飞行器的运动方程0901

1、第三章飞行器的运动方程3.1刚体动力学方程的推导1. 刚体飞行器运动的假设1）认为飞行器不仅是刚体，而且质量是常数；2）假设地面为惯性参考系，即假设地面坐标为惯性坐标；3）忽略地面曲率，视地面为平面；4）假设重力加速度不随飞行高度而变化；5） 假设机体坐标系的x-o-z平面为飞行器对称平面，且飞行器不仅几何外形对称，而且内部质量分布亦对称，惯性积Ixy=Izy=。2. 旋转坐标系中向量的导数设活动坐标系OXbybZb具有角速度£ （见图3.1-1）。向量S在此坐标系中的分量为p,q, r ,即-pi qj rk(3.1-1)其中i、j、k是xb >yb、Zb轴的单位向量。ZbX

2、byb图 3.1-1设有一个可变的向量a（t），它在此坐标系中的分量为ax,ay,az,即 a =axi +ay j +azk（3.1-2）由上式求向量a（t）对时问t的导数:dadax. daydazdidj=i j k ax ay az 丑（3.1-3） dt从理论力学知，当一个刚体绕定点以角速度£旋转时，刚体上任何一点Pdtdt dtdtdtdt的速度为dr一、一 =0乂（3.1-4）dt其中是从。点到P点的向径。现在，把单位向量i看作是活动坐标系中一点P的向径，丁是可得:di=-idt同理可得:也= jdtdkk （3.1-7） dt将式（3.1-5 ）、（3.1-6 ）及（

3、3.1-7 ）代入式（3.1-3 ）中，可得:dt dt dtdaz 一 - 一 _-j k （axiay j azk）dt（3.1-8 ）或写为：da a= adt t（3.1-9 ）其中*=i .也 t dt dtj匝kdt称为在活动坐标系中的者所看到的向量a的变化率。而“相对导数”，相当丁站在此活动坐标系中的观察曲则称为“绝对导数”，相当丁站在固定坐标系 dta中的观察者所看到的向量a的变化率。例如，若a是某点的向径，贝U ；代表该 t点的相对速度（相对丁动坐标系），而 也则代表该点的绝对速度。dt3. 在机体坐标系（活动坐标系）中刚体飞行器质心动力学方程由牛顿第二定律得: .一 d&#

4、163;F =# (mV) |i (3.1-10 )式中：F 外力m物体的质量V物体的速度|i 表示相对丁惯性坐标系在图3.1-2中，考察飞机上的一个质量元6m图3.1-2飞机上的质量元列出牛顿第二定律方程dV &F =6m(3.1-11 )dt式中：6F 作用在质量元上的外力V质量元相对惯性坐标系的速度作用在飞机上总的外力是这些微元的和，即W8F=F(3.1-12)质量元的速度为dr,、V=Vc+(3.1-13)dt式中：Vc飞机的质心的速度;咀一一微元相对丁质心的速度。dt将式（3.1-13）代入式（3.1-11）,两边求和得:一 - d 一dr一3.1-14 ）可改写为£

5、; 3F = F =二（Vc + ）8m （3.1-14 ） dtdt假设飞机的质量是常数，式（(3.1-15 )ldVcd 寸 drF = m -mdt dt dtF=mdVc£r、mdt dt(3.1-16 )由丁是从质心度量，所以和式£F5m = 0。式（3.1-16）简化为f" dt(3.1-17 )这个方程把作用在飞机上的外力和飞机质心的运动联系起来由式（3.1-9 ）得dVc,、F = m |B +m仲 xVc）（3.1-18 ）dtF,V,。用机体坐标系上的分量表示为F =Fxi +Fyj +Fzk(3.1-19 )£= pi +qj +r

6、k(3.1-20 )Vc =ui +vj +wk(3.1-21 )则有：rFx = m(u 十qw rv)Fy =m(v +ru - pw) *(3.1-22 )Fz =m( w + pv qu),这就是在机体坐标系(活动坐标系)下刚体飞行器质心动力学方程。4. 在机体坐标系（活动坐标系）中刚体飞行器绕质心转动的力矩方程。由牛顿第二定律得：-d，、£M = H |i(3.1-23 )dt式中：M外力矩H物体的动量矩(角动量)|i 表示相对丁惯性坐标系用类似方法。对丁质量微元的，力矩方程可以写为ddOM =5H = (r xV冷m (3.1-24) dtdt质量微元的速度可以用质心的速

7、度和质量元相对丁质心的速度表达，即drV =Vc 十石=Vc + 与 r (3.1-25 )总的动量矩可以写作H ='、H =，r V)、m='r (Vc ,，r)、m_ - 一 (3.1-26)=' (r Vc) m ' r ( r )、m速度VC对丁求和来说是常数，可以拿到求和符号的外面，即H =Z6mxVc +ZK(Sx)5m(3.1-27 )式(3.1-27 )中的第一项为0,因为£5m = 0,前面已经解释过。设F = xi +yj +zk (3.1-28 )将式(3.1-20 )和(3.1-28 )代入(3.1-27 ),得H =p、(y2

8、 z2)、mq ' xy mr、xz mi+ -p WxySm +q W(x2 +z2)&m - rW yz&m j(3.1-29 )_p、xz、m - q、yz m r、(x2 y2 )、mk如果定义Ix=Z(y2+z2)%, y =£xgm, I y =£(x2 + z2)6m(3.1-30)Ixz=Exzdm, Iz =Z(x2 + y2)&m, Iyz=，yz&m(3.1-31 )则有(3.1-33 )(3.1-34 )H x = P1 X -'qI xy - rI xzHy - -pIxy qly -rlHz - -

9、plxz -ql yz rl由式（3-9）得dHM|b n : Hdt设M =L+ M+ Nk (3.1-35 )将式(3-20 )、(3-35)代入式(3-34),则有L = Hx +qHz -rHy、M = Hy + rH x - pHz .(3.1-36 )N =h +pHy -qHx -因为假设xz平面是飞机的对称平面，所以lyz =lxy =0(3.1-37 )将式(3.1-33 )、(3.1-37 )代入(3.1-36 ),得L = lxp lxz'+qr(lz ly) Ixzpq 'M =lyq+rp(lxIz)+lxz(p2r2)(3.1-37)N = lxzp

10、 + lz+ pq(ly lx) + lxzqr3.2飞行器的运动学方程3.2.1飞行器的线运动方程1) 由地面坐标系Sg绕今轴转动偏航角平到过渡坐标系SOx'y'z',转换关系为x'cos'-sin'-0 xgy' = sinW cos甲。|yg(3.2-1 )2) 由过渡坐标系S'-Ox'y'z'绕y'轴转动臼到过渡坐标系S''-Ox'' y''z'',转换关 系为x'' cos0- sin '| x'

11、;y''=010y'(3.2-2 )_sin ecos -3）由过渡坐标系S''_Ox''y''z''绕x''轴转动滚转角8到机体坐标系转换关系y=,z_00 cos0 Tx''l in© y'' -sin 巾 cos© |_z''sin(3.2-3 )Xgdtdygdt dzg 无由地面坐标系Sg到机体坐标系y-x -1y：z一 a-0 cos0 cossin-sin 6 cos© sincos cos'

12、-sin 6 cos? sin。一sin? cos巾kin 臼 cosW cos 8 + sin 甲 sin 8(3.2-4 )由机体坐标系Sb到地面坐标系八gygzg _icos【cos'-sin B cos甲 sin 巾一sin cos©sin e cosW cos 0 + sin sin 巾cos cos'-cos8 sin?-sin 臼对式（3.2-5 ）Sb,转换关系为-sincos'-0cos n-sin'-0sincos'-0OXg01ygZgcos sinsin sin'- sin-cos'- cossin si

13、n'- cos - cos'- sin-sincos sincos coslx：*J?gJ转换关系为cos【sin'-sin sin、sin一 cos'- cossin sin'- cos ' - cos'- sinsincos、sin - sin、cossin sin'- sin cos'- coscos sin(3.2-5 )两边对t求导得:cos cos'-sin cos' sin - sin' cos=cos sin*:-sinsin B sin'，sin coscoscos sin

14、(3.2-6 )- sin【T x cossinin 令 cos。cos©zsin cos、cos'，sin- sin；' |xsin sin'- cos - cos、sincos cossin cos' cossin' sinsi" sin'- cos - cos'- sincos cos一 dxi dtdy与dz_dt 一dXgdtdygcosn cos'-sin ncos-sin sin'-cossin n cos'-cos sin'- sin .' | u|dtdzgco

15、sBsinWsin Bsin平sin。+cos平cos©sinB sin平cos©cosW sinl vsin8cos8sin。cos。cos。w(3.2-7 )由速度坐标系的定义可建立速度坐标系与地轴系问的转换关系： sin? Xgcos sin 土cos V cos H I zgxacos cossin cosygya = "os Z sin 7sin P sin 7 cos N sin 7sin 7sin P + cos' cost1 za Icos Z sin 7cosP+sin/sin H sin Z sin YcosP-cos X sin H(

16、3.2-8 )由速度坐标系的定义可建立速度坐标系与机体轴系间的转换关系：sin ： cos F | x since sin E ycos。z(3.2-9 )xacos ： cos ： sin 诉ya = -cosot si" cosP式(3.2-9 )中的转换矩阵右乘(3.2-4 )的转换矩阵也表示从地轴系向速度 轴系的转换，与式(3.2-8 )中转换矩阵相等，由此可得下列几何关系式。"sin 丫 =cosa cos6 sin。- (sina cos口 cos。+ sin 6 sin6) cossin，cos? = cosa cos 0 sinW cos +sina cos

17、B (co即 sin。+ cos© sin sin 8) sin : (cos' cos sin sin sin')sincos = cos： sin : sin - (sin ： sin : cos - cos ： sin )cos(3.2-10 )3.2.2飞行器的角运动方程角速度分量(p,q,r )与姿态角变化率(色电板)之间的几何关系如图3.2-1所示。图3.2-1角速度分量（p,q,r）与姿态角变化率（1&W）之间的几何关系 飞机三个姿态角变化率的方位如下：版沿OZg轴的向量，向下为正。6 在水平面内与ox轴在水平面内投影线相垂直，向右为正。巾沿ox

18、轴的向量，向前为正。为了得到姿态角变化率与绕机体轴三个角速度间的转换关系，将三个姿态角变化率向机体轴上投影，得p =巾 sin 8q =。cos©+甲 cos。sin 巾.（3.2-11）r = 一。sin 巾十甲 cos cos©PIqj 一一10o0 cos 一 sin-sincos sincosB cos(3.2-12)-5_从式（3.2-12）可以解出姿态角变化率I 1 sin tan t cos tan p0=0 cos©sin 巾 q(3.2-13)幽 0 sinsecH cos© sec。|_r积分这个方程可以求出欧拉角(姿态角)应当指出，

19、e' , *和平"在一般情况下并不是互相垂直的正交向量，但p,q,r却互相垂直的正交，并有切=e+0+W = pi +qj +rk (3.2-14)3.3重力和推力重力通过质心作用在飞机上，由丁机体坐标系固定在质心上所以重力不产生 力矩。它作为外力作用在飞机上，并沿机体坐标轴产生分量。重力沿机体坐标轴的分量为IG x - - m gsinG y = m g cos 8 sin 巾 (3.3-1) G z = m g cos cos推进系统产生的推力可能沿体坐标轴的各方向产生分量。此外，如果推力不 通过质心，也可能产生力矩。图 3.3-1表示推进系统可能产生的力矩的例子图3.3

20、-1推力系统产生的力和力矩作用在机体坐标系的推力和力矩为(Fx) P = XT , (Fy = Yt , (FzJ =Zt(3.3-2)现将飞行器的动力学方程和运动学方程总结如下:力方程:X - mgsin - m(u qw 一 rv) jY+mgcos8 sin 巾=m(V + ru - pw) .(3.3-3)Z +mgcosB sin。= m(w + pv qu)力矩方程：L =IxpIxzF + qr(Iz Iy) IxzPq 、 .，-、，22、M = Iyq+rp(Ix-Iz) + Ixz(p 一)(3.3-4)N = Ixzp + Iz + pq(Iy Ix) +Ixzqr绕质心

21、转动的运动学方程机体角速度用欧拉角和欧拉角速度表示:一pl一 1-00- sin | Icos© cosHsin© 9 sin。coscos© 卜(3.3-5)欧拉角速度用欧拉角和机体角速度表示:一矿1 sin tan0 cos©cos tan-sin(3.3-6)6_0 sinsec cose _r飞行器质心运动的运动学方程dXgdtdygdt dzg 项lose cosWsin 8 cosW sin。一sin甲 cos©sin e cosW cos。+sinW sin© ucosH sin 平sin 0 sinW sin * +

22、cos副 cos*sine sin平 cos* - co即 sin*v:-sin 6cosB sin。cosB cos 巾w_(3.3-7)3.4小扰动原理3.1节导出的方程可以通过小扰动原理进行线性化。在小扰动原理中，需假定飞机的运动只在稳定飞行条件附近具有小的偏离。很明显，这个原理不能用丁 大幅度运动的问题。但是在很多情况下，小扰动原理对丁实际工程能得到足够的 精度动力学方程中的所有变量用一个基准值加上一个偏差或扰动代替，即u=Uo + Au, v=Vo+Av, w=Wo + Aw p = po+Ap, q=q°+Aq, r = r°+Ar «X=Xo+AX,

23、 Y=Y° + AY, Z=Z(o + AZ (3.4-1)M = M0 + AM, N=N(o + AN, L = L(o + AL =、. 0-已-X -mgsin - m(u qw-rv)(3.4-2)把小扰动变量代入上面方程，得 dX -mgsin(弓 .：” =m (uX0 - X mgsin()0. ： ” = m (u0一 、u)(q0q)(w0w)_(r0匚 r)(v0- ： vdtx方向力方程，即(3.4-3)如果忽略扰动量的乘积，并假定w0 = v0 = p0 = q0 = r0 = % =* 0 = 0( 3.4-4)则有X0 +AX -mgsin(80 + A

24、8) = mAu'(3.4-5)因为sin()0w) =sin0cos cos)0sin J彳段设A8比较/、,可以认为cosAH&1,sin A0所以式(3.4-6 )可化为X0 + AX - mg(sin % + A8 cos80) = mAu(3.4-7)如果假定上式中的扰动量为0,得到基准飞行条件为X0-mgsin60=0(3.4-8)用上式代入(3.4-7 ),得X - mgAB cos。= mAu( 3.4-8)其中AX是x方向的空气动力和推力，可以用台劳级数展开如果假定AX只是u,w,6e,8T的函数，则AX可以表示为XX = Au +AwA&e(3.4-9)其中/、兰、马、马为稳定性导数，在基准飞行条件下计算 fu:-w : :-e"t分别为升降舵角度和油门位置的变化。CSVrA/XXu .w.:u；:w将式（3.4-9 ）代入式（3.4-8 ）,得CSVr-X/-X- X(3.4-10)-.：、e . "T - mg.'： cos% = mu提心Lt整理后得,dfX、.(mdT".X ，、- w (mgcos%)* -:wL、.e W-e： T(3.4-11)两边除以质量m