为k ,则直线l的方程为y kx 1.kx 1,2y4,得(4 5k2)x2 10kx 15 0.1分.7设 C(', y1)D®, V2)，则 XiX210k4 5k2,X1x2154 5k2又 A(0, 2),夕9分11y12,y2 2所以 kAC , kAD XiX2yi 2 y2 2(kx1 3)(% 3)kAC kAD gXiX2X1X22k X1X2 3k(X1x2) 92 3k (xx2) 9 _-k-XiX2X1X23k(10-) 9k24 5k2,154 5k2k22

12、230k2 36 45k215127即直线AC的斜率与直线 AD的斜率乘积为定值.15422.（密云19）已知椭圆C.5+ %=1（0匕 0）过点p（1 1）,设它的左、右焦点分别为 H B ,左顶点为2式，上顶点为且满足国| = 防加. 6（I）求椭圆C的标准方程和离心率；，、一- 6（n）过点Q（ 一,0）作不与下轴垂直的直线/交椭圆。于N （异于点月）两点，试判断NAf月界的大小是否为定 5值，并说明理由.答案12 1, a2 4b2(I)解：根据题意得.a2 b2 5 2G6222a b c .(n)a解得b所以椭圆2,1, 3.C的方程为2y2 1,离心率e4解：方法一因为直线/不与

13、F轴垂直，所以直线设直线/的方程为:x联立方程2 Xty316x ty 二，56,5化简得（t21.6显然点Q( -,0)在椭圆C的内部，所以 0.5设 M(x1,y1), N(x2,y2),则 yy212t5(t2 4)又因为A( 2,0),所以yy2uuuu AMUUUU UULT所以 AM gAN (x1 2)(x264225(t2 4)UUIT (x1 2,y. AN2) V1V2(x22, y2) ,uuuu 所以AM方法二y26 一 5 y 1一2r22 y 6一5 X/VALX24 一 5 p 佻 6 一 5 w11t' t'(t21)(6425(t2 4) I&

14、#39;=0 UUIT AN ,即 MAN90o是定值.12t25(t2 4)1625(1)当直线，垂直于x轴时 6解得M与N的坐标为(-,5由点A( 2,0),易证 MAN(2)当直线，斜率存在时45)90°.设直线/的方程为:y k(x3, k 0., 5y联立方程2x4k(x65),25化简得(1 4k2)x1.48 k2x52_4(36k25)25 _6一显然点Q( 2,0)在椭圆C的内部，所以50.设 M (xi, yi)则 x1x2N(x2, y2),48k2T，取25(1 4k2)4(36k225)25(1 4k2)又因为A(uuuu2,0),所以 AMuuiT(x1

15、2,%), AN(X22, y2) uuuu ULUT所以 AM gAN(x12)(X22)V1V2(Xi2)(X22)(k21)x1x2(2一6、，k(x1)k(x256 2-k2)(x1 x2)55)(k21)24(36k25)(2 fk2)52 36k22548k236k225=0 uuuuuuiT所以AM AN ,即MAN 900是定值.25(1 4k2)5(1 4k2)2X23.(东城19)已知椭圆C:-2 ay23、1(a b 0)的一个顶点坐标为 A(0, 1),离心率为 b2(I)求椭圆C的方程；(n)若直线 y k(X 1)(k不在以AB为直径的圆上.0)与椭圆C交于不同的两

16、点P, Q,线段PQ的中点为M，点B(1,0),求证：点M答案b2(I)解:由题意可知21,解得2,1,3,所以椭圆C的方程为y2 1-(n)证明:设 P(x,y1),Q(x2,y2)M(X0, y(0 .k(x1, 得(4k2+1)X2 8k2X1),4k2 4所以(8k2)2 4(4k21)(4k24)48k216.所以当k为任何实数时,都有0.所以X1X28k24k2 1X1X24k2 44k2+1因为线段PQ的中点为M所以XoX12X24k24k2yo k(Xo1)k4k2 1因为B(1,0)所以uuirAM(X0, V。1)uuuBM (X019) 所以uuirAMuuirBMX0(

17、X01) Vo(v。21)=X02XV0V0)24k24k2 1()2 (4k2 1k4k2 1=4k3 3k2 k一 (4k2 1)22k(4k2 3k 1)(4k2 D23 27k4(k )2 =816(4k2 1)2.一一3 27又因为 k 0, 4(k -)2 一 0 ,816uuir uuur所以AM BM 0,14分所以点M不在以AB为直径的圆上.22x y24.(丰台20)已知椭圆C:二 2r 1(a b 0)经过A(1,0), B(0,b)两点.O为坐标原点，且 AOB的面积 a b12为J过点P(0,1)且斜率为k(k 0) 4交于点S , T .(I)求椭圆C的方程；(n)

18、求直线l的斜率k的取值范围；uiruuu uuuuuur(出)设 PSPO, PTPO,求答案22解：(I )因为椭圆C :二 J a2 b2所以a21解得a 1，一2由 AOB的面积为4解得b -2 ,2所以椭圆C的方程为x2(n )设直线l的方程为y kx的直线l与椭圆C有两个不同的交点的取值范围1经过点A(1,0),可知，1ab -2 , 2422y2 1 .1, M (X1, y1)，N (X2, y2).M, N,且直线AM , AN分别与y轴2 一 2消y整理可得：(2 k2，、2,，1)x 4kx 1x 2y 1联乂,y kx 1因为直线与椭圆有两个不同的交点, 所以 16k2

19、4(2k2 1) 0,解得 k27分因为k 0,所以k的取值范围是（正，）,2(出)因为 A(10),P(0,1)M (xi,y)N (X2,y2),所以直线AM的方程是：yy1/八-x1).令X 0,解得yV1X11所以点S的坐标为(0,).x1 1同理可得：点T的坐标为（0,X2I"uir所以PS(0,y x1 1uuu1), PT(0,y2X2uuu- 1), PO (0, 1). 1由PSPO,PTPO,可得:二1X1 1V2x2 1所以y1X11埠1.x1 1同理kX2 1由(H所以X2X2kx14k2，X 1 x22k2 1122k2 1X11kX9 122x2 12 k

20、X1 x2(1k)( X1X2)X1 X2X1x21所以4k2k (1 k)( ) 22k 12k 1214k( -)2k 1 2k 1一2 一一 22k 4k 4k2 2(2k2 1)1(k 1)2(k 1)1k 14k 2k2 12g的范围是(J2,2).14分25.(房山19)已知椭圆C的两个顶点分别为 A( 2,0),一一 1B(2,0),焦点在x轴上，离心率为 -(I)求椭圆C的方程;(n)设O为原点，点P在椭圆C上，点Q和点P关于x轴对称，直线AP与直线BQ交于点M ,求证:P , M两点的横坐标之积等于 4,并求OM的取值范围.答案(I)设椭圆C的方程为A 1(a b 0).a2

21、 b2c 1依题意，a 2, c 1. a 2得 c 1 , b2 a2 c23.22所以，椭圆C的方程为1.43(n)依题意，可设 P(m,n) ( 2m 2且 m 0 ),则 Q(m, n).22点P在椭圆C上，则m- 1, 43AP的斜率为k1,直线AP方程为y (x 2),m 2m 2BQ的斜率为k1 ,直线BQ的方程为y (x 2).m 2m 2y设 M(x,y),由ynrni(x(x2)2)所以,26.(I)(D)答案所以OMm ,所以M的坐标为 2nM的横坐标之积等于2'422nOM的取值范围是(朝阳19)已知椭圆求椭圆C的方程;已知过点2,(上在).m m2 y b21

22、(a b0)的离心率为且椭圆C经过点(1P(4,0)的直线l与椭圆C交于不同的两点Auuu,与直线 x 1交于点 Q ,设APLLUPB ,uuiruuuAQ QB(,R),求证:为定值.(19)(本小题14分)22b c ,6 2解:(I )由题意可知工b2J2 ,所以椭圆C的方程为(n)由题意可知，直线 l的斜率存在，设直线l的方程为yk(x4).y k(xx 11,所以 Q(1, 3k).3k.k(x2y24),得422(kx 4k)2 4.整理得_ 22(1 2k )x_ 22_16k x (32k4) 0.由-k2)2 4(1 2k2)(32k2 4) °,得 T k 9设

23、直线l与椭圆C的交点A(x1 ,y1) , B(x2, y2),则 x1x216k21 2k2X1X232 k2 41 2k2uuu 因为APuuu uuurPB , AQuuu uuuuuuQB 且 AP (4 Xi, yi), PB (X2 4")，uuurAQ (1 x1, 3kuuury3 QB 他 1,y2 3k),所以4 x11 x1(4 为)仁 1) (1 为) 4)x2 4x2 1(x2 4)(x2 1)5(x1 x2) 2x1x2 8% 4)(x2 1)因为 5(* x2) 2x1x2 8 516k21 2k22c 32k42 r1 2k22_280k64k8一 一 一 28 8 16k1 2k20,所以 0. 14分 27.(顺义4)抛物线y2=4x上的点与其焦点的最短距离为， 1(A) 4(B) 2(C) 1(D)21:3的两段弧，则实数 a的所有可能取28.(顺义14)若直线|：y x a将圆C：x2 y2 1的圆周分成长度之比为值是.答案a 139的距离之和等于5的点的轨迹，给出下列三个结论:23 一 29. (15)曲线C是平面内到定点 F(；2,