高等代数最重要的基本概念汇总

1、第一章基本概念1.5数环和数域定义1设S是复数集C的一个非空子集，如果对于S中任意两个数a、b来说，a+b,a-b,ab 都在S内，那么称S是一个数环。定义2 设F是一个数环。如果(i) F是一个不等于零的数；(ii) 如果a、bF,并且b# 0, - F ,那么就称F是一个数域。b定理任何数域都包含有理数域，有理数域是最小的数域。第二章多项式2.1 一元多项式的定义和运算定义1数环R上的一个文字的多项式或一元多项式指的是形式表达式(1 )-0 +4X + -2X2 +川 +anxn ,是非负整数而a0,a1,a2|an都是R中的数。项式(1 )中，a°叫作零次项或常数项，aiXi叫

2、作一次项，一般，-i叫作i次项的系数。定义2若是数环R上两个一元多项式 f (x )和g (x )有完全相同的项，或者只差一些系数为零的项，那么就说 f (x加g (x )就说是相等f x =g x定义3 -nxn叫作多项式-0+ax+ -2x2+|+-nxn, an。0的最高次项，非负整数n叫作多项式-0 +司乂 +-2x2 +HI +-nxn , -n。0 的次数。定理2.1.1设f (x )和g(x)是数环R上两个多项式，并且 f(x)#0, g(x)#0,那么(i )当 f (x )+g(x)正0时,-：0 f x g x 三 m-x " f x ," g x);(

3、ii )建(f (x)g(x)=，(f (x)+E0(g(x)。多项式的加法和乘法满足以下运算规则：1) 加法交换律：f (x )+g(x)=g(x)+ f (x)；2) 加法结合律:(f(x)+g(x)+h(x)= f(x)+(g(x)十h(x)；3) 乘法交换律：f (x )g(x)=g(x)f (x)；4) 乘法结合律：(f (x)g(x)h(x)=f (x)(g(x)h(x)；5) 乘法对加法的分配律：f (x Xg(x)+h(x)= f (x)g(x)+f (x)h(x)。推论2.1.1 f(x)g(x)=0当且仅当f(x )和g(x)中至少有一个是零多项式推论 2.1.2 若 f

4、(x )g (x )= f (x )h(x ),且 f (x )。0 ,那么 g( x )= h(x)2.2多项式的整除性设F是一个数域。f & 是F上一元多项式环定义 令f (x )和g(x屋数域F上多项式环f 1x1的两个多项式。如果存在f x的多项式h(x ),使 g (x)= f (x )h(x ),我们说,f (x )整除(能除尽)g(x)。 多项式整除的一些基本性质：1) 如果 f(x)lg(x ), g(x)lh(x),那么 f(x)lh(x)2) 如果 h(x)lf (x ), h(x)lg(x),那么 h(x) (f (x )±g(x)3) 如果h(x)lf

5、(x )，那么对于fx】中的任意多项式g(x )来说，h(x ) If (x )g( x)4) 果 h(x ) Ifjx )i =1,2,3,|",t，那么对于 f &】中任意 gi (x),i =1,2,3，川,t,h x f xg x 一 f x 2g2 x III f x i gi x5) 次多项式，也就是 F中不等于零的数，整除任意多项式。6) 每一个多项式f (x )都能被Cf (x )整除，这里c是F中任意一个不等于零的数。7) 如果f(x)lg(x ), g(x)lf(x )，那么f(x)=cg(x),这里c是F中的一个不等于 零的数设f (x ), g(x)是

6、两个任意的多项式，并且 g(x)#0。那么f(x)可以写成以下形式f (x )=g(x)q(x )+r(x),这里r(x)=0，或者r(x)的次数小于g(x)的次数。定理2.2.1设f (x)和g(x)是f lx 的任意两个多项式，并且g(x)#0。那么在fix中可以找到多项式q(x )和r(x),使f x =g x q x r x 3这里或者r(x)=0，或者r(x)的次数小于 g(x )的次数，满足以上条件的多项式q(x 利r(x 有一对。设数域F含有数域F而f (x)和g (x)是f x的两个多项式，如果在f lx里g(x)不能 整除f(x),那么在Fix 里g(x)也不能整除f(x)。

7、1) 定义1假定h(x )是f (x)和g(x)的任一公因式，那么由队 xf / x qkJ x rkJl x ,4 x)=rkx qk x rk x , rx =r x qki x中的第一个等式，h(x)也一定能整除r1(x)。同理，由第二个等式，h(x)也一定能整 除2(x)。如此逐步推下去，最后得出h(x)能整除L(x),这样，k(x)的确是f(x)和g(x )的一个最大公因式，这种求最大公因式的方法叫做展转相除法。定义 2 设以 g(x)=xa f (x) = anxn + anxn+|H + aix + a0 时，所得 的商 q(x ) = bhxn+bnuxnJ2+|H + b!x

8、 + b0 及余式 r( )x °,c比较f(x)=g(x)q(x)+ r(x)两端同次藉的系数得bn=an, bn示an'abn,， b0 = a1 + ab1 ,c0 = a0+ab0 , 这种计算可以排成以下格式anananqHIa.a。a 0bn4 =anbn_2bn_3川 b。 c。用这种方法求商和余式(的系数)称为综合除法。2.3多项式的最大公因式设F是一个数域。fx】是F上一元多项式环定义1令设f (x)和g(x建f x的任意两个多项式，若是f x的一个多项式h(x) 同时整除f(x)和g(x),那么h(x)叫作f (x片g(x)的一个公因式。定义2设d(x祚多

9、项式f(x)与g(x)的一个公因式。若是d(x)能被f(x)与g(x) 的每一个公因式整除，那么 d(x)叫作f(x)与g(x)的一个最大公因式。定理2.3.1 f lx的任意两个多项式 f(x月g(x厂定有最大公因式。除一个零次因 式外，f(x )与g(x)的最大公因式是唯一确定的，这就说，若 d(x)是f(x )与g(x) 的一个最大公因式，那么数域F的任何一个不为零的数 c与d(x)的乘积cd(x)也是f(x)与g(x)的一个最大公因式； 而且当f (x )与g(x)不完全为零时，只有这样的乘 积才是f(x点g(x)的最大公因式。从数域F过度渡到数域 F时，f (x )与g (x )的最

10、大公因式本质上没有改变。定理2.3.2若d(x )是f lx的多项式f(x )与g(x)的最大公因式，那么在fix里可 以求得多项式u(x折日v(x),使以下等式成立：(2) f (x)u(x)+g(x )v(x )=d(x)。注意：定理 2.3.2的逆命题不成立。例如，令 f (x )= x, g(x )=x+1 ,那么以下等式成 立：x(x +2 )+(x+1 X x-1 ) = 2x2 +2x1 但 2x2 +2x T 显然不是 f (x )与 g(x )的最 大公因。定义3如果f &的两个多项式除零次多项式外不在有其他的公因式，我们就说，这 两个多项式互素。定理2.3.3 fx

11、】的两个多项式f (x)与g(x )互素的充要条件是：在 fx】中可以求 得多项式u(x时v(x ),使(4)fxux gxvx=1从这个定理我们可以推出关于互素多项式的以下重要事实：若多项式f(x )与g(x)都与多项式h(x )互素，那么乘积 f(x)g(x)也与h(x)互素。若多项式h(x)整除多项式f(x侣g(x)的乘积，而h(x )与f(x)互素，那么h(x) 一定整除g( x )。2) 若多项式g(x )与h(x )都整除多项式f(x),而g(x )与h(x)互素，那么乘积g (x) h( x)也整除 f (x)最大公因式的定义可以推广到 n( n2)个多项式的情形：若是多项式h(

12、x)整除多多项式f(x), f2(x),川，fn(x )中的每一个，那么h(x)叫作这n个多项式的一个公因式。若是f (x ), f2(x )|j, fn (x )的公因式d(x)能被这n个多项式的每一个公因式整除，那么 d(x)叫作f(x), f2(x),|j, fn(x)的一个最大公因式。若do(x)是多项式f(x ), f2( x)JH ,匕项x)的一个最大公因式，那么do(x)是多项式fn (x )的最大公因式也是多项式f(x), f2(x),|H,匕顼x)的最大公因式。若多项式f(x), f2(x),|,fn(x )除零次多项式外，没有其他的公因式，就是说这一组多 项式互素。2.4多

13、项式的分解定义1 f &的任何一个多项式 f (x),那么F的任何不为零的元素 c都是f(x)的因式，另一方面，c与f(x)的乘积cf(x也总是f(x)的因式。我们把f(x)这样的因式 叫作它的平凡因式，定义2令f (x )是f女】的一个次数大于零的多项式。若是 f (x )在f lx只有平凡因式，f (x说是在数域F上(或在f lx】中)不可约。若f(x)除平凡因式外，在fix】中还有其他因式，f (x)就说是在 F上(或在f &中)可约。如果f &的一个n (n>0)次多项式能够分解成 f x】中两个次数小于n的多项式g(x片h(x )的乘积:(1)f (x)

14、=g(x)h(x),那么f (x )在F上可约。若是f (x施f【x】中的任一个形如(1)的分解式总含有一个零次因式，那么 f(x )在F 上不可约。不可约多项式的一些重要性质：1) 如果多项式p(x冲可约，那么F中任一不为零的元素c与p(x )的乘积cp(x Jtk不可 约。2) 设p(X谜一个不可约多项式而f(X )是一个任意多项式，那么或者 p(X月f(X)互素，或者p(x班除f(X )。3) 如果多项式f(X )与g(X )的乘积能被不可约多项式p(x)整除，那么至少有一个因式 被整除。4) 如果多项式fl(X ), f2(x ),|H, fs(x X s芝2 )的乘积能被不可约多项式

15、p(x)整除，那么至少有一个因式被 p(x)整除。定理2.4.1 f IX的每一个n(n>0)次多项式f(X力E可以分解成fix的不可约多项式的乘 积。定理2.4.2令f(X )是f【X】的一个次数大于零的多项式，并且f X)=pixp2x 川px)=qixq2x lllqx此处c与qj(x)(i=1,2, |j,r,j =1,2,|,s)都是f lx】的不可约多项式，那么r =s ,并且适当调换qj(x )的次序后可使qj(x)=q(x)p(x),i =1,2，川，r,此处g (x )是F上的不为零的元素。换句话说，如果不计零次因式的差异，多项式f (x )分解成不可约因式乘积的分解式

16、是唯一的。形如-k1k2 . , kt-f(x)=ap1(x) p2(x) |Hpt(x)的多项式叫作多项f(x)的典型分解式，每一个典型分解式都是唯一确定的。2.5重因式定义 f IX】的多项式f x =a0 a1x a2x2 川 anxn的导数或一阶导数指的是f IX】的多项式f'(X ) = a, + 2a2x+IH + nanxn*一阶导数f'(x)的导数叫作f(x)的二阶导数，记作f"(x ), f"(x)的导数叫作f(x)的 三阶导数，记作f”'(x),等等。f(x)的k阶导数也记作f(kx)。关于和与积的导数公式仍然成立：(1) f (

17、x)+g(x)= f (x j +g(x)(2) f (x)g (x)= f (x)g (x j + g (x)f (x)'一 k Vk*(3) f (x )= kf (x ) f (x )定理2.5.1设p(x)是多项式f(x)的一个k(kX)重因式。那么 p(x)是f(x)的导数的 一个k-1重因式。定理2.5.2多项式f(x )没有重因式的充要条件是f(x)与它的导数f'(x)互素。2.6多项式函数多项式的根设给定了 1在R的一个多项式f x =a(o ax a?x2 川 anxn和一个数cR,那么在f(x)的表示式里，把 x用c来代替，就得到 R的一个数a0 - ac

18、- a2c2 T ancn这个数叫作当x=c时，f(x)的值，并且用f(c)来表示。对于 R上的每一个数c,就有R中唯一确定的数 f (c点它对应。就得到 R与R的一个影射。这个影射是由多项式f ( x )所确定的，叫作R上的一个多项式函数。定理2.6.1设f(x)WRlx,cWR，用xc除f (x )所得的余式等于当 x = c时f (x )的值f c定义 令f(x谜R【x】的一个多项式而c是R中的一个数，若是当 x = c时f(x)的值f(c) = 0，那么c叫作f(x庚数环R中的一个根。定理2.6.2数c是f (x )的根的充要条件是f ( x )能被x-c整除。定理2.6.3设xc是R

19、【x】中一个n芝0次多项式。那么f (x推R中至多有n个不同的根。定理2.6.4设f (x山g(x)是R&】的两个多项式，它们的次数都不大于n。若是以R中n+1个或更多不同的数来代替 x时，每次所得f(x)与g(x)的值都相等，那么f (x 尸g(x)。定理2.6.5R lx 的两个多项式f (x点g (x )相等，当且仅当她们所定义的R上多项式函数相等。?bi(xa)|k x 京x+1山-x+af x =、i1 a-ai IHai-a_i_i aTa.ii|l|a-a.ni这个公式叫作拉格朗日(Lagrange)插值公式。2.7复数和实数域上多项式定理2.7.1(代数基本定理)任何n

20、( n0)次多项式在复数域中至少有一个根。定理2.7.2任何n(n0 )次多项式在复数域中有n个根(按重根重数计算)。复数域C上任一 n(nA0 )次多项式可以在 C &】里分解为一次因式的乘积。负数域上任一次大于1的多项式都是可约的。定理2.7.6若实数多项式f(x倡一个非实的复数根 a ,那么的共轴数 康也是f(x)的根，并且有同一重数。换句话说，实系数多项式的非实的非实的复数根两两 成对。定理2.7.4实数域上不可约多项式，除一次多项式外，只含非实共轴复数根的二次多项式。定理2.7.5每一个次数大于 0的实系数多项式都可以分解为实系数的一次和二次不可约因 式的乘积。2.8有理数域

21、上多项式令f (x )是整数环Z上的一个n(:>0)次多项式。如果存在 g(x ),h(x广Z (x),它们的次数都小于n,使得f (x )= g (x )h(x ),(1)那么f (x g(x )、h(x)自然可以看成有理数域 Q上的多项式。等式(1)表明，f(x)在Q l-x 1中是可约的。定义 若是一个整系数多项式f (x )的系数互素，那么f (x )叫作一个原本多项式。引理2.8.1两个原本多项式的乘积仍然是一个原本多项式。定理2.8.1若是一个整系数 n(A0)次多项式f(x )在有理数域上可约，那么f(x)总可以分解成次数都小于 n的两个整系数多项式的乘积。定理2.8.2(

22、艾森斯坦(Eisenstein)判别法)设f x )*0 qx a?x2 川 anxn是一个整系数多项式。若是能够找到一个素数p,使得(i) 最高次项系数an不能被p整除；(ii) 其余各项都能被 p整除；(iii) 常数项ao不能被p2整除，那么多项式f (x产有理数域上不可约。有理数域上任意次的不可约多项式都存在。定理2.8.3设f (x )=a0xn +atxn" +IM +an是一个整系数多项式。若是有理数-是f (x)v的一个根，这里u和v是互素的整数，那么(i) v整除f (x )的最高次项系数ao,而u整除f (x )的常数项an;(ii) f (x)=fx- iq(x

23、),这里q(x )是一个整系数多项式。v2.9多元多项式在这一节里，R总表示一个数环，且 1在Rk1 k2 kn令为，乂2*,川*是n个文字，形如axi x2 |Xn的表示式。其中au R,ki,k2,川kn是非负整数，叫作 R上为，乂2,招，冷的一个单项式。数 a叫作这个单项式的系数，如果某一kik1 kiA 0 ki1kn k1 ki± ki 1knk =o，那么为可以不写，约定 ax1IIIxxi+|xn= axHHxxi+|xn。因此，m(m<n)个文字的单项式总可以看成n个文字的单项式。特别，当 k1 =k2 = k3 =| kn =0 时,我们有 ax1°

24、x0| 好=a 三 R。形式表达式 &妒1以12 H|x：1n+a2x1k21x；22Hlxnk2n + 川+asx1ks1x；s2| x：sn,a3 R , Kj 是 非负整数(i =1,2,3, |,s； j =1,2,|,n ),叫作R上n个文字为乂,x3,lll, x”的一个多项式， 或简称R上一个n元多项式。我们通常用符号f (入乂,川新)，g(x1,x2,|H,xn )等来表示R上n个文字 x, x2, x3,l( ,x的多项式。定理2.9.1数环R上的两个n元多项式f (x1,x2l,xn )与x1,x2l,xn 乘积是首项等于这两个多项式首项的乘积。特别，两个非零多项式

25、的乘积也不等于零。定理292 数环R上两个不等于零的n元多项式的乘积的次数等于这两个多项式次数的和。定理2.9.3设f (x1,x2|, x!)是数环R上的一个n元多项式，如果对于任意(G,C2,川 Cn 广 Rn 都有 f (Ci,C2,川 Cn )=0,那么 f (Xi,X2，川,Xn )=0推论2.9.1设f (Xi, X2,|“，Xn )与g(Xi,X2,|H,Xn )是数环R上n元多项式，如果对于任意(G,C2,|Cn 产 Rn 都 有 f(q,c 认 |c"=g(c c 1,低2,，那 么 f(Xi,X 2,Xn),= g(C c 1|Cn2 换句话说.,如果由 f (X

26、i,X2,|,Xn )与 Xi,X2|,Xn)确定的多项式函数 f与g相等，那么这两个多项式相等。2.10对称多项式定义1 设f(Xi, X2,|,Xn )是数环 R上的一个 n元多项式，如果对于这n个文字x, x2,x3J|LXn 的指标集l,2,|,n施行任意一个置换后,f (XxIH,)都不改变，那么就称 f (XnXIH,Xn )是R上一个n元对称多项式。定义2(1)七=牛2)1风XllIXnXn THX2X3|l|Xn,；n*X2川Xn，这里次表示X1, X2,X3,HL Xn中k个所作的一切可能乘积的和，这样的n个多项式显然都是n元对称多项式。我们称这n个多项式cr2Lcrn为n元

27、对等对称多项 式。引理2.10.1设f (x,x2, |Xn ) = £ 3也|事1成22 11凶 是数环R上一个n元对称多项式，以 可代替Xi ,1 <H<n ,得到关于§1,§2,111 ,§n的一个多项式f (。1,。2，山,外)=Z 知川耻。；1。；2 IIE。如果 f (夺1,。2,1",气)=。,那么 一切系数知2|町=0，即 f (X1,X2,|j,Xn )=0定理2.10.1数环R上一 n元对称多项式f (xxJILa )都可以表示成初等对称多项式。1,。2,巾,的系数在R中的多项式，并且这种表示法是唯一的。推论2.

28、10.1设f(X )是数域F上的一个一元 n次多项式，它的最高次项系数是 1。令a1/I2JILan是f(X )是复数域内的全部根(按重根重数计算)。那么<I1/y2JILan的每一个系数取自F的对称多项式都是f(X)的系数的多项式（它的系数在F内）因而是F的一个数。第三章行列式3.2排列定义1 n个数码1, 2,，n的一个排列指的是由这 n个数码组成的一个有序组，叫做数码 的排列。定义2 一般的在一个排列里，如果某一个较大的数码排在一个较小的数码前面，就说这两 个数码构成一个反序，在一个排列里出现的反序总数的总和叫做这个排列的反 序数（逆序数）。一个排列的逆序数可能是偶数也可能是奇数，

29、有偶数个逆序数的排列叫作一个偶排列；有奇数个逆序数的排列叫作一个奇排列。定义3如果把这个排列里任意两个数码 i与j交换一下，而其余的数码保持不动， 那么就得到一个新的排列，对于排列所施行的这样一个变换叫作一个对换，并且用符号11定理3.2.1设iiiHn和jij2【ll jn是n个数码的任意两个排列，那么 总可以通过一系列对换由iii2川in得出jlj2川jn。定理3.2.2每一个对换都改变排列的奇偶性。n *定理3.2.3 n芝2时，n个数码的奇排列与偶排列的个数相等，各为 一个。23.3 n阶行列式我们用符号E（jij2|）Hn）来表示排列jlj2川jn的逆序数。定义1用符号表示的n阶行列

30、式指的是nW勺代数和，这些项是一切可能取自集HI %na21*a22IIIa2n, ,*an1an2,川anna11a12a1na21a22山a2n+4+4+an1an2山ann的不同的行与不同的列上的n个元素的 乘积。项a1j1a2j| anjn的符号为（T ）"）2"'"），也就是说，当jj2川jn是偶排列时，这一项的符号为正，当j1j2IHjn是奇排列时，这一项的符号为负。定义2 n阶行列式如即川aina2ia22川a2nD =r+F+Vanian2 川ann如果把D的行变为列，就得到一个新的行列式a2iIII aniD'=D叫作D的转置行列

31、式。ai2a22III an2*rain1da2n1t1IIIann引理3.3.1从n阶行列式的第ii,i2,|,in行和ji, j2,m, jn列取出的元素作积aii九瓦j2川ain jn，这里iiUlhin和ji, j2,川,jn都是1, 2,，n这n个数码的排列，那么这一项在行列式中的符号是（1）S*,S = E（iii2ll|in）,t=T（jij2llljn）命题3.3.i行列式与它的转置行列式相等。命题3.3.2交换一个行列式的两行（或两列），行列式改变符号。推论3.3.i如果一个行列式有两行（列）完全相同，那么这个行列式等于零。命题3.3.3把一个行列式的某一行（列）的所有元素同

32、乘以某一个数k,等于以数k乘以这个行列式。推论3.3.2 一个行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式的符号外边。推论3.3.3如果一个行列式中有一行（列）的元素全是零，那么这个行列式等于零。推论3.3.4如果一个行列式有两行（列）的对应元素成比例，那么这个行列式等于零。命题3.3.4 设行列式D的第i行的所有兀素都可以表不' 成两项的和：* 第 川 凯+F+FD=bh+Gi"Ci2 IIIbin+琮+F+fanian2ann那么D等于两个行列式。与D2的和，其中Di的第i行的元素是bii,bi2,IHbin，D2的第i行元素是Cii,Ci2,lll,Cn，而D与D

33、?的其他各行都和D的一样。命题3.3.5把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列）的对应元素上, 行列式不变。3.4子式和代数余子式行列式的依行列展开定义1在一个n阶行列式D中任意取定 成的k阶行列式叫作行列式k行和k列。位于这些行列式的相交处的元素所构D的一个k阶子式。定义2 n（n1）阶行列式*aij川如+1F+rib+1>。=为aj川a+pF+1anianj HI ann的某一元素aij的余子式Mij指的是在D中划去aij所在的行和列后所余下的n-1阶子式。定义3 n阶行列式D的元素aj的余子式Mj附以符号（-1户后，叫作元素困的代数余子式。元素aj的代数余子式用符号

34、 Aj来表示：Aj =（-1）* Mw。定理3.4.1若在一个n阶行列式如招如川am +F+T。=环 HI ajHIa.+ +F+Tan1 HI anj HIann中，第i行（或第j列）的元素除aij都是零，那么这个行列式等于aij与它的代数余子式Aj的乘积：D= aj Aij定理3.4.2行列式D等于它任意一行（列）的所有元素与它们对应代数余子式的乘积的和。 换句话说，行列式有依行或依列展开式D = aA * 日2 A2 * Iam An （i =1,2,H1,n）D - aj1Aj1 aj2Aj2 TH ' ajn Ajnj =1,2H,n定理3.4.3行列式ai1ai2IIID=

35、:a1nainajn为2IIIannaj1aj2III的某一行（或列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式的乘积的和等于 零。换句话说，aiiAi + 如A2 +| + am An = 0（i , j ）,aisAta2sA2t川ansAnt =0 s = t3.5克拉默法则-心2 山 ainXn =na22X2 山 a2nXn = b?iiiHiiiiinan2X2 .山.annA =屏a11x1a2iXi设给定了一个含有 n个未知量n个方程的线性方程组利用（i ）的系数可以构成一个 n阶行列式aii况ama2ia?a2nD =¥,I,+i*Vanian2川annaniXi这

36、个行列式叫作方程组 （i ）的行列式。定理3.5.i（克拉默Cramer）法则）一个含有n个未知量的n个方程的线性方程组（i ）当它的行列式D#0时，有且仅有一个解x hdXz =D2,川，Xn =岛，此处的D DDDj是把行列式的第j列的元素换以方程组的常数项bi,bj|,bn而得到的n阶行列式。第四章线性方程组4.i消元法定义我们对线性方程组施行这三个初等变换:（i）交换两个方程的位置；（ii）用一个不等于零的数乘以某个方程；（iii）用一个数乘以某个方程后加到另一个方程； 叫作线性方程组的初等变换。定理4.i.i初等变换把一个线性方程组变为与它同解的线性方程组。定义i由st个数珈排成的一

37、个s行和t列的表C11C12IHQnC211 C22tIIIC2n*,Cn1Cn2IHCnn叫作一个s行t列（或s7）矩阵。功叫作这个矩阵的元素。定义2 矩阵的行（或列）初等变换指的是对一个矩阵施行的下列变换:（i）交换矩阵的两行（或列）（ii）用一个不等于零的数乘以矩阵的某一行（列），即用一个不等于零的数乘以矩阵的某一行（列）的每一个元素；（iii） 用某一个数乘以矩阵的某一行（列）后加到另一行（列），即用某一数乘以矩阵的某一行（列）的每一个元素后加到另一行（列）的对应元素上。个m仃n列的矩阵：勺11a2IIIana21a22 川a2nA =+ + +%am2IIIamn通过行初等变换和第一

38、种列初等变换能把A化为以下形式:<0IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII定理4.1.2 设A 是15进而化为以下形式:<0IIIIIIIIIIIIIIIG,r 1c2,r 1cr,r 10这里r 20, r <m,r Mn,*表示矩阵的元素,IIIIIIIIIIIIIIIC1nC2nCrn0但不同的位置上*的表示的元素未必相同。4.2矩阵的秩线性方程组可解的判别法定义1在一个s行t列的矩阵中，任意取 k行k列（k<s,k<t）。位于这些行列式的交点处的元素（不改变元素的相对位置）所构成的k阶行列式叫作这个矩阵的一个k阶子式。定义2 一个矩阵

39、中不等于零的子式的最大阶数叫作这个矩阵的秩。若一个矩阵没有不等于领的子式，就认为这个矩阵的秩是；零。定理4.2.1初等变换不改变矩镇的秩。定理4.2.2 （线性方程组可解的判别法）线性方程组 （1 ）有解的充要条件是：它的系数矩阵和增广矩阵有相同的秩。定理4.2.3设线性方程组（1）的系数矩阵和增广矩阵有相同的秩r,那么r等于方程组所含有未知量的个数 n时，方程组有唯一解；当 r<n时，方程组有无穷多个解。4.3线性方程组的公解定理4.3.1设方程组（1）有解，它的系数矩阵A和增广矩阵 A共同秩是r#0。那么可以在（1 ）的m个方程中选出r个方程，使得剩下的 m-r个方程中的每一个都是这

40、r个方程的结果，因而解方程组（1）可以归结为解这r个方程所组成的线性方程组。定义3若是一个线性方程组的常数项等于零，那么这个方程组叫作一个齐次线性方程组。定理4.3.2 一个齐次线性方程组有非零解的充要条件是：它的系数矩阵的秩r小于它的未知量的个数n。推论4.3.1含有n个未知量的n个方程的齐次线性方程组有非零解的充要条件是：方程组 的系数行列式等于零。4.3.2若在一个齐次线性方程组中，方程的个数m小于未知量的个数 n,那么这个方程组一定有非零解。4.4结式和判别式定理4.4.1如果多项式f （x ） = a0xm +3甘，+l" + am（mA0）,g x ）；=b0xn b1x

41、n4 巾 bn n 0有公共根，或者a0 =b0 =0 ,那么它们的结式等于零。定理4.4.2 设f x =a0xm a1xm4 川 am m 0g x）=b0xn bx" HI bn n 0是复数域C上多项式。R( f ,g )是它们的结式。(i ) 如果a0 #0 , 而¥, 0(2,HI Om E C是 f(x)的全部根，那么R f,g =an°g ：i g2 川g ： m ;1(ii ) 如果b°#0，而队服川仇在。是g(x)的全部根，那么R(f,g)=(-i)nmb0mf(Ei)f(fMHf(En)。(2)定理4.4.3如果多项式f(x点g(x

42、)的结式等于零，那么或者它们的最高次项系数都等于零，或者这两个多项式有公共根。第五章矩阵5.1矩阵的运算定义 令F是一个数域。用F的元素aij作成的一个 m 行n列的矩阵0 i a 12 川 an 1 a21 a 22 川 a n 2D =+,+11+110m1 am2 川 amnj叫作一个F上的矩阵。A也简记作(an )，为了指明A的行数和列数，有时也把它记作 Amr amn °定义1 数域F上的一个m><n矩阵A=aj的乘积aA指的是 m< n矩阵(aa )。求数与矩阵 的乘积的运算叫作数与矩阵的乘法。定义2 两个mn矩阵A=aB=bj的和A+B指的是mn矩阵(

43、a +均)。求两个矩 阵的和的运算叫作矩阵的加法。注意：我们只能把行数相同，列数相同的两个矩阵相加。以上两种运算的一个重要的特例是数列的运算我们把由F的n个数所组成的数列a1, a2I, an叫作F上的一个n元数列。这样的一个n元素列可以理解为一个一行n列矩阵(a1,a2,IH,an ),也可以理解为一个 n行一列矩阵a1a2这样，作为以上定义的矩阵运算的特例，就得到F的数与n元数列的乘法以及两个n元数列的加法：a(a!,a2, |,an )=(aai,aa2,|,aan ),ai,a2, |l(an ：Lbi,b2,|H,bn = &&,川鬲 bi,烷，山，bn由定义1和定义

44、2,得出以下运算规律：A+B=B+A;(A+B)+C=A+(B+C);0+A=A;A+(-)A=0a(A+B)= aA+Bb ;(a+b)A= aA+Ab;A(Ba)=(ab)A;这里A , B ,和C表示任意 m X n矩阵，而a和b表示F中的任意数。 利用负矩阵我们定义矩阵的减法：A-B=A+ (-B), 于是有A+B=Cu A=CB。定义3 数域F上m x n的矩阵A =(团)与n X p矩阵B =(埼)的乘积AB指的是这样的一个mxn矩阵，这个矩阵的第i行和第列(i =1,2，山,m,j =1,2,|, p)的元素国等于A 的第i行的元素与 B的第j列的对应元素的乘积的和： g j =

45、 a i b j 02 i bttlj+ a i b n j这个乘法可以图示如下：aMainai221矩阵乘法满足结合律:定义我们把主对角线(AB)(从左上脚到右下脚的对角线)C=A (BC)上元素都是1,而其他元素都是0的n阶方阵10川0、010+b4+r1<00HI1J叫作n阶单位矩阵，记作In ,有时简记作I。I有以下性质:n矩阵的乘法和加法满足分配律:A(B+C)=AB+AC , (B+C)A=BA + CA。矩阵的乘法和数与矩阵的乘法显然满足以下运算规律:a(AB) =(aA)B = A(aB )。定义4 设m x n矩阵3ai2IIIain a21a22IIIa2nA =f+

46、*+<amiam2IIIamn J把A的行变为列所得到的 m n矩阵''a、ai2IIIami 'Taa21a22IIIam2A =r,*申0na2nIIIamn J叫作矩阵A的转置。矩阵的转置满足以下规律：T TAT=A,(A+B J =At +Bt, (AB 序 BtAt, (aA 5 =aAT.5.2可逆矩阵矩阵乘积的行列式定义令A是数域 F上的一个 n阶矩阵，若是存在 F上的一个AB = BA = I ,那么叫作一个可逆矩阵（或非奇异矩阵），而定义我们把以下三种矩阵叫作初等矩阵：n阶矩阵B,使得B叫作A的逆矩阵。2i（1Pj10 III 1第i行1；+4r

47、i+ > 11|0第j行1fa4第i列"1、+1Di（k）=k第 i 行（k#0）;1<1JZ1、h41Dj （k ）=k第i行（k # 0 ）;1第i列第j列,1、h1 HI k 第i行Tj（k）=:1h1初等矩阵都是可逆的，并且它们的逆矩仍然是初等矩阵。引理5.2.1设对矩阵A施行一个初等变换后，得到矩阵A，那么A可逆的充要条件是 A可逆。定理5.2.1 一个m X n矩阵A总可以通过初等变换化为以下形式的一个矩阵：-（|O、1 r=r,n _rA =Om_r,r Om_r,n_r 这里Ir是r的单位矩阵，Ost表示sg的零矩阵，r等于A的秩。当A等于单位矩阵I时，A可逆。因为I本身就是I的逆矩阵。当 A不等于I时，A至少有一个元素全是零的行，因而用任意一个n阶矩阵B右乘A时，所得的乘积 AB中也至少有一个元素全是零的行，所以 A不可逆。定理5.2.2 n阶矩阵A可逆，当且仅当它可以写成初等矩阵的乘积。定理