武汉理工大学大学物理实验数据处理基础知识

1、教教 师：冷春江师：冷春江武汉理工大学理学院武汉理工大学理学院 2014年年11月月目录有效数字有效数字的概念 仪器的读数规则仪器的读数规则 首先读出能够从仪器上直接读出的准确数字，对余下首先读出能够从仪器上直接读出的准确数字，对余下部分再进行估计读数。即将读数过程分为直读和估读。部分再进行估计读数。即将读数过程分为直读和估读。 0 1 2 3 4 5 6 7 直读直读准确数字准确数字7.4cm可靠数字可靠数字 估读估读余下部分约为余下部分约为0.03cm存疑数字存疑数字物体的长度即为物体的长度即为7.43cm l 有效数字：有效数字：物理实验中的有效数字是针对测量中的数据物理实验中的有效数字

2、是针对测量中的数据 定义的概念定义的概念, ,是一个有单位的数据是一个有单位的数据, ,由若干位由若干位可靠数字可靠数字及及 末尾一位末尾一位存疑数字存疑数字组成。组成。7 7有效数字1.采用四舍五入法对有效数字进行取舍采用四舍五入法对有效数字进行取舍.2.加减法加减法: 结果的可疑位与参与运算数据中结果的可疑位与参与运算数据中存疑位数量存疑位数量级最高级最高的对齐的对齐. 例如例如: 2.327+10.8=13.127 2.327+10.8=13.13.乘除法乘除法: 结果的有效数字的位数与参与运算数据中有结果的有效数字的位数与参与运算数据中有效数字效数字位数最少位数最少的相同的相同. 例如

3、：例如：2327108=251316 2327108=2.511054.、g等或者在公式中出现的等或者在公式中出现的常数常数可视为无穷多位，使可视为无穷多位，使用时所取的位数不少于参与运算数据中位数最少的。用时所取的位数不少于参与运算数据中位数最少的。 例如：例如：V=D2/4 =3.142 2.32724 或者或者 =3.14162.32724有效数字对有效数字的几点说明1.实验中的数字与数学上的数字是不一样的。如实验中的数字与数学上的数字是不一样的。如 数学的数学的 8.35=8.350=8.3500 实验的实验的 8.358.3508.3500 2.有效数字的位数与被测量的大小及仪器的精

4、密度有关。有效数字的位数与被测量的大小及仪器的精密度有关。 3.第一个非零数字前的零不是有效数字，第一个非零数字第一个非零数字前的零不是有效数字，第一个非零数字 开始的所有数字开始的所有数字(包括零包括零)都是有效数字。如都是有效数字。如 2.327kg有有4位有效数字位有效数字,其中其中7是存疑数字是存疑数字; 220v有有3位有效数字位有效数字,其中其中0是存疑数字是存疑数字; 0.002cm有有1位有效数字位有效数字,其中其中2是存疑数字是存疑数字; 0.00mm有有1位有效数字位有效数字,其中末位其中末位0是存疑数字是存疑数字.4.单位的变换不能改变有效数字的位数。如单位的变换不能改变

5、有效数字的位数。如 2.327kg=2.32710-3t=2327g= 2.327106mg5.实验中要求尽量使用科学计数法（小数点前仅写出一位实验中要求尽量使用科学计数法（小数点前仅写出一位 非零数字）表示数据。非零数字）表示数据。 数学上数学上 改变了有效数字的位数改变了有效数字的位数 科学计数法科学计数法 不改变有效数字的位数不改变有效数字的位数 100.210020100200mcmmm2141.002 101.002 101.002 10mkmcm对有效数字的几点说明目录测量测量就是以确定被测量对象的量值就是以确定被测量对象的量值为目的的所有操作。为目的的所有操作。记录下来的记录下来

6、的测量结果测量结果应该包含测量应该包含测量值的值的大小大小和和单位单位，二者缺一不可。，二者缺一不可。 测量的分类 按测量方式分：按测量方式分：直接测量直接测量：待测物理量的大小可以从选待测物理量的大小可以从选定好的测量仪器或仪表上直接读出来的测定好的测量仪器或仪表上直接读出来的测量。相应的待测物理量称为直接测量量。量。相应的待测物理量称为直接测量量。 间接测量间接测量：待测物理量需根据直接测量待测物理量需根据直接测量的值，通过一定的函数关系，才能计算出的值，通过一定的函数关系，才能计算出来的测量过程。相应的待测量称为间接测来的测量过程。相应的待测量称为间接测量量。量量。 直接测量 直接测量量

7、：间接测量间接测量量：测量的分类 按测量条件按测量条件 等精度测量等精度测量：在相同的测量方法和条件在相同的测量方法和条件 下，多次测量同一个物理量。下，多次测量同一个物理量。 不等精度测量不等精度测量：在不同的测量方法和条在不同的测量方法和条 件下，多次测量同一个物理量件下，多次测量同一个物理量测量值、平均值（最佳估计值）测量值、平均值（最佳估计值）真值：真值：被测量物理量所具有的、客观的、真实的被测量物理量所具有的、客观的、真实的 量值，用量值，用x0表示，它不能通过测量得到表示，它不能通过测量得到。 测量值：测量值：通过测量所获得的被测物理量的值通过测量所获得的被测物理量的值。平均值平均

8、值（最佳估计值）（最佳估计值）：在相同条件下，对某物在相同条件下，对某物理量进行理量进行n n次测量，这次测量，这n n个测量结果个测量结果 , ,称为一个称为一个测量列测量列，取这，取这n n次独立测量值的算术次独立测量值的算术平均值，记为平均值，记为 。即。即 12,nx xxx11niixxn在处理测量数据时常用物理量的平均值代替其真值。在处理测量数据时常用物理量的平均值代替其真值。 直接测量量记数方法直接测量量记数方法 1 1 如如:1/50mm:1/50mm的游标的游标卡尺的游标分度值卡尺的游标分度值0.02mm,0.02mm,因此因此, ,记录测记录测量结果时量结果时, , 最后一

9、位最后一位有效数字应记录到有效数字应记录到1/100mm1/100mm位位. .1游标类游标类量具，有效数字量具，有效数字最后一位与游标分度值对齐最后一位与游标分度值对齐.直接测量量记数方法直接测量量记数方法 2 22数显仪表数显仪表及有十进步式标度盘的仪表（电阻箱、及有十进步式标度盘的仪表（电阻箱、电桥、电位差计、数字电压表等）一般应电桥、电位差计、数字电压表等）一般应直接读直接读取仪表的示值取仪表的示值。直接测量量记数方法直接测量量记数方法 3 33.3.米尺、指针式仪表这类的米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器刻度式仪器，估读估读到最小分度值的到最小分度值的1/101/10（不能估读到（不能

10、估读到0.10.1分度分度以下）以下）. .5.737mm直接测量量记数方法直接测量量记数方法 4 44. 如下图，尺子如下图，尺子只标出整刻度和半刻度线只标出整刻度和半刻度线时时, 则则认为半刻度线没有认为半刻度线没有标出，仍然按照标出，仍然按照3中的方中的方式估读。因为图中的最小分度值为式估读。因为图中的最小分度值为1，红色部，红色部分的长度估读为分的长度估读为1.1或或1.2都可以。都可以。 1 2 3目录概念：概念：测量值与真值之差定义为误差，测量值与真值之差定义为误差，记为记为 ，即，即表示方法：表示方法：绝对误差绝对误差= = 测量值测量值 真值真值 相对误差相对误差= = 100

11、100分类：分类：系统误差和随机误差系统误差和随机误差绝对误差差真真值值i0iixx目录 扩展不确定度概念：概念：计算出最佳值（平均值）后，在最计算出最佳值（平均值）后，在最佳值附近指出一误差区间，使测量值出现佳值附近指出一误差区间，使测量值出现在这个区间的次数达到一定的几率。这个在这个区间的次数达到一定的几率。这个几率称为置信率（几率称为置信率（P），相应的区间称为置），相应的区间称为置信区间，区间半宽用信区间，区间半宽用u表示。表示。测量的不确定度测量的不确定度l 例如：在例如：在对某物体长度测量的实验后得到，对某物体长度测量的实验后得到， P=68%P=68%， 表明该物体长度的测量值落

12、在区间表明该物体长度的测量值落在区间5.81,5.875.81,5.87的几率的几率 为为68%68%。5.84xcm0.03ucm置信率和置信区间置信率和置信区间 扩展不确定度 概念：概念：不确定度是与测量结果相关的参数不确定度是与测量结果相关的参数, , 表示合表示合理赋予的被测量的测量值（列）的分散性理赋予的被测量的测量值（列）的分散性. .用用u表示表示, , u越大表示被测量的测量值（列）的分散性越大越大表示被测量的测量值（列）的分散性越大. .1. 不确定度表示一个区间不确定度表示一个区间（范围）。被测量的测量值（范围）。被测量的测量值以一定的置信率存在于此区间中。以一定的置信率存

13、在于此区间中。2.不确定度可以根据实验、资料、经验等进行评定，不确定度可以根据实验、资料、经验等进行评定，从而从而可以定量确定可以定量确定。3.测量不确定度的大小可以定量确定，而误差表示测测量不确定度的大小可以定量确定，而误差表示测量值偏离真值的大小，是个确定的值，但是无法计量值偏离真值的大小，是个确定的值，但是无法计算出来，（无法知道被测量的真值）。算出来，（无法知道被测量的真值）。 扩展不确定度直接测量量不确定度的分类直接测量量不确定度的分类 按不确定度的数值评定方式，可分为按不确定度的数值评定方式，可分为 A类类不确定度不确定度用统计方法确定的分量用统计方法确定的分量 B类类不确定度不确

14、定度用其他方法确定的分量用其他方法确定的分量 要计算直接测量量的不确定度，要要计算直接测量量的不确定度，要首先首先求求出所有的出所有的 A类和类和B类分量，类分量，然后然后再合成不再合成不确定度。确定度。 直接测量量的直接测量量的A类标准不确定度的计算类标准不确定度的计算 A类标准不确定度用类标准不确定度用 表示。表示。 使用此式时使用此式时, 测量次数测量次数n应充分多应充分多, 要求要求n6.21()( )(1)niixxu xn n( )u x 扩展不确定度直接测量量的直接测量量的B类标准不确定度的计算类标准不确定度的计算 如果已知被测量的测量值如果已知被测量的测量值 分散区间的半宽为分

15、散区间的半宽为a，且落在，且落在 至至 区间的概率为区间的概率为100%100%，通过对其分布规律的估计可得出通过对其分布规律的估计可得出B B类标准不确类标准不确定度定度u u为：为： 是包含因子，取决于测量值的分布规律。是包含因子，取决于测量值的分布规律。ixaxiaxiiikaxu)(ik3k l 物理实验中物理实验中没有特别说明时，没有特别说明时，使用矩形分布使用矩形分布 （平均分布）计算（平均分布）计算B类不确定度，此时类不确定度，此时 。 直接测量量的直接测量量的B类标准不确定度的计算（续）类标准不确定度的计算（续）1. 1. 如果检定证书、说明书等资料明确给出了不如果检定证书、说

16、明书等资料明确给出了不确定度确定度 及包含因子及包含因子 时，则时，则 ，B B类标准不确定度为类标准不确定度为 )(ixUik( )iaU x( )( )iiiiU xau xkk【例题例题】校准证书上给出标称值为校准证书上给出标称值为1kg1kg的砝码质的砝码质量量 ，包含因子，包含因子 ，（扩展）不确，（扩展）不确定度为定度为U = 0.24 mg，由此可确定砝码的，由此可确定砝码的B B类标准不类标准不确定度确定度 1000.00032mg3k ( )0.24( )0.0803U mu mmgk2. 在缺乏任何信息的情况下，一般使用均匀分在缺乏任何信息的情况下，一般使用均匀分布，布，

17、，而，而a则取仪器的则取仪器的最大允许误差最大允许误差（误差限）（误差限） ，所以，所以B类标准不确定度为类标准不确定度为 3k )(ix( )( )3iiixau xk【例题例题】知道某游标卡尺的仪器最大允许误差为知道某游标卡尺的仪器最大允许误差为 =0.05mm=0.05mm，使用矩形分布计算标准不确定度。，使用矩形分布计算标准不确定度。 0.050.029 mm3uk 扩展不确定度1.1.仪器的示值误差限通常可以仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技在仪器说明书或技术标准中查术标准中查到，讲义中第到，讲义中第1313页列出了几种常用仪页列出了几种常用仪器的示值误差限，需要时可查阅。器的

18、示值误差限，需要时可查阅。2.2.电测量指示仪表电测量指示仪表的最大允许误差与仪表的准确的最大允许误差与仪表的准确度级别有关。电测量仪表的准确度级别分为七级：度级别有关。电测量仪表的准确度级别分为七级：0.10.1，0.2,0.50.2,0.5，1.01.0，1.51.5，2.52.5，5.05.0。由仪表的。由仪表的准确度级别与所用量程可以推算出仪表的示值误准确度级别与所用量程可以推算出仪表的示值误差限：差限： = =量程量程准确度等级准确度等级/100/100 电学仪表的准确度等级通常都刻写在度盘上，使电学仪表的准确度等级通常都刻写在度盘上，使用时应记下其准确度等级，以便计算。用时应记下其

19、准确度等级，以便计算。仪器最大允许误差（误差限）的确定方法仪器最大允许误差（误差限）的确定方法2.5级=52.5/100=0.125V 3.数字显示仪表数字显示仪表在缺乏说明的在缺乏说明的情况下，取其情况下，取其最小分度值作最小分度值作为其仪器的示为其仪器的示值误差限。值误差限。0.01mA仪器最大允许误差（误差限）的确定方法（续）仪器最大允许误差（误差限）的确定方法（续） 4.未加说明的仪器未加说明的仪器， 如果无法得知其误差如果无法得知其误差限，一般取仪器最小分度的一半作为其仪限，一般取仪器最小分度的一半作为其仪器误差限。器误差限。 仪器最大允许误差（误差限）的确定方法（续）仪器最大允许误

20、差（误差限）的确定方法（续） =0.5mm 扩展不确定度 扩展不确定度 A类和类和B类不确定度的合成标准不确度类不确定度的合成标准不确度 ： ( )cux22( )( )( )cABu xuxux( )0Aux ( )( )cBuxuxl 说明：当进行的说明：当进行的测量只有测量只有1次次时，取时，取 则则 如果一个测量量的如果一个测量量的B B类不确定度有多个部类不确定度有多个部分构成，则分构成，则B B类不确定度的合成不确定度类不确定度的合成不确定度为为2212( )( )( ).BBBuxuxux直接测量量的合成标准不确定度（续）直接测量量的合成标准不确定度（续）【例题例题】用螺旋测微计

21、测某一钢丝的直径，用螺旋测微计测某一钢丝的直径，6 6次测量值次测量值 分别为：分别为：0.249, 0.250, 0.247, 0.251, 0.253, 0.249, 0.250, 0.247, 0.251, 0.253, 0.250; 0.250; 单位单位mmmm，已知螺旋测微计的仪器误差为，已知螺旋测微计的仪器误差为仪仪=0.004mm=0.004mm，请给出测量的合成标准不确定度。，请给出测量的合成标准不确定度。解：解：测量最佳估计值测量最佳估计值 1(0.2490.2500.2470.2510.2530.250)0.2506ymmA A类标准不确定度类标准不确定度 21()0.0

22、0082mm(1)niiAyyun n B B类标准不确定度类标准不确定度 0.0040.002333Bumm仪 合成不确定度合成不确定度 22( )0.0024mmcABuyuuiy 扩展不确定度间接测量量间接测量量 ， 其中其中 为直接测量量为直接测量量12(,)NYf XXX12,NXXXY的估计值的估计值y 的标准不确定度，要由的标准不确定度，要由 的标准不确定度适当合成求的标准不确定度适当合成求得，称为估计值得，称为估计值y 的的合成标准不确定度合成标准不确定度, 记为记为 。12,NXXX)(yuc间接测量量的不确定度计算（续）间接测量量的不确定度计算（续）12123(,)NYf

23、XXXaXbXcX对于形如对于形如的函数形式（的函数形式（和差关系和差关系）, , 合成标准不确定度合成标准不确定度的计算方法为的计算方法为: : 222123123( )()()().cfffuyu xu xu xxxx【例题例题】某实验的测量式为某实验的测量式为 ， 为为直接测量量，其中直接测量量，其中 ， ，则间接测量量的合成标准不确定度为则间接测量量的合成标准不确定度为 1243YXX12,XX1()0.03u xg2()0.05u xg22( )(4 0.03)(3 0.05)0.19cuygg间接测量量的不确定度计算（续）间接测量量的不确定度计算（续）对于形如对于形如 的函数形式（

24、的函数形式（积商关系积商关系），则先求其），则先求其相对相对合成标合成标准不确定度：准不确定度： NpNppNXXcXXXXfY212121),(222312123123( )( )()()().creluypppuyu xu xu xyxxx说明：说明：对于被测量对于被测量Y Y的平均值的平均值 ，按如下方式计算：，按如下方式计算： y12( ,)yf x x合成标准不确定度合成标准不确定度 ( )( )creluyy uy间接测量量的不确定度计算（续）间接测量量的不确定度计算（续）【例题例题】圆柱体的体积公式为圆柱体的体积公式为 。设已经测。设已经测得得 ， ，写出体积的相对合成，写出体积

25、的相对合成标准不确定度表达式。标准不确定度表达式。214Vd h)(duddc)(huhhc 解：此体积公式形如解：此体积公式形如 其中其中 ， ， ， 。 1Xd2Xh12p 21p 121212(,)NpppNNYf XXXcXXX体积的相对合成标准不确定度表达式为体积的相对合成标准不确定度表达式为22( )21( )( )( )crelccu VuVu du hVdh222312123123( )( )( )()().creluypppuyu xu xu xyxxx根据根据扩展不确定度 计算方法：计算方法：将合成不确定度将合成不确定度 乘以一个乘以一个扩扩展因子展因子m，即得扩展不确定度

26、，即得扩展不确定度, , 用用U U表示，即表示，即)(yuc( )cUm uy 说明：说明：一般来说，被测量真值落在一般来说，被测量真值落在 区间的概率大约只有区间的概率大约只有68%68%，为了提高置信率，可以采取扩展置信区间的为了提高置信率，可以采取扩展置信区间的方法方法( )( )ccyuyyuy， 在物理实验课程中，在物理实验课程中，扩展因子扩展因子m = 2，即，即 )(2yuUc此时置信率约为此时置信率约为95%95%目录物理实验中，用扩展不确定度报告测量结果物理实验中，用扩展不确定度报告测量结果 单位单位 单位单位 ( )yyU y( )yyU y( )( )y y U yy

27、y U y -单位单位单位单位测量结果的有效数字取舍 对于测量结果（对于测量结果（ 单位）的有效单位）的有效数字，要数字，要先确定先确定不确定度的有效数字，不确定度的有效数字，再确再确定定最佳估计值的有效数字。最佳估计值的有效数字。 按国家技术规范按国家技术规范测量不确定度的有效数字最多不测量不确定度的有效数字最多不超过超过2位。位。在学生实验中，由于测量次数有限及在学生实验中，由于测量次数有限及其它因素，结果的准确性有限，故可以只取一其它因素，结果的准确性有限，故可以只取一位有效数字，位有效数字，多余数字按照多余数字按照1/3 (3舍舍4入入)法则法则进进行取舍。行取舍。 如：扩展不确定度如

28、：扩展不确定度U为为0.324mm， 保留两位有效数字，保留两位有效数字，U = 0.33 mm； 保留一位有效数字，保留一位有效数字，U = 0.3 mm1.1.不确定度的有效数字不确定度的有效数字( )yyU y测量结果的有效数字取舍2.2.最佳估计值的有效数字最佳估计值的有效数字最佳估计值的最后一位必须和不确定度的末最佳估计值的最后一位必须和不确定度的末位对齐。多余的数字，按位对齐。多余的数字，按4 4舍舍5 5入规则进行取入规则进行取舍。舍。如：如：V V=5836.340l mm=5836.340l mm3 3，U U = 4.2 mm = 4.2 mm3 3。 最后结果的表达式为最

29、后结果的表达式为 5836.34.2Vmm3.3.作为中间计算结果时作为中间计算结果时，直接测量量的不确定度，直接测量量的不确定度，可以取可以取3 3位有效数字或者全部保留位有效数字或者全部保留, ,以避免积累舍入以避免积累舍入误差。误差。目录数据处理举例【例题例题】用单摆测重力加速度的公式为用单摆测重力加速度的公式为 。现用。现用最小读数为最小读数为1/100s1/100s的电子秒表测量周期的电子秒表测量周期T T五次，其周期的测五次，其周期的测量值为量值为2.0012.001，2.0042.004，1.9971.997，1.9981.998，2.0002.000（单位：（单位：s s）；）

30、；用用级钢卷尺测摆长级钢卷尺测摆长L L一次，一次，L L = 100.00 cm = 100.00 cm 。试求重力。试求重力加速度加速度g g及合成不确定度及合成不确定度 ，并写出结果表达式。，并写出结果表达式。注：每次周期值是通过测量注：每次周期值是通过测量100100个周期获得，每测个周期获得，每测100100个周个周期要按两次表，由于按表时超前或滞后造成的最大误差是期要按两次表，由于按表时超前或滞后造成的最大误差是0.5s0.5s；级钢卷尺测量长度级钢卷尺测量长度L L的示值误差为的示值误差为 （L L是以米为单位得到的数值），由于卷尺很难与摆的两端是以米为单位得到的数值），由于卷尺

31、很难与摆的两端正好对齐，在单次测量时引入的误差极限为正好对齐，在单次测量时引入的误差极限为2 mm2 mm。224TLg)(guc(0.3 0.2)L mm1.1.计算直接测量量的最佳估计值计算直接测量量的最佳估计值T T的估计值：的估计值： 5112.0012.004 1.9971.9982.0002.00055iiTTsL L的估计值：的估计值：1.0000Lm2.2.计算间接测量量计算间接测量量g g 的最佳估计值的最佳估计值2222244 3.14161.00009.86972.000Lgm sT3.3.计算直接测量量的不确定度计算直接测量量的不确定度（1 1）计算摆长）计算摆长L L

32、的测量不确定度的测量不确定度1( )0.5( )0.2933Lu Lmm仪相应的不确定度为相应的不确定度为( )2Lmm对不准 测量时卷尺不能对准测量时卷尺不能对准L L两端造成的仪器误差两端造成的仪器误差2( )2( )1.233LuLmm对不准相应的不确定度为相应的不确定度为222212( )( )( )0.31.21.2cu LuLuLmmL L的合成不确定度为的合成不确定度为 ( )0.30.2 10.5Lmm 仪仪器的示值误差仪器的示值误差L L的相对不确定度的相对不确定度rel1.2( )0.00121000cu (L)uLL摆长只测了一次，只考虑摆长只测了一次，只考虑B B类不确

33、定度类不确定度, , 有两个分量。有两个分量。521()( )0.00125 (5 1)iiTTs Ts（2 2）计算周期）计算周期T T的测量不确定度的测量不确定度 T T的的A A类不确定度类不确定度(T)仪(T)按T的的B类不确定度有两个分量，一个与仪器误差类不确定度有两个分量，一个与仪器误差对应，一个与按表超前或滞后造成的误差对应，一个与按表超前或滞后造成的误差对应对应)(1Tu)(2Tu22222( )( )( )0.00120.00290.0031cu Ts TuTs因因比比小得多，可略去，故合成不确定度为小得多，可略去，故合成不确定度为rel( )0.0031( )0.00162

34、.000cu TuTTT的相对不确定度的相对不确定度11000.01 100( )0.00005833u Ts仪21000.5 100( )0.002933u Ts按分别是分别是2( )2 0.0340.068cUmu gm s扩展不确定度为扩展不确定度为4. 4. 计算间接测量量计算间接测量量g g的不确定度的不确定度由于由于 是积商关系，根据相对合成不确定公式是积商关系，根据相对合成不确定公式224gL T222312123123( )( )()()().creluypppuyu xu xu xyxxx22rel( )12( )( )( )cccugugu Lu TLgT22(0.0012

35、)(2 0.0016)0.0034有有2rel( )( )9.8697 0.00340.034cu ggugm sg g的不确定度为的不确定度为5.5.写出结果表达式写出结果表达式 29.8700.068gm s或或 29.870.07gm s目录处理实验数据的几种方法 列表法列表法 测电阻伏安特性数据记录表测电阻伏安特性数据记录表序号 12345678910U/ V 0.01.02.03.04.05.06.07.08.09.0I/mA0.02.04.06.17.99.711.813.8 16.0 17.9要求：要求：1.1.要在表的上方注明表的名称；要在表的上方注明表的名称；2.2.结构要尽量简单，表格线条要清晰，