马尔可夫链应用于天气预报

1、马尔可夫链应用于天气预报摘要：在概率论与随机过程课中学习了马尔可夫链，马尔可夫过程因其无后效性、遍历性 和时齐性，在科学研究、天气预测、农业预测、市场预测等方面应用非常广泛。本文通过对 马尔可夫链理论和切普曼-柯尔莫哥洛夫方程的探讨，结合天气因素、降水情况的不确定性和无后效性等诸多特点，构建了基于天气预报的马尔可夫链预测模型，文中给出了马尔可夫链的一步转移概率矩阵和多重转移概率的计算方法，根据此算法可以预报短期天气情况，达到预测天气的目的。关键字：马尔可夫链天气预报转移概率切普曼-柯尔莫哥洛夫方程1引言天气变化情况与人们的生产、生活息息相关，是人们普遍关注的重点问题之一。所以大 气预报的准确性

2、与时效性就显得尤为重要，否则将对人们带来不便， 甚至有可能带来重大经济和人员损失。本文借助随机过程中著名的马尔可夫链模型，以某日天气的状态转移数据为例，建立了天气情况预测模型 ，并借助该模型应用马尔可夫链的遍历性，对未来天气的变化趋势作出了预测分析。由于马尔可夫过程应用广泛，它的重要特征是无后效性和遍历性。因 此，运用马尔可夫链，只需要最近或现在的动态资料则可按转移概率可预测将来，这样就可以很方便地达到预测天气变化的目的。2马尔可夫链预测模型2.1马尔可夫链的概念和特性马尔可夫过程是指具有以下特性的过程：过程 X(t)(或系统)在时刻 t0所处的状态为 已知的条件下，过程在时刻t > t

3、 0所处状态的条件分布与过程在时刻to之前所处的状态无关，只与时刻to所处的状态有关，这种特性称为马尔可夫性或无后效性。则称 X(t)为马尔可夫 过程。马尔可夫链实际上就是状态和时间都是离散的马尔可夫过程。这一特性可用分布函数来确切地表出：设随机过程X(t),t在T，状态空间为 七若对于t的任意n个值ti<t2<<tn,n 3, 有 PX(tn) & Xn") = Xi,X(t2)= X2,XE) = Xn=P X(t n) - X n I X(t n w) = Xn / X n , R1则称过程(X(t),tWT具有马尔可夫性，并称此过程为马尔可夫过程。若

4、对于任意的正整数n,r 和任意的 0、t <t2<t r <mti,mm+nwTPXmn=aj Xt= ai1 ,Xt2= 2 ,Xt =air,X=a = Pmn=耳 IXm= & 其中a.WZ,称Xn,n=0,1 , 2,为马氏链。最重要的是转移概率 Rj (m m* n)。pXmH = aj | Xm = a ),表示马氏链在时刻m处于状态ai的条件下，在时刻 m+n转移到状态aj的转移概率。qQ很容易得到 、pij (m, m n) = 1 ,j jai出发，到另一时刻 m+n必然转移到a1,a 2,i = 1 , 2，.表示链在时刻 m从任何一个状态诸状态中

5、的某一个，所以概率和为1。马氏链的转移概率矩阵：由转移概率组成P(m mn)二(耳(m m n)m, m 2, n及任意的ai, a ,有=aj|Xm=ai)= P«m2 4n=aj|X= a >马尔可夫链的齐次性：若对任意的正整数P'Xm n即马氏链(Xn,n 50的转移概率Pj (m,m+n)与m无关，则称转移概率具有平稳性，这时，马尔可夫链称为是齐次的。马尔可夫链的n步转移概率:Pj(n)三 PXm.na | Xm = a ,； ai, a x, m 0, n 1为齐次马氏链(Xn,n >0的n步转移概率，并称由 Pj (n)组成的矩阵P(n)£(

6、Pj(n)为n步转移概率矩阵。马尔可夫链的一步转移概率:PijPij 1P'Xm1 = aj| Xm = ai 'PP(1) = Pij (1)】iPnP21PhPwP.iPj表示由状态ai经一步转移到状态 aj的概率。马尔可夫链的遍历性：设齐次马尔可夫链的状态空间为7,如果对于所有的ai, aj=7,转移概率pj (n),当noo时，存在不依赖于i的极限lnim 二 Pj(n) = E或 Rn) = Pn则称此链具有遍历性，又若J " j ,= 1 称h=(jd, m,)为马尔可夫链的极限分布。j设齐次马氏链 Xn,n R的状态空间为1= (a 1, a2,a n，

7、如果存在正整数 m使对任意的ai ,a j /，都有Pj(m)>0, i , j =1,N，则此链具有遍历性，且有极限分布ji=(jii, m，,刑)，它是方程组Ni P ij ij = 1,2,., N的满足条件m>0, £ n j = 1的唯一解。在定理条件下:马氏链的极限分布是平稳分布，即若用兀作为链的初始分布，p(0)= n,则链在任一时刻 n的分布p(n)永远与厂致.因为p(n) = p(O)P(n)=二 Pn =二 Pn ' = - P =二2.2 Chapman-Kolmogorov (切普曼柯尔莫哥洛夫)方程设(Xn, n=0,1, -为齐次马氏链

8、，则对于任意的正整数k, m,有Rj(m + k) =£ Pr(m)Prj(k)，此方程称为 Chapman-kolmogorov (切普曼柯尔莫哥 r洛夫)方程，简称C-K方程。如果把转移概率写成矩阵的形式，那么 C K方程具有以下简单的形式 P(m+k)=P(m)P(k) , m, k M 0,特别地，P(n)=Pn, n步转移概率由一步转移概率完全决定。这样，如果知道了马尔可夫链的初始概率，即初始时刻各个状态的概率，并且知道它的一步转移概率矩阵，进而求得所有有限维概率分布，由此便可进行未来天气情况的预测， 进行预报。3马尔可夫链预测天气如果明天是否有雨仅于今天的天气(是否有雨)

9、有关，而与过去的天气无关，并设今天下雨的情况下，明天有雨的概率为a ；今天无雨的情况下，而明天有雨的概率为3 ；又假定把有雨称为0状态天气，把无雨称为1状态天气，则本例是一个两状态的马尔可夫链，其一步转移概率矩阵为P =p。P。1W 1 - 口 '_p10p11成1 -孔6设a =0.7 , B =0.4 ,则一步转移概率矩阵为3 6 o O7 4I -o o_-P于是两步转移概率矩阵为P2 = P2 = PP =0.7 0. 3 0. 7 0. 35.4 0. 60. 4 0.6_0. 61 0. 39!。. 52 0.48_p00 (2) =0.61 ,后天无雨概P4 =(P(2)

10、2p00 (6) =0.5717 ,今天由此，可预报后天的天气情况，今天有雨，后天仍有雨的概率为率为P01 (2) =0.39 ;今天无雨，后天有雨的概率是pi0 (2) =0.52，后天无雨的概率是pii (2) =0.48 。同理四步转移概率矩阵为0. 5749 0. 4251J。. 5668 0.4332一据此可预报四日后的天气状况，今日有雨，第五日仍有雨的概率是P00 (4) =0.5749,今天无雨，则第五日的降雨概率pi0 (4) =0.5668。六步转移概率矩阵为0. 5717 0. 4283J。. 5710 0.4290-P(6)=R4)*P(2) = F5749 0.425叫

11、0.61 0.39：0. 5668 0.4332：0. 52 0. 48J据此可预报六天后的天气状况，今日有雨，第七日仍有雨的概率是无雨，则第七日的降雨概率p10 (6) =0.5710。因此，根据今日的天气状况， 可由马尔可夫链的多步转移概率矩阵求得短期内的天气情况的概率，从而实现对天气的预报。这是马尔科夫链在天气预报方面的应用。如果我们一直重复作下去，推得每一天的状况，一直到最后数字趋于稳定， 我们称之“终极状态”。这个状态由马尔可夫链的遍历性可以求得。设其极限分布为兀=(江1 ,兀2 )，则由兀=HP得到，少=H1 X 0. 7 + 兀2 X 0. 4r兀1 = 0.571452 =少X

12、 0. 3 +兀2 X 0. 6 ,解得冗2 = 0. 4286兀1 +兀2 = 1"由此可预测将来有雨的概率比较大，为0.5714 。4结论马尔可夫链是一种很重要的离散随机过程，简单说来就是用来求出一个事件的后续发展可能，当已知“现在”时刻过程的状态，那么过程“将来”的情况与“过去”的情况是无关 的。或者说，这种随机过程的将来只通过“现在”与“过去”发生联系，如果一旦知道“现 在”，那么“将来”就和“过去”无关了。通过研究马尔可夫链，可观察后面的发展状况， 利用初始分布和一步转移概率就可以完全确定马尔可夫链的统计规律。天气预报是建立在对天气数据的分析统计之上的。因此数据越多，越精确，预测也就越可靠。利用马尔可夫模型对天气情况做出合理科学的预测分析，在各种