高二数学对称问题学习教案

1、会计学1高二数学对称问题高二数学对称问题第一页，编辑于星期三：六点 五十九分。一一.中心对称中心对称(关于点的对称关于点的对称)(一）点关于点的对称一）点关于点的对称 点点P P1 1(x(x1 1,y,y1 1) )关于点关于点M(m,n)M(m,n)对称的点对称的点P P2 2为为(2m-x(2m-x1,1,2n-y2n-y1 1););特别地特别地,P(x,y),P(x,y)关于原点关于原点(0,0)(0,0)的的对称点坐标为对称点坐标为(-x,-y).(-x,-y).练习练习:(1)求点求点P(2,5)关于点关于点Q(-3,-7)的对称点的对称点. (2)若点若点A(0,-3)关于点关

2、于点M的对称点为的对称点为B(-7,5).求求M的的坐标坐标.第1页/共17页第二页，编辑于星期三：六点 五十九分。(二）直线关于点的对称二）直线关于点的对称 直线直线l:Ax+By+C=0关于点关于点M(m,n)对称的直线对称的直线l1的方程为的方程为A(2m-x)+B(2n-y)+C=0. 例例1.求直线求直线m:2x+3y-1=02x+3y-1=0关于点关于点P(1,4)P(1,4)对称的对称的直线直线n n的方程的方程. .解解:(法一法一)直接代入上面结论直接代入上面结论 (法二法二)在直线在直线m上任取两点上任取两点A,B.则则A,B关于点关于点P的对称点落的对称点落在直线在直线n

3、上上. (法三法三)显然直线显然直线m和直线和直线n是平行直线是平行直线,因此斜率相等因此斜率相等.一般地：曲线一般地：曲线f（x，y）=0关于点关于点M（m，n）的对称曲线方程）的对称曲线方程为为f（2m-x，2n-y）=0 特别地曲线特别地曲线f（x，y）=0关于原点（关于原点（0，0）的对称曲线方程为）的对称曲线方程为f（-x，-y）=0 .第2页/共17页第三页，编辑于星期三：六点 五十九分。二二.轴对称轴对称(即关于直线的对称即关于直线的对称)例例2.求点求点A(-7,1)关于直线关于直线l:2x-y-5=0的对称点的对称点B的坐标的坐标.解解(法一法一) 设设B(m,n）由点关于直

4、线对称的定义知）由点关于直线对称的定义知: 线段线段ABl 即; =-1 2)7(1mn线段线段AB被直线被直线l平分平分,即线段即线段AB的中点的中点21,27 nm在直线在直线l上上,故有故有 2 - -5=0 27m21n(一一)点关于直线的对称点关于直线的对称:联立联立 解得解得m=9 n= -7B(9,-7)第3页/共17页第四页，编辑于星期三：六点 五十九分。（法二）（法二）直线直线ABl, 直线直线AB过点（过点（-7，1）直线直线AB的方程为的方程为y-1=- y-1=- （x+7x+7） 即即x+2y+5=0 x+2y+5=021052052yxyx由 解得 13xy即即AB

5、的中点为（的中点为（1，-3） ，又，又A（-7，1）由中点坐标公式得由中点坐标公式得B的坐标为（的坐标为（9，-7）.小结小结:求点求点P(x0,y0)关于直线关于直线l:Ax+By+C=0By+C=0对称点对称点Q(x1,y1)的方法的方法:(1)（综合求解）（综合求解） 由点关于直线对称的定义及直线由点关于直线对称的定义及直线l垂直平分线段垂直平分线段PQ得方程组得方程组:第4页/共17页第五页，编辑于星期三：六点 五十九分。)2(022) 1 (101010101CyyBxxABAxxyy由（由（1）（）（2）可解得）可解得x1,y1的值即对称点的值即对称点Q的坐标的坐标(2)（分步求

6、解）可先求直线（分步求解）可先求直线PQ的方程的方程,然后解出直然后解出直线线PQ与直线与直线l的交点即线段的交点即线段PQ的中点的中点M的坐标的坐标,最后利最后利用中点坐标公式用中点坐标公式,求出对称点求出对称点Q的坐标的坐标.（3）（利用公式）点P（x0，y0）关于直线Ax+By+C=0的对称点Q的坐标为22000220002,2BACByAxByBACByAxAx第5页/共17页第六页，编辑于星期三：六点 五十九分。一般地一般地：1、点（、点（x0，y0）关于直线）关于直线y=x的对称点为（的对称点为（y0，x0）2、点（、点（x0，y0）关于直线）关于直线y=-x的对称点为（的对称点为

7、（-y0，-x0）3、点（、点（x0，y0）关于直线）关于直线y=x+b的对称点为（的对称点为（y0-b，x0+b）4、点（、点（x0，y0）关于直线）关于直线y=-x+b的对称点为（的对称点为（b-y0，-x0+b）5、点（、点（x0，y0）关于直线）关于直线y=0（即（即x轴）的对称点为（轴）的对称点为（ x0，-y0）6、点（、点（x0，y0）关于直线）关于直线x=0（即（即y轴）的对称点为（轴）的对称点为（-x0，y0） 7、点（点（x0，y0）关于直线）关于直线y=m的对称点为（的对称点为（x0，2m-y0）8、点（、点（x0，y0）关于直线）关于直线x=n的对称点为（的对称点为（2

8、n-x0，y0） 注：注：当对称轴的斜率为当对称轴的斜率为1或对称轴与或对称轴与坐标轴垂直坐标轴垂直时可用上述方法直接求出对称点的坐标。时可用上述方法直接求出对称点的坐标。第6页/共17页第七页，编辑于星期三：六点 五十九分。（二）直线关于直线的对称（二）直线关于直线的对称例例3.求直线求直线m: x-y-2=0关于直线关于直线l: 3x-y+3=0对称的直线对称的直线n的方程的方程.解解: xyomnl在直线在直线x-y-2=0上任取一点如上任取一点如A(2,0),则则A关于直关于直线线l的对称点的对称点A1 落落 在直线在直线n上上,然后解出直线然后解出直线l和和m的交点的交点,由直线方程

9、的由直线方程的两点式求出直线两点式求出直线n的方程的方程.59,517第7页/共17页第八页，编辑于星期三：六点 五十九分。一般地：求直线关于直线对称的直线方程利用求交点和斜率；也可以转化为求点关于直线的对称点来解决。一般地：求直线关于直线对称的直线方程利用求交点和斜率；也可以转化为求点关于直线的对称点来解决。特别地：当对称轴所在的直线与坐标轴垂直或斜率为特别地：当对称轴所在的直线与坐标轴垂直或斜率为1时可用以下结论直接代入；时可用以下结论直接代入；第8页/共17页第九页，编辑于星期三：六点 五十九分。0CByAxl的方程为设直线0)(CyBAx0)(CByxA1. 直线关于原点的对称直线的方

10、程为直线关于原点的对称直线的方程为:2.直线关于直线关于x轴的对称直线的方程为轴的对称直线的方程为:3.直线关于直线关于y轴的对称直线的方程为轴的对称直线的方程为:4.直线关于直线直线关于直线y=x的对称直线的方程为的对称直线的方程为:5.直线关于直线直线关于直线y= -x的对称直线的方程为的对称直线的方程为0CAyBx0)()(CxByA0)()(CybxA第9页/共17页第十页，编辑于星期三：六点 五十九分。三三.对称问题的应用：对称问题的应用：（一）涉及定直线（一）涉及定直线l上一点上一点P与两定点与两定点A，B的距离和（或差）的最值问题的距离和（或差）的最值问题1.若若A，B两点在直线

11、的同侧：两点在直线的同侧：（1）设点）设点B关于直线的对称点为点关于直线的对称点为点C,则直线则直线AC与直线与直线l的交点的交点P使得使得|PA|+|PB|最小；最小；（2）直线）直线AB与直线与直线l的交点的交点P使得使得|PA|-|PB|最大。最大。2.若若A,B两点在直线的异侧两点在直线的异侧:(1)直线直线AB与直线与直线l的交点的交点P使得使得|PA|+|PB|最小最小;(2)设点设点B关于直线的对称点为点关于直线的对称点为点C,则直线则直线AC与直线与直线l的交点的交点P使得使得|PA|-|PB|最大最大.第10页/共17页第十一页，编辑于星期三：六点 五十九分。(二二)涉及角平

12、分线及光线的入射和反射问题一般都转化为对称问题来解决涉及角平分线及光线的入射和反射问题一般都转化为对称问题来解决. 例例5.已知两点已知两点A(2,15),B(-3,5),在直线在直线l:3x-4y+4=0上找一点上找一点P,使得使得:(1)|PA|+|PB|最小最小,并求出其最小值并求出其最小值;(2)|PA|-|PB|最大最大,并求出其最大值并求出其最大值.第11页/共17页第十二页，编辑于星期三：六点 五十九分。例例6、一光线从点、一光线从点A (3，5 ) 射到直线射到直线 l ：3x4y + 4 = 0 上后，反射到点上后，反射到点B ( 2，3 )，求，求反射光线所在直线方程。反射

13、光线所在直线方程。解：设解：设 A 关于关于 l 的对称点的对称点 A1 ( a, b )故所求反射光线方程为故所求反射光线方程为 6x + y 15 = 0结论结论: 入射光线与反射光线关于镜面直线对称入射光线与反射光线关于镜面直线对称光线从光线从A到到B所经所经过的路程过的路程第12页/共17页第十三页，编辑于星期三：六点 五十九分。练习题：练习题：(1)(1)点点M (-1,3)M (-1,3)关于直线关于直线x+y-1=0 x+y-1=0的对称点为的对称点为_关于直线关于直线y=2xy=2x的对称点为的对称点为_ _ _ _ 关于点关于点(9,0)(9,0)的对称点为的对称点为 (2)

14、(2)直线直线x+2y-1=0 x+2y-1=0关于直线关于直线x-y+2=0 x-y+2=0的对称直线的方程为的对称直线的方程为_关于直线关于直线y=-xy=-x的对称直线为的对称直线为_关于直线关于直线x+3=0 x+3=0对称直线为对称直线为_(3)(3)直线直线3x-4y+3=03x-4y+3=0关于关于x x轴对称的直线方程为轴对称的直线方程为_关于关于y y轴的对称直线方程为轴的对称直线方程为_关于原点的对称直线方程为关于原点的对称直线方程为 (4)光线从光线从M(-2,3)射到射到x轴上一点轴上一点P(1,0)后被后被x轴反射轴反射,则入射光线和反射光线所在的直线方程分别为则入射

15、光线和反射光线所在的直线方程分别为_若光线射到直线若光线射到直线y=2x上呢上呢?(5)光线沿着斜率为光线沿着斜率为 的直线的直线l1射在斜率为射在斜率为 的直线的直线l2上反射上反射,若若l1和和l2的交点为的交点为(-1,2),求反射光线所在的直线方程求反射光线所在的直线方程.2123第13页/共17页第十四页，编辑于星期三：六点 五十九分。 (6)已知已知ABC的一个顶点的一个顶点A(4,-1),其内角其内角B,C的平分线方程分别为的平分线方程分别为y=x-1和和x=1,求边求边BC,AB所在的直线方程所在的直线方程. (7)直线直线y=2x是是ABC中角中角C的平分线所在的直线方程的平

16、分线所在的直线方程, A(-4,2),B(3,1)求求C的坐标的坐标,并判断并判断ABC的形状的形状. (8) ABC的两条高线方程为的两条高线方程为2x-3y+1=0和和x+y=0,顶点顶点A的坐标为的坐标为(1,2),求求BC 边所在的直线方程边所在的直线方程. (9)已知已知ABC的一个顶点的一个顶点A(-4,2),中线中线BD,CE所在的直线方程分别为所在的直线方程分别为3x-2y+2=0和和3x+5y-12=0,求边求边BC所在的直线方程所在的直线方程. (10)已知已知ABC的一个顶点的一个顶点A(3,-1),AB边上的中线所在的直线方程为边上的中线所在的直线方程为6x+10y-59=0B的平分线所在直线方程为的平分线所在直线方程为x-4y+10=0,求边求边BC所在的直线方程所在的直线方程.第14页/共17页第十五页，编辑于星期三：六点 五十九分。 (11)已知点已知点A(2,0)