电磁场与电磁波课件_第4章

1、第4章 时变电磁场李婷主要内容n波动方程n矢量位和标量位n能流密度矢量n时谐电磁场n波动方程 wave equation n时谐场 time-harmonic fieldn周期函数 cycle/period functionn能流密度矢量（坡印廷矢量） energy flow density vector (Poynting vector)两边取旋度4.1 4.1 波动方程波动方程00tt EHHEHEt EH2t EEH得得2220tEE电场电场E的波动方程的波动方程同理同理2220tHH磁场磁场H的波动方程的波动方程得得2 EEE将矢量恒等式考虑均匀无耗媒质的无源区域（考虑均匀无耗媒质的无

2、源区域（）的麦克斯韦方程为）的麦克斯韦方程为000，J式中式中2为拉普拉斯算子，在直角坐标系中为拉普拉斯算子，在直角坐标系中2222222xyz 而而波动方程波动方程在在直角坐标系直角坐标系中可分解为三个标量方程中可分解为三个标量方程222222220 xxxxEEEExyzt222222220yyyyEEEExyzt222222220zzzzEEEExyzt 波动方程的解是空间一个沿特定方向传播的电磁波。波动方程的解是空间一个沿特定方向传播的电磁波。 电磁波的传播问题归结为在给定边界条件和初始条件下求解波动方程。电磁波的传播问题归结为在给定边界条件和初始条件下求解波动方程。 静态场中为问题简

3、化引入了标量位和矢量位。静态场中为问题简化引入了标量位和矢量位。 时变场中也可引入相应的辅助位，使问题的分析简单化。时变场中也可引入相应的辅助位，使问题的分析简单化。由麦克斯韦第二方程由麦克斯韦第二方程t BEt A0t AE于是于是t AE由麦氏第三方程由麦氏第三方程0 B，可令，可令 BA4.2 电磁场的位函数电磁场的位函数 4.2.1 矢量位与标量位矢量位与标量位即即式中式中A称为称为动态矢量位动态矢量位，简称矢量位（，简称矢量位（Wb/m)Wb/m)。称为称为动态标量位动态标量位，简称标量位（，简称标量位（V)V)。t AE 已知矢量位已知矢量位A 和标量位和标量位 可求相应的磁场和电

4、场。可求相应的磁场和电场。 注意，这里的矢量位注意，这里的矢量位 A 及标量位及标量位 均是均是时间时间及及空间空间函数。函数。 当它们与当它们与时间无关时间无关时，矢量位时，矢量位 A 及标量位及标量位 与场量的关系和与场量的关系和静态场静态场完完全相同。因此矢量位全相同。因此矢量位 A 又称为又称为矢量磁位矢量磁位，标量位，标量位 又称为又称为标量电位标量电位。 矢量位和标量位由源决定。其满足的方程讨论如下。矢量位和标量位由源决定。其满足的方程讨论如下。由麦克斯韦第四方程由麦克斯韦第四方程 E2tt AA由麦克斯韦第二方程由麦克斯韦第二方程t EHJ1ttt EHAJAJ将将 BAt AE

5、将矢量恒等式将矢量恒等式2A AA得得222tt AAAJ即即222Att AAJ 由亥姆霍兹定理：一矢量由其散度和旋度确定。由亥姆霍兹定理：一矢量由其散度和旋度确定。 前面定义前面定义A的旋度等于磁感应强度的旋度等于磁感应强度B。为确定矢量位。为确定矢量位A，还需规定其散度。，还需规定其散度。t A 令令 （洛仑兹条件（洛仑兹条件) )222t AAJ所以所以222t 同理同理这两个方程称为这两个方程称为达朗贝尔方程达朗贝尔方程。由上可见，按照洛伦兹条件规定。由上可见，按照洛伦兹条件规定A的的散度后，原来两个相互散度后，原来两个相互关联关联的方程变为两个的方程变为两个独立独立方程。矢量位方程

6、。矢量位A仅与仅与电流电流J有关，标量位有关，标量位 仅与电荷仅与电荷 有关。此方程表明矢位有关。此方程表明矢位A的源是的源是J，而，而标位标位 的源是的源是 。时变场中。时变场中J和和是相互联系的。是相互联系的。 由上可见，已知电流及电荷分布，即可求出矢量位由上可见，已知电流及电荷分布，即可求出矢量位 A和标量位和标量位 。求出求出 A 及及 以后，即可求出电场与磁场。以后，即可求出电场与磁场。 这样，这样，麦克斯韦方程麦克斯韦方程的求解归结为的求解归结为位函数方程位函数方程的求解，而且求解过的求解，而且求解过程显然得到了程显然得到了简化简化。4.3 电磁能量守恒定律电磁能量守恒定律BHDE

7、w2121n电磁场具有能量。电磁场具有能量。 静电场的能量密度静电场的能量密度 恒定磁场的能量密度恒定磁场的能量密度22121EDEwe22121HBHwm因此，时变电磁场的能量密度为因此，时变电磁场的能量密度为 在时变场中，由于电场能量密度随电场强度变化，磁场能量密度在时变场中，由于电场能量密度随电场强度变化，磁场能量密度随磁场强度变化，空间各点能量密度的改变引起能量的随磁场强度变化，空间各点能量密度的改变引起能量的流动流动。 为了衡量这种能量流动的为了衡量这种能量流动的方向方向及及强度强度，引入，引入能量流动密度矢量能量流动密度矢量，其其方向方向表示能量表示能量流动流动方向，其方向，其大小

8、大小表示表示单位单位时间内时间内垂直垂直穿过单位面穿过单位面积的能量。或者说，垂直穿过单位面积的积的能量。或者说，垂直穿过单位面积的功率功率，所以能量流动密度，所以能量流动密度矢量又称为矢量又称为功率功率流动密度矢量，又称为流动密度矢量，又称为坡印廷坡印廷矢量。矢量。 能量流动密度矢量或简称为能量流动密度矢量或简称为能流密度能流密度矢量以矢量以 S 表示，表示， 单位为单位为W/m2。能流密度矢量能流密度矢量 S 与电场强度与电场强度 E 及磁场强度及磁场强度 H 的关系如何？的关系如何？ 设设无外源无外源 (J = 0, = 0) 的区域的区域 V 中，媒质是中，媒质是线性线性且且各向同性各

9、向同性的，的，则此区域中麦克斯韦方程为则此区域中麦克斯韦方程为t EEHt HE0) (H0) (E利用矢量恒等式利用矢量恒等式 ，将上式代入，整理，将上式代入，整理后求得后求得HEEHHE)(2222 2 )(EEtHtHE将上式两边对区域将上式两边对区域 V 求积分，得求积分，得 VVVVEVHEtV 222d d) (21d)(HE, , , , E, HV考虑到考虑到 ，那么，那么VSV d)(d)(SHEHEVVSVEVHEtd d) (21d)(2 22 SHE根据能量密度的定义，上式又可表示为根据能量密度的定义，上式又可表示为 VSHE dd d )(VpVwtVS上式称为时变上

10、式称为时变电磁场的能量守恒定律，也称坡印廷定理电磁场的能量守恒定律，也称坡印廷定理。任何满足上。任何满足上述麦克斯韦方程的时变电磁场均必须服从该能量定理。述麦克斯韦方程的时变电磁场均必须服从该能量定理。 矢量（矢量（ ）代表垂直穿）代表垂直穿过单位面积的功率，因此，就过单位面积的功率，因此，就是前述的能流密度矢量是前述的能流密度矢量 S ， 即即HE , , , , E, HHESSHES 此式表明，此式表明，S 与与 E 及及 H 垂直。又知垂直。又知 ，因此，因此，S，E 及及 H 三者三者在空间是在空间是相互垂直相互垂直的，且由的，且由 E 至至 H 与与 S 构成构成右旋右旋关系，如图

11、示。单位是关系，如图示。单位是W/m2。HESEHn例：已知电磁波的电场 ，求此电磁波的磁场、能流密度矢量。xetzEE cos000tHE0解：通过 求H。zxyyzxxyzeyExEexEzEezEyEE)()()(yetzE)sin(00000dttzEeHy)sin(1000000)cos(00000tzEeyEey00HES)(cos0020020tzEez4.5 4.5 时谐电磁场时谐电磁场4.5.1 4.5.1 时谐电磁场的复数表示时谐电磁场的复数表示电磁场随时间作正弦变化时，电场强度的三个分量可用余弦函数表示电磁场随时间作正弦变化时，电场强度的三个分量可用余弦函数表示式中式中称

12、为称为时谐电场的复振幅时谐电场的复振幅zzyyxxetzyxEetzyxEetzyxEtzyxE),(),(),(),(),(cos),(),(),(cos),(),(),(cos),(),(zyxtzyxEtzyxEzyxtzyxEtzyxEzyxtzyxEtzyxEzmzzymyyxmxx根据欧拉公式根据欧拉公式)(jsin)(cos)(ttetj所以，可用复数的实部表示三个分量所以，可用复数的实部表示三个分量ReRe),(ReRe),(ReRe),()()()(tjzmtjzmztjymtjymytjxmtjxmxeEeEtzyxEeEeEtzyxEeEeEtzyxEzyxzmjzmym

13、jymxmjxmEeEEeEEeEzyx故故式中式中称为称为时谐电场的复矢量时谐电场的复矢量在复数运算中，在复数运算中， 的微积分运算的微积分运算tjetjtjtjtjejdteejedtd1即即jdtjdtd1是对空间坐标的微分运算，是空间的概念是对空间坐标的微分运算，是空间的概念ReRe),(tjmztjzmytjymxtjxmeEeeEeeEeeEtzyxEzzyyxxeEeEeEtzyxE),(zzmyymxxmmeEeEeEzyxE),(Re),(Re),(Re),(tjmtjmtjmeJtzyxJeDtzyxDeHtzyxH同理，例：将下列场矢量的瞬时值形式写为复数形式。例：将下列

14、场矢量的瞬时值形式写为复数形式。)sin()cos(),(yymyxxmxkztEekztEetzE解：解：)sin()cos(),(yymyxxmxkztEekztEetzERe)2( j)( jyxkztymykztxmxeEeeEe所以)2( j)( j)(yxkzymykzxmxmeEeeEezEkzymyxmxeeEeeEeyxjjj)j(例：写出电场强度的瞬时值形式。例：写出电场强度的瞬时值形式。)cos(j)(zkEezEzxmxm解：解：)cos(jRe),(j tzxmxezkEetzE)cos(Re)2j(tzxmxezkEe)2(cos)cos(tzkEezxmx 时谐场

15、对时间的导数时谐场对时间的导数ReReRej tj tj tmmmeejetttEEEE22222ReRej tj tmmeettEEE4.5.2 4.5.2 复矢量的麦克斯韦方程复矢量的麦克斯韦方程由麦克斯韦第一方程由麦克斯韦第一方程tDHJReReRej tj tj tmmmeejeHJD设为时谐场设为时谐场将对空间坐标的微分运算和取实部运算顺序交换将对空间坐标的微分运算和取实部运算顺序交换ReRej tj tj tmmmeejeHJDj tj tmmmejeHJD约定不写出时间因子约定不写出时间因子 ，去掉场量的下标和点，即得麦克斯韦方程的复数形，去掉场量的下标和点，即得麦克斯韦方程的复

16、数形式式j tejHJD同理其它三个麦克斯韦方程同理其它三个麦克斯韦方程jEB0BD复数形式的波动方程复数形式的波动方程亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程波动方程波动方程2220tEE设为时谐场设为时谐场22222ReRej tj tmmeettEEE得得220kEE同理同理220kHH亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程式中式中22k 4.5.6 平均能流密度和平均能流密度矢量平均能流密度和平均能流密度矢量 坡印廷矢量 表示瞬时功率流密度。在时谐电磁场中，计算平均能流密度矢量更有意义。时谐电磁场的一般表示式为：HEzzHzmyyHymxxHxmzzEzmyyEymxxExmetHetHetHHetEetEetEE)cos()cos()cos()cos()cos()cos(求一个周期内坡印廷矢量的x分量的平均值：dtttHEttHETd