常微分方程自学练习题22

1、常微分方程自学习题及答案一填空题:1 一阶微分方程的通解的图像是维空间上的一族曲线2二阶线性齐次微分方程的两个解yi（x）;y 2（x）为方程的基本解组充分必要条件是18若P(X)是方程组dy A(x)的基本解方阵则该方程组的通解可表示为 .dx19、一般而言，弦振动方程有三类边界条件，分别为：第一类边界条件u(O,t)=g i(t), ； 第二类边界条件(0,t) u(t)，；第三类边界条件F(O,t) kou(O,t) u(t)，xxT上(L,t) klu(L,t) v(t)，其中ko,ki,T都是大于零的常数，u(t),v(t) 为给定的函 x数。20、在偏微分方程组中，如果方程个数 未

2、知函数的个数，则方程组为不定的反之，如果方程的个数 未知函数的个数，则方程组称为超定的。(选填“多于”、“少于”或“等于”)21 、般 2个自变量 2偏微分方程有如下第9页2 2 2 uuua(x,y)2 2b(x,y) c(x, y)一2xxyyd(x,y),e(x,y),f(x,y),g(x,y)f (x, y)u g(x,y)，其中 a(x,y),b(x,y),c(x,y),是(x,y)的连续可微函数，a(x,y),b(x,y),c(x,y) 不同时为0。方程中2 2 2a(x, y)u 2b(x, y)c(x, y)u称为方程的2阶主部。若其2阶主部的系数xxyya,b,c作成的判别式

3、二b2-ac在区域中的某点(x°,y °)大于零，则称方程在点(X0,y°)是型的；如果 =0，则称方程在点(x°,y °)是型的；如果 <0,则称方程在点(X0,y。)是型的。(选填“椭圆”、“双曲”、“抛物”)二单项选择:11方程业x 3 y满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是().dx(A)上半平面 (B) xoy平面 (C)下半平面(D) 除y轴外的全平面2方程吐.y 1() 奇解.dx有无数个(A) 有一个 (B) 有两个 (C) 无 (D)3在下列函数中是微分方程y'' y 0的解的函数是().(A) y

4、1(B) y x (C)y si nx (D) y ex4 方程y'' y ex x的一个特解y*形如().(A) aex b (B) axex bx (C) aex bx c (D) axex bx c5 f(y)连续可微是保证方程dy f (y)解存在且唯一的()条件.dx(A)必要(B)充分 (C)充分必要(D)必要非充分6二阶线性非齐次微分方程的所有解().(A)构成一个2维线性空间(B)构成一个3维线性空间(C)不能构成一个线性空间(D)构成一个无限维线性空间7方程dy 3y 11方程dy4dy 4y 0的一个基本解组是(过点(0,0)有().dx(A)无数个解(B)

5、只有一个解(C)只有两个解(D)只有三个解8初值冋题x'x(0)在区间,上的解是().(A)U(t)(B)u(t)(C)u(t)(D)eu(t)e9方程dxCOSX).(A)一阶非线性方程(B)一阶线性方程(C)超越方程(D)二阶线性方程210方程dy3dx0的通解是()-(A)C1 C2e3x(B)Gx C2e 3x (C) C1C2e3x(D)C2e3x).(A) x,e2x (B)1,e2x(C)2 2x2x2 xx , e (D) e , xe12若y1和y2是方程屯dxp(唸q(x)y 0的两个解，则yeyie22(ei,e 2为任意常数)(A)是该方程的通解(B)是该方程的

6、解(C)不一定是该方程的通解(D)是该方程的特解13方程翌 1 y2过点(0,0)dx的解为ysin x,此解存在().(A) (,)(B)(,0(C)0,)(D),2 214 方程 y' 3x2y ex是().(A) 可分离变量方程(B)齐次方程(C)全微分方程(D)线性非齐次方程15微分方程 包y 0的通解是(). dx x(A) y c (B)y cxx1(C) y 1xc (D) y x c16在下列函数中是微分方程y'' y 0的解的函数是().(A) y 1(B) y x (C)y sin x(D) y ex17方程y'' y ex x的一个

7、数解yx形如().(A) aex b (B)axex bx(C) aexbx c (D)axex bxc0 118初值问题x'x; x(0)1 01在区间1t上的解是().te t(A) u(t)” (B) u(t)ett(C) U(t)te tt (D) % eet三求下列方程的解:1求下列方程的通解或通积分:(1)氏 y1ny dxi y2xdx5xy(4) 2xydx (x2 y2)dy 0 y xy' 2( y')32求方程的解x0t当x=0时,y=2的特解3解方程:dy y2 cosx并求出满足初始条件dx4求方程:理上tg =dx x x5求方程:dy 6y

8、 xy2的通解 dx x6 求(3x2 6xy2)dx (6x2y 4y3)dy 0 的通解7求解方程:d 2今x 0dt4 dt2dtt dt9求方程y''5y'5x2的通解dx1.y .10求下列方程组的通解dtsin tdyxdt11求初值问题y'x yR:x 11 yy(1) 01 1 * 112求方程的通解(1) dyy2(2)dy丄 tan*dx xydxxx42dy5dy4y0dxdx13计算方程y'' 4y 3sin2x的通解14计算方程d2x4竺4xcostdtdt.548求方程:瞑1与0的解15求下列常系数线性微分方程:y&#

9、39;' 2y' 10y xe2x1的解的存在区间并求出第二次近似解(3) (y 3x2)dx (4y x)dy 0 (三种方法)21217试求矩阵1的特征值和对应的特征向量.418试求矩阵5的特征值和特征向量319解方程组y'1 y'2y1y220、2u2y0, x 00,y21、22、23、u0,x求解初值问题（提示：使求解初值问题2u2tu/tD Alembertu/t求解第一初边值问题u/t2u 2b u.,0x(x),0l,t0,t名词解释微分方程伯努利方程2 u2 , x R,t 0x2x ,xx, x公式）0, xc, x,t 00,c为常数0常微

10、分方程、偏微分方程Lipschitz 条件3变量分离方程线性相关第11页五证明题1在方程y p(x)y' q(x)y 0中已知p(x);q(x) 在(；)上连续求证:该方程的任一非零解在 xoy平面上不能与x轴相切.2设xi(t)、X2(t)分别是非齐次性线方程d nxdtnn 1G卅dtGn(t)X沁)d nx dtnn 1G1(t)dn： dtn 1Gn(t)Xf2 (t)证明：X1(t)+X 2(t)是方程d °xdtnn 1GM nXdtn 1Gn (t)xf1 (t) f2(t)的解。3设f (x)在0 ； + 上连续且lim f (x)=0 求证：方程dy y f

11、(x)的一切解y(x)；xdx均有 lim y (x)=04在方程y p(x)y' q(x)y 0中p(x)、q(x)在(,)上连续；求证：若 p(x)恒不)上的严格单调函为零；则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式w( x )是(nn 1an(x)tf2(t)的解5证明：xi(t)+x 2(t)是方程 今 G(t)呻 dedt6证明：函数组e 1x,e 2xxe n (其中当i j时j)在任意区间(a ,b )上线性第15页无关。lim7试证：W Nsin Nx习题答案一填空题:1、22、线性无关(或：它们的朗斯基行列式不等于零)3、ex; xe x4、幵5、y 16、x x1 ydt

12、7、(t)c,c为常数列向量28、y=x +c9、初始10、常微分方程11、e p(x)dx12、x2+y2=c ; c 为任意正常数13、/14、1-12'25x Pc15、666512y -P -P6616、417、018、(x)c ;其中c是确定的n维常数列向量19、 u(l,t)=g 2(t) , (l ,t) v(t)20、多于，少于21、双曲，抛物，椭圆x二单项选择I、D 2 、C 3、C 4、D 5 、B 6 、C 7 、A 8、D 9、A 10、CII、D 12、B 13、D 14、D 15、B 16、C 17、D 18、D三求下列方程的解1 (1 )解：当y o, y

13、 1时，分离变量取不定积分，得(2)(3)虫 dx C yiny通积分为1ny= Ce解：令y= xu , 则dydxdu2x1 udx分离变量，取不定积分，得xdu,代入原方程，得dxdu dx1nC ( C 0).1 u2 x通积分为：arcsin工inCxx解：方程两端同乘以y-5,得5 dy ydx-4=z ，则-4y'5空，代入上式，得dx dx1竺4 dx通解为Ce 4x原方程通解为(4)4y Ce4x解：因为卫y2xN ,所以原方程是全微分方程。x取(xo,y o)=(0, 0)原方程的通积分为x y 2o 2xydx o y dy Cx2y片C3(5)3 解：原方程是克

14、莱洛方程，通解为：y二cx+2c2解:设ydt则方程化为赛0，积分后得y = ct即鱼dtctnsin un xc于是 X=Clt 5+C2t 3+C3t 2+C4t+C 5其中C 1 , C 2 , C 3 , C 4 , C 5为任意常数第21页dn1x(t)dn1x(t)dnx(t)=dtnG1 (t) dtn 1Gn(t)X2(t)Gi(t)缸)")即dtG(tF=f 1(t) + f 2(t)故Xi(t)+X 2(t)为方程dnx(t)dtnGpGnx(t)=f1(t)+f2 (t)的解3 解：将变量分离,得到dy2yCosxdx两边积分，即得sin x c因而，通解为1s

15、in x c这里c是任意常数x=0 , y=1代入通解中以决定任意常数 c，得到C = -1因而，所求特解为1y1 sin xdydxX业u代入，则原方程变为 dxu tgudux udxdudxtgux将上式分离变量,即有ctgudu 鱼x两边积分，得到这里c'是任意函数，整理后，得到sin uc'e x令ee' c,得到sinu 二 cx5 解:令z = y -1得代入原方程得到dzdx2 dy y d；dzdx这是线性方程，求得它的通解为代回原来的变量y ,得到这就是原方程的通解。此外，方程还有解y=0。My12xy.N仆12xyx因此方程是恰当方程。现在求u，使

16、它同时满足如下两个方程u小2亠 23x6xyxu26x y34yy由（1）对x积分，得到ux3 3x2y2(y)，这时6 解： 这里 M =3x2+6xy2 .N = 6x 2y+4y3为了确定（y），将（3）对y求导数，并使它满足（2），即得于是积分后可得u 6x2y Aydy2,36x y 4ydSH = 4y4dy4(y)=y将（y）代入（3）,得到u = x因此，方程的通解为x这里c是任意常数2 24+ 3x y + y224+ 3x y + y =c7 解：特征方程4 2 2 1 0即特征根i是重根,因此方程有四个实值解cost、tcost 、sint 、tsint故通解为 x =

17、(c i+C2t)C0St + (c3+C4t)s in其中C1 ; c 2；C 3 ； C 4为任意常数解：令害y则方程化为:dy 1匸ty积分后得y=ct即宇Ct 于是 x=c it5 + c丄3丄22t + C3t + C其中C1 ; C 2C5为任意常数，这就是原方程的通解。9 解对应齐次方程的特征方程为2 50 ,特征根为10, 25齐次方程的通解为y=C 1+C2e5x因为a=0是特征根。所以，设非齐次方程的特解为2y1（x）=x（Ax + Bx + C ）2代入原方程，比较系数确定出第23页A=B=5，C=25原方程的通解为y CiC2e5x!x33lx252x2510解：先解出

18、齐次方程的通解x =c costy sint+C2 sintcost令非齐次方程特解为xcost二C(t)+C2(t)ysi ntsint costC'i(t),C'2(t)满足costsintsint C'i (t) cost C'2 (t)1sint0解得 C'i(t) 泌,C'2(t) isin t积分，得 Ci(t) insint ,C2 (t) t通解为xcostsintCiC2ysin tcostcosti nsint tsintsin tin sint t cost4故解的存在区间为ii 解：M=maxf (x, y) =4 h m

19、in(a,) M2) qo(x)=Oq1(x)=0x ,(g2q2(x)=0+xg2g 23g1匚dg999xxxx11391860420)dg_g,xx1|333_g_空1評633612求方程的通解dy ydx x y2解:变形dy 乞丄 1x y （1）,将y看作自变量，x为未知函数 dx y y解齐线性方程dx 1 x,通解为x = cydy y令x = c (y)y .(2)微分得,dxd(c(y)y) dydc(y)()y c(y)dydy由(1)(2)知-ydc(y) yc(y)c(y)y yydyydc(y)1,积分得c（y）y 故 x (yc） y （ c是任意常数）dy2)I

20、 tan Idx x x解:令u贝卩y ux, 于是dy xdU uxdx dx则原方程变为xdu u u tanu dx即 tan u dx x将上式分离变量有cot udux积分得1nsinu 1nx , c为任意常数。整理 sinue?x令 ec c 0 得 sinu cx(c 0)方程还有解tanu=0即sinu=0, 故通解为sinu = cx （c为任意常数）3） （y 3x2）dx （4y x）dy 0（三种方法）解：法-，这里 M=y-3x , N= - (4y-x )= 4-4yMy1, N 1,因此此方程是恰当方程x现求u使-y 3x (1),x 4y (2)xy对（1）中

21、x积分得u yx x3（y） （ 3）对(3)中 y 求导-u x d-(y)4yydy积分得(y) 2y2，代入(3)得u yx x3 2y2故通解为yx x3 2y2 c , c为任意常数法二，重新组合得ydx 3x2dx 4ydy xdy 0，即 ydx dx3 2dy2 xdy 0d(xy x3 2y20)于是通解为xy x3 2y2c其中c是任意常数4)(史)4 5(巴)2 4y 0dx dx积分得(5p2十)px c，x5 24p；p4c 51 3cppp44p于是方程通解为51 3cxp-p44p521 4yp-p44(P=0)解:令pdy 则 p45p24y0,y5214ppd

22、x44对x求导得P 5P空p3dp(5 p3、dP Q p ),( P2dxdx2dx 2p3)dp pdx 013方程y'' 4y 3sin 2x的通解解：齐次方程是y 4y 0, 2 4 0, !,22iy & cos2t c2 sin 2t由于2i是特征方程单根故所求特解应具形式 力x(Acos2x bsin 2x)代入原方程4A 3, B 0 A-,B 04y13 xcos2x4故通解为y3xcos2x q cos2t4c2 sin2t，其中C1C2为任意常数第15页14吐处4x costdt dt解：特征方程244 0有重根1516因此对应齐线性方程的通解为因

23、为i不是特征根，现求形如代入原方程化简于是3A 4B 14A 3B 0故通解为x (5(3A -4B)cost25425c2t)e2t求下列常系数线性微分方程对应的齐次方程为y'' 2y'特征根为a故原方程有形如故原方程通解为2解：因为A01 3i aC C2t)e2t，其中d,C2为任意常数。Acost Bsint的特征解,(4Acost253B)si nt cost25sint其中c1,c2为任意常数10y0特征方程为22不是特征根,y*=(ax+b) e得到 expAt exp 2 ° t0 2'但是,2!(c1 costexp10 0所以,级数

24、只有两项。因此,2x的特解代入原方程得a丄,b丄1050c2s"3t)(存却$，(恥2为任意常数)11而且后面的两个矩阵是可交换的02te012teE +0 1 t +0 0基解矩阵就是expAt e2t 1 t0 02第31页17 解：特征方程为det( E A)因此， 3是A的二重特征值.为了寻求对应于3的特征向量，考虑方程(3E A)c 1C1C2因此，向量1819是对应于特征值解A特征方程为det（A特征根为(A 1E)u对应于2(A 2E)v1,23 5i5i 55 5i3的特征向量，其中aE)对应于1=3+5i0解得5i特征向量v解得v 122的特征方程为满足det(0是

25、任意常数.636 0的特征向量uu满足ua 0为任意常数为任意常数A)(1)(4)01=1,2=4 为特征根，（A 4E）u 为方程组解a为任意常数.(A 4E)u 0u2为方程组解.为方程的解这样y：1y (x)20、解：u(xo,yo) -022dx(x xo) yoYoUodxo22(x xo) yo址址arcta门(凶)2yo即 u(x,y)Up2史 arctan(x)21、解：由 D' Alembert 公式2 (x公式为u (x, t)1 2 则u(x,t) 2(x at) (xat) (x2at)at) 丄 2aatat12adx atx at ()d2 2 2=x a

26、txt22、解：由1u(x,t) (x2)e4t令 x2、t则 u(x,t)c2tc0x2,ftc0x2 t()de2ex e2 .t2da2c2、t2 td2oe d 2(X )e 4t d已知误差函数定义erf (a)2 e do D故 u(x,t) -1223、解：第一步对方程进行化简，使其不包括b2u项。令u=veat，代入方程，有2v/tv/x0 v/x l 0,t0的解。由分离变量法，得V atat 2 V at 2 at 门teave a e b ve，0 x l，t 0ixv/t 0(x),0 x lv/x 0 v/x l 0,0 x l令a=-b2,则u=ve b 1 ,v为

27、定解问题22 Ua2,0 xl,t 0x0(x),0 xl第33页v(x, y)、 k)sin d lu(x,t)L) ke 丨四名词解释1联系着自变量、未知函数及它的导数的关系式，称之为微分方程。2如果在微分方程中，自变量的个数只有一个，称这种微分方程的个数为两个或两 个以上的微分方程称为偏微分方程。3形如业 f(x) (y)dx的方程，称为变量分离方程，这里f(x) (y)分别是x , y的连续函数。4 形如dy P(x)y Q(x)yndx的方程，称为伯努利方程，这里P(x),Q(x)为x的连续函数，n 0,1是常数5函数f (x , y) 称为在R上关于y满足Lipschitz条件，如

28、果存在常数 L>0,使得 不等式 f(x.yjf(x$2)L%讨2对于所有(x,y1),(x,y2)R都成立,L称为Lipschitz常数.6定义在区间a t b上的函数x1(t), x2 (t), xk (t),如果存在不全为零的常数 C1 , C2, .C k使得恒等式&为北)C2X2(t) CkXk(t)0对于所有t a,b都成立，称这些函数是线性相关的.五1在方程y'' p(x)y' q(x)y 0中，已知p (x),q (x) 在(，)上连续，求证:该方程的任一非零解在xoy平面上不能与x轴相切.证明：方程y'' p(x)y

29、9; q(x)y 0，设y (x)是它的任一非零解若p (x),q (x) 在(，)上连续，假设y(x)在xoy平面上与轴相切。则y'(x)0, y''0与方程有非零解(x)矛盾。第39页(X)与X轴不相切。n 1$(咛Gn(t)X1f,t)dnx dtnG1(t)殆dtn 1Gn(t)X2f2(t)把 X1(t)+X 2(t)代入方程-nXdtnG1 (t) d1Xdtn 1x(t)fjt)f2(t)由左端得d"(x(t)x(t) G1 d"1(x(t)x(t)dtndtn 1Gn(t)(X1(t)X2(t) =dnx(t) dnx(t) G(t)

30、dn1x(t)G1(t)rdtnGn*Gn(t)X1 (t)Gn(t)X2(t)3 证明 设y二y(x)是方程任一解，满足y (x0)= y 0，该解的表达式为取极限y(x)lim y(x)证明设y。x X0elimXX X0e0limXXf (s)e(s X0)dsX0(s Xo)X X0ef (s)e(s Xo)dslimXX0Xef (x)e(X X0)ex X0yi(x),y 2(x)是方程的基本解组Xof(s)e(s X0)dsXof(s)e(s X0)dsX0,则对任意x),它们朗斯基行列式)上有定义，且W(x) 0 .又由刘维尔公式:c p(s)dsW(x) W(x°)e X0,X0(W(x) W(X0)eXX0P(s)dsP(x),由于W(x。)0, p(x) 0,于是对一切x (有W'(x)0或W '(x)0故W(x)是(，)上的严格单调函数答案略6 证明:已知函数组的wronshi行列式为e1 x,e 2Xen x1 X2 X1e,2en en11 Xn12 XX1e ,2e 2W(x)=nXn 1Xn enX)1 11