常微分模拟试题模拟题

1、名师整理_ 优秀资源第四章测验卷（A）一、填空1、 如果x （t）, X2 （t）, Xk （t）,是n阶齐线性微分方程的K个解，则它们的线性组 合（）也是该方程的解。2、 若函数X!（t）,X2（t）,Xn（t）,在区间a乞t乞b上线性相关，则在a,b上它们的伏朗斯基行列式是（）3、函数组e2t,e ',e3t的伏朗斯基行列式是（）4、行如（）的方程称为欧拉方程5、解线性方程的常用方法有（），（），（）,（）。6、 在欧拉方程中，当它的特征方程的m重实根k二k0则该欧拉方程的m个解为（）7、 n阶齐线性微分方程的线性无关解的最大个数等于n,则可得n阶齐线性微分方程的所有解构成（）8如

2、果X! （t）, X2（t）,Xn（t）,是n阶齐线性微分方程的n个线性无关解，贝U方程 的通解可表为（）二、计算1、x -4x 5x -2x =2t 32、x x -2x =8sin2t3、 s 2asa2s 汁4、x "：2x 3x 二 ecost5、x x = si nt- cos 2t三、证明题2试验证Q* 丄主一丄x=0有基本解组t,et，并求方程 dt21 -t dt 1 -td2x t dxx1 -t-1的通解"> 2dt 1 - t dt.常微分第五章测验试卷（C）填空。（每空3分,共30分）1、如果A（t）是n n矩阵，是n维列向量，则他们在a2b上

3、满足A（t）, f（t）连续时，方程组x/二A（t）x f（t）满足初始条件x（to）=的解在a乞t乞b上。2、在用皮卡逐步逼近法求方程组 x A(tb f (t) , x(t° )=的近似解时，若取(t°)=，则(t°) =。3、 若定义在a,b上的n个向量函数xi (t x1i, x2ixniT,i =1,2 ,n，则他们的伏朗斯基行列式为 W(t)=。4、 方程组x/ = A(t)x的n个线性无关的解称之为x A(t)x的一个。5、方程组x/二A(t)x的n个解Xi(t),X2(t),，Xn(t),线性无关的充要条件是。6、若(t)和' (t)都是x

4、 A(t) x的基解矩阵，则(t)与(t)具有关系：A是n><n常数矩阵，则矩阵指数 expA8、 若:J(t)是常系数方程组x =A(t)x的基解矩阵，则expAt=9、若叮(t)是常系数方程组x =A(t)x的基解矩阵，则该方程组满足初始条件冷二的解10、 若叮-是常系数方程组x =A(t)x的基解矩阵，则x'A(t)x f(t)满足x(t 0)=的解计算。(每题14分,共70分)1、若J。1"x, 乂=" ， x(0) = F试用皮卡逐步逼近法求1-1 0 一 乂 一 1其第三次近似解。2 们2、求解矩阵A =的特征值和特征向量。-1 4 一2 o

5、_-A若XX,1 2试求x=A(t)x f (t)的满足(°)二；1的解：(t)名师整理优秀资源4、试求x/2 o_2x的基解矩阵031 -1的基解矩阵，并1 -115、试求方程组X = A（t）x，其中A = 8I5求满足初始条件（0）=的解:（t）常微分第四章检测卷B填空题1. 若Xi t i =1,2,，n是齐线形方程的n个解，wt为其伏朗斯基行列式，则wt满足一阶线形方程（）。2. 若X1 t ,x2 t ,x2 t ,，Xn t为n阶齐线形方程的n个解，则它们线形无关的充要条件是（）。3. 解线形方程的常用方法有（）、（）、（）、（）4. 若Xi t i=1,2，n为齐线形

6、方程的n个线形无关解，则这一齐线形方程的所有解可表示为（）。5. 若xi t i =1,2/ ,n为齐线形方程的一个基本解组，Xt为非齐线形方程的 一个特解，则非齐线形方程的所有解可表示为（）。6. 形如（）的方程称为欧拉方程。计算题1.求方程X（5）_4X（3）=°的解。2. 求方程 X（3）_4X（2）5X _2X =2t 3 的通解试验证d2xdt2-x =0的基本解组为d2xdt2- X二cost的通解。求方程X_2x.2 x te cost的通解2验证d-X丄虫一丄X = 0有基本解组t ,£ ,并求方程dt21 -t dt 1 -t2d x t dx 12x=t

7、-1的通解。dt21 - t dt 1 -t证明1.证明非齐线形方程的叠加原理：设X1 t，X2 t分别是非齐线形方程dnxdnx a1 t y何 t X 二 f1 tdtdt(1)nn Jd x丄d x丄上丄 a1 tan t f2 tdtndtn(2)的解,"八是方程彩和泞an tf1 t + f2 t 的解。2. 设人(t )(i =1,2,，n是齐线形方程(4.2)的任意n个解。它们所构成的伏 朗斯行列式记为wt，试证明wt满足一阶线形方程w a1 t0，因而有:t-f ajsjdsw t = w to e t0 t a,b一填空题：如果存在连续可微函数"(x,y)

8、 = 0 ,使方程J(x, y)M (x, y)dx(x, y)N (x, y)dy = 0成为全微分方程，则称()积分因子.(2) 一阶微分方程的一个特解的图像是 ()维空间上的一条曲线.(3) 微分形式变量可分离方程为：MdxjNdyMxrMzgUBdy ；当Ni(y)M2(x) = 0时，通过积分()求出通解。(4) 第一类可化为变量可分离方程的一阶齐次微分方程为：史二g(y);dx x令u =',代入方程得()，当g(u)-u=0时，分离变量并积分，xdu得Gx二e亦，即x二Ce (u)，用u二工回代，得通解().x(5 ) 一阶线性齐次微分方程为：p(x)y = 0 通解为：

9、dx( ) 。(6) 阶线性非齐次微分方程为：史-p(x)y二f (x);用常数变易法可以求dx出线性非齐次方程的通解：()(7) 方程史1匚y2过点(二1)共有()个解.dx2(8) 方程 x(y2 -1)dx y(x2 -1)dy=0 所有常数解是()(9) 显式变量可分离方程为：鱼=f(x)g(y);当g=0时，通过积分dx)求出通解(10) 伯努利方程为：二，求下列方程的通解11. yF - y2)dx12. 翌一(乂)2dx x x13.dy -3e2xdx14.(x 2y)dx _xdy = 015.16.17.18.翌异1dx xy3dx (y 川 In x)dy = 0 x巴鼻

10、tanY dx x xdy 2xy =4x dx19.(x2ey 一 y)dx xdy = 020.(2xy - cosx)dx (x2 - 1)dy =021.(x - y 1)dx _(x y2 3)dy = 03.常微分方程第一、二章测验试卷(A)解方程.1.求解方程(x+1)dy xdx ny=en*(x 1)的通解n为常数。2. 求解方程 矽=的通解。dx 2x - y3求方程dx x2-x y的通解、 114 .求解方程(cosx+ ) dx+(yy二)dy=0y5.求解方程史=-x +dx y21 (X) y(y>0).26.求方程丫=(°丫) dx二.填空。1.

11、 (2. (-x+x的解 dx 2)的方程，称为变量分离方程。的方程，称为常微分方程。的方程，称为伯努利方程。3. (4 ()叫做积分因子。5 ()的方程，叫做黎卡提方程。证明题设M (x,y )与N (x,y )在长方形Q内是二次连续可微且N= 0，则方程Mdx+Ndy=(在Q上有连续可微的，只含一个变数 x的积分因子的充要2 2N: MNNM条件是，Q内有N (牙)=()。cxcyd ycyexcy1 常微分方程第五章测验试卷(A)填空题1、方程组x= A(t)x的n个解x,(t), X2(t),l)|, xt)线性无关的充要条件是。2、 若矩阵A具有n个线性无关的特征向量V|,v2,l|

12、l,Vn，它们对应的特征值分 别是1, '2,111,'n，那么矩阵- (t)=是常系数线性方程组x二A(t)x的一个基解矩阵。2. 3、x =A(t)x 定存在一个基解矩阵:(t)，如果' (t)是x = A(t)x的任一解，那么。3. 4、若是X = A(t)x的基解矩阵，则x =A(t)x，f(t)满足x(t0 )=的解= 。4. 5、若a(t),a2(t), f(t)是la,bl上的连续函数，為公鸟是方程x"a-i(t)x' a2(t)x =0的两个线性无关解，则 x" a1(t)x' a2(t)x= f(t)的通解为：。5.

13、 6.如果X1 t ,X2 t，Xn t是x At x的n个线性无关解，则它的任一解可表为。6. 计算1. 求y' = x，2y-z的基解矩阵。z'二 x - y 2z2. 试求矩阵2 1A = ,|的特征值和对应的特征向量。1-1 4 一3. 试求初值问题宀昇x+F0 x£,心：的解4. 试求 x"=Ax + f(t)，其中2 1、r0、A =，x =，f=2t1° 2导丿满足初始条件玖0)的解®(t). 厂1丿5. 试求方程组x'=Ax的基解矩阵，并求满足初始条件(0)=的解- (t):A214 3 一6. 试求方程x'

14、;'x =tgt的一个解。7.试用逐步逼近法求方程组/211满足初始条件x(0);第三次近似解 常微分方程第五章测验试卷(B) 填空题2、设(t)是方程组x、A(t)x，f(t)的定义于区间a mt mb上且满足初始条件(t。)= 的解，则：(t)是积分方程定义于a兰t兰b上的 解。反之亦然。2、在证明用皮卡逼近时，我们对于所有的正整数k有如下估计：II k(t)_t)ll。3、如果向量函数兀风,，人在区间a +b上线性相关，则它们的伏 朗斯基行列式。4、x、A(t)x 定存在一个基解矩阵 门，如果f(t)是x、A(t)x的任一解,那么。5、若(t)是x= A(t)x的基解矩阵，则向量

15、 函数申(t)=是x'A(t)x，f(t)的满足初始条件(t°)=0的解；向量函数 申(t)=是x" = A(t)x + f (t)的满足初始条件9亿0)=口的解。6、写出关于矩阵指数 exp At的性质、7、非齐线性方程组x'A(t)xf(t)满足初始条件(t°)= 的解(t) =。8假设九是方程x" = A(t)x的三重根，贝U exp At =。9、设 Xi(t),X2(t)分别是方程组 xA(t)x fi(t) , A(t)x f2(t)的解，贝U满足方程x A(t)x f1(tp f2(t)的一个解可以为10、设叮(t)是xA(

16、t)x的基解矩阵，(t)是xA(t)x f(t)的某一解，则x' = A(t)x十f (t)的任一解®(t)都可表示为、计算'013、求x=101 x的基本矩阵。J104、求方程组x'A(t)x的基解矩阵，并求出满足初始条件(0H 的解：(t)。其中A二(-5-10-20、3、求方程x” =55-10X的通解<243丿4、试用逐步皮卡逼近求方程组f x、f 1 X =8.若Xj(tli=1,2,n )为齐线性方程的n个线性无关的解，则这一齐线性微分方程的所有解可表示为。计算 求方程x x 一的通解，已知它对应的齐线性方程的基本解组为cost满足初始条件x

17、(1)=的第二次近似解lX2丿(一1二、证明题给定方程5x ' 6x二f (t)其中f (t)在0岂t乞:上连续，试利用常数变易 公式，证明：如果f(t)在0辽二上有界，则上面的方程的每一个解在0岂,乞:：上有界。7. 常微分方程第四章测验试卷 C填空1. 称为n阶齐线性微分方程。2函数组e±，et，e2t的伏朗斯基行列式为 3若人t i =1,2,n为n阶齐线性方程的解，则它们线性无关的充要条件4若xi t i =1,2,n为n阶齐线性方程的解，则wt为其伏朗斯基行列式，则w(t )满足一阶线性方程 5设x1 t - 0是二阶齐线性方程X： a1x a?x =0的一个解，则

18、方程的通解 可表示为6. 形女口 为欧拉方程。7. 解线性方程的 常 用 方 法 有cost,sint。2. tx - x = t2 t = 03求方程d2xdt24x二tsin 2t的通解，已知它对应的齐线性方程的基本解组为cos 2t, sin 2t4. 求x"_3x” 3x_x =0 的解。5. 求x2d y 3xdy 5y =0 的解dx2 dx6. 求xx" + (x"f =0 的解。7. 1 -x2 y -2xy 2y = 0常微分方程第一、二测验考卷（B）填空题。1、在微分方程中，自变量的个数只有一个，我们称这种方程为（）方程，自变量的个数为两个或两

19、个以上的的微分方程为（）方程。2、我们把含有 n个独立的任意常数 C1，C2，C3，.,Cn的解Y=f（x,C1,C2,.,Cn）,为F(x,dy,y, dx，3、2、对于（x,y）dx+N（x,y）dy=0 般有哪四种方法（），），），二计算题解方程。1、dy=y2cosx. dx解：将变量，得dyy2=cos xdx,dxx£du =0.u(u2 -1)两边积分，得1 . sin x c，y1通解为y=,此外，还有解y=0.sin x +c积分得 xuy=ux,贝U dy=udx+xdu.代入得x2 (u 2 -3)(udx xdu) 2x2udx 二 0,=c(u 22、( y

20、 -3x )dy 2xydx = 0.解：这显然是齐次方程。令 -1),即得 y3 =c(y2 x2)./丄2.3、xy y 二 xy In x.解：写为1 1y_- yxy 2 In x.y-1,则竺dx2 dyy赢代入方程,du 1udx x这是线性方程，用通解=-ln x,1u = e dx c 亠 I ( - In x1 2二 xc (In x).2代回原变量，得通解另外，y = 0也是公式得-_dxx)e x dx 程的解。是贝努力方程,4、解利卡迪方程。解：令y二u ,则y二xxu=u2 2u -3,f du,dx ,Inc u2 2u -3 xy积分得u Y二C1X =u 1回到原变量，可得通解c+3x4y 5x -cx25、( y - 3x )dx - (4y - x)dy = 0.解：这里 M 二