理论力学知识点总结

1、一、约束的类型一、约束的类型1 1、具有光滑接触面（线、点）的约束（光滑接触约束）、具有光滑接触面（线、点）的约束（光滑接触约束）理论力学知识点总结理论力学知识点总结静力学静力学几种情况几种情况：（1）物体的尖端与光滑表面接触，其约束反力沿约束表面的法线）物体的尖端与光滑表面接触，其约束反力沿约束表面的法线方向。方向。（2）物体的光滑表面与尖端约束接触，其约束反力沿物体表面的）物体的光滑表面与尖端约束接触，其约束反力沿物体表面的法线方向。法线方向。2 2、由柔软的绳索、胶带或链条等构成的约束、由柔软的绳索、胶带或链条等构成的约束柔索只能受拉力，又称张力柔索只能受拉力，又称张力. .用用 表示表

2、示TF 3 3 、光滑铰链约束（径向轴承、圆柱铰链、固定铰链、光滑铰链约束（径向轴承、圆柱铰链、固定铰链支座等）支座等） （1 1） 径向轴承（向心轴承）径向轴承（向心轴承） 轴在轴承孔内，轴为非自由体、轴在轴承孔内，轴为非自由体、 轴承孔为约束轴承孔为约束概念：轴穿入光滑圆柱形圆孔则构成径向轴承。概念：轴穿入光滑圆柱形圆孔则构成径向轴承。zyxAAzFAxFA（2 2）光滑圆柱铰链）光滑圆柱铰链（3 3） 固定铰支座固定铰支座4 4、其它类型约束、其它类型约束 （1 1）可动铰支座（滚轴支座）可动铰支座（滚轴支座）(2) (2) 球铰链球铰链 （3 3）止推轴承）止推轴承F FB BF FA

3、 A约束力的约束力的方向方向：沿着链杆中心线，指向可以假定。：沿着链杆中心线，指向可以假定。 二力杆二力杆F FAB（4）链杆约束）链杆约束二力杆（或二力构件）：仅受二力作用而二力杆（或二力构件）：仅受二力作用而处于平衡的杆；二力杆不一定是直杆，也处于平衡的杆；二力杆不一定是直杆，也可以是曲杆，但杆两端的两个力一定是沿可以是曲杆，但杆两端的两个力一定是沿杆两端连成直线的平衡力。杆两端连成直线的平衡力。F FA AF FB B二力构件二力构件AyFAxFAM（5）平面固定端支座）平面固定端支座（6）蝶铰链）蝶铰链xyzABCDEBxFBzF（7）空间固定端支座）空间固定端支座二、画受力图步骤二、

4、画受力图步骤3 3、按约束性质画出所有约束力。、按约束性质画出所有约束力。1 1、取所要研究物体为研究对象（分离体），画出其简图；、取所要研究物体为研究对象（分离体），画出其简图；2 2、画出所有主动力；、画出所有主动力；画受力图注意：画受力图注意：（1）若物体有三力作用，则要考虑三力汇交；）若物体有三力作用，则要考虑三力汇交；（2）二力杆受力图先画；）二力杆受力图先画；（3）画整体受力图时，系统内部的内力不要画，因为它不影响）画整体受力图时，系统内部的内力不要画，因为它不影响 整体平衡；整体平衡；（4）作用力与反作用力是一对同性质的力，即要不是一对拉力）作用力与反作用力是一对同性质的力，即要

5、不是一对拉力 要不是一对压力。要不是一对压力。三、平面力系的平衡方程三、平面力系的平衡方程00yxFF1 1、平面汇交力系、平面汇交力系2 2、平面力偶系、平面力偶系0iM列平面力系平衡方程要用到的力偶的两列平面力系平衡方程要用到的力偶的两条性质：条性质：力偶在任意坐标轴上的投影的代数和等力偶在任意坐标轴上的投影的代数和等于零；力偶对其所在平面内任一点的矩于零；力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，而与矩心的位置无关。恒等于力偶矩，而与矩心的位置无关。3 3、平面平行力系、平面平行力系基本形式基本形式00AyMF二力矩形式二力矩形式00BAMMAB两点连线不得与各力平行（或两点连线不得与各

6、力平行（或x轴不垂直轴不垂直AB连线）连线）4 4、平面任意力系、平面任意力系基本形式基本形式000 xyOFFM二力矩式二力矩式000BAxMMF其中投影轴其中投影轴x不垂直不垂直AB连线连线三力矩式三力矩式000CBAMMM其中其中A、B、C三点不得在一条直线上三点不得在一条直线上 xdxqFbaq合力：合力：作用点：作用点： qbacFxdxxqx babadxxqdxxxq结论：结论： 线分布载荷的合力的大小等于线分布载荷的合力的大小等于载荷图的载荷图的面积面积，合力作用线通过载荷图的，合力作用线通过载荷图的形心（重心）形心（重心）。上述求平行线分布荷载的合力的简便方法称为上述求平行线

7、分布荷载的合力的简便方法称为荷载图面积法荷载图面积法，在以后的章节和材料力学、以，在以后的章节和材料力学、以及专业课中经常要用到。及专业课中经常要用到。 四、线分布荷载的合力四、线分布荷载的合力矩形均布载荷：矩形均布载荷：qlFq三角形分布载荷：三角形分布载荷：qlFq21注意：列平衡方程前，一定要把分布荷载先化成合力。注意：列平衡方程前，一定要把分布荷载先化成合力。五、求物体系统反力的方法（或思路）五、求物体系统反力的方法（或思路） 当判定物体系统平衡问题是静定问题时，要求物当判定物体系统平衡问题是静定问题时，要求物体系统的未知量，这时，一定要体系统的未知量，这时，一定要先考虑解题思路先考虑

8、解题思路，然然后再列平衡方程求未知量后再列平衡方程求未知量。例如可选整个系统为研究。例如可选整个系统为研究对象，列出部分平衡方程，求出部分未知量，然后再对象，列出部分平衡方程，求出部分未知量，然后再从系统中选某一物体为研究对象，列出另外的平衡的从系统中选某一物体为研究对象，列出另外的平衡的方程，求其余未知量，一直这样分析下去，直到所有方程，求其余未知量，一直这样分析下去，直到所有未知量全部求出为止。当然，同一个题目的解题思路、未知量全部求出为止。当然，同一个题目的解题思路、方法可能不止一种，可以多考虑几种解题思路、方法方法可能不止一种，可以多考虑几种解题思路、方法进行比较，找出一种求物体系统未

9、知量的最简捷的方进行比较，找出一种求物体系统未知量的最简捷的方法。法。 下面给出具体的方法。下面给出具体的方法。 方法（分三种情况）：方法（分三种情况）：（1）取整个物体系统，若上面的反力能全部解出，就直接）取整个物体系统，若上面的反力能全部解出，就直接求解反力，不要拆开。求解反力，不要拆开。（2）若取整个物体系统，若上面的反力不能全部解出，就）若取整个物体系统，若上面的反力不能全部解出，就把物体系统拆开（从约束处拆），取已知力作用的物体为对把物体系统拆开（从约束处拆），取已知力作用的物体为对象，若该对象上的反力能全部解出就直接求解，然后再考虑象，若该对象上的反力能全部解出就直接求解，然后再考

10、虑其它物体，按照同样的思路，一直到把物体系统上的反力全其它物体，按照同样的思路，一直到把物体系统上的反力全部解出为止。注意：若取研究对象上的反力不能全部解出，部解出为止。注意：若取研究对象上的反力不能全部解出，则再考虑其它已知力作用的物体为对象进行分析。则再考虑其它已知力作用的物体为对象进行分析。（3）若取整个物体系统或取部分为对象，上面的反力均不）若取整个物体系统或取部分为对象，上面的反力均不能全部解出，这时就找求能全部解出，这时就找求12个反力的突破口（个反力的突破口（例如，找两例如，找两个未知力作用线的交点为矩心，利用力矩平衡方程求出个未知力作用线的交点为矩心，利用力矩平衡方程求出12个

11、反力个反力），当），当12个反力解出后，则物体系统的反力就可全个反力解出后，则物体系统的反力就可全部解出。部解出。【例】【例】结构上作用载荷分布如图，结构上作用载荷分布如图，q13 kN/m，q20.5 kN/m，力，力偶矩偶矩M2 kN m，试求固定端，试求固定端A与支座与支座B的约束反力和铰链的约束反力和铰链C的内力。的内力。【例】【例】组合梁受荷载组合梁受荷载M、qm、q、P，尺寸如图所示，试，尺寸如图所示，试分析分析求求A、B、C支座反力支座反力的解题思路的解题思路。六、空间力的投影计算的两种方法六、空间力的投影计算的两种方法1、一次投影法（直接投影法）、一次投影法（直接投影法）FZF

12、YFX cos,cos,cos应用此法必须注意：如果投影轴不通过力矢的始端，则可以应用此法必须注意：如果投影轴不通过力矢的始端，则可以过该力矢始端作出与该投影轴平行并且正向相同的轴，根据过该力矢始端作出与该投影轴平行并且正向相同的轴，根据同一个力在所有互相平行且正向相同的轴上的投影都相等，同一个力在所有互相平行且正向相同的轴上的投影都相等，再按一次投影法计算该力的投影。再按一次投影法计算该力的投影。注意力的投影用注意力的投影用Fx 、Fy、 Fz或或X、Y、Z表示。表示。2、二次投影法（间接投影法）、二次投影法（间接投影法） 当力与各轴正向夹角不易确定时，可先将 F 投影到xy面上，然后再投影

13、到x、y轴上，即FFXxycoscoscosFFYxysincossinFZsinFFxycos七、计算空间力对轴之矩的方法七、计算空间力对轴之矩的方法 当拿到一道计算力对轴之矩的题目时当拿到一道计算力对轴之矩的题目时,首先观察一下力首先观察一下力F 与与Z轴的空间位置轴的空间位置,一般有三种情况一般有三种情况:第一种情况第一种情况:若力若力F与与Z轴平行或相交，则轴平行或相交，则MZ(F )=0;第二种情况第二种情况:若力若力F与与Z轴垂直轴垂直,可根据定义来计算，即通过力可根据定义来计算，即通过力F作作一个平面垂直于一个平面垂直于Z轴，那么力轴，那么力F在该平面上的投影就是它自己，在该平面

14、上的投影就是它自己，即即F=Fxy，Z轴与该平面的交点为轴与该平面的交点为O点，且点，且O点到点到F=Fxy作用线作用线的距离的距离d为已知为已知,则则MZ(F)=Mo(F)=Mo (Fxy)=Fd。第三种情况第三种情况:若力若力F与与Z轴既不相交、也不平行、也不垂直，此时轴既不相交、也不平行、也不垂直，此时可把力可把力F分解为三个分力分解为三个分力Fx、Fy、Fz，再运用合力矩定理来，再运用合力矩定理来算，即：算，即：MZ（F）=MZ（ Fx）+MZ（ Fy）+MZ（ Fz）。）。 值得注意得是，此时三个分力值得注意得是，此时三个分力Fx、Fy、Fz与与Z轴的空间轴的空间位置不是相交、就是平

15、行或者垂直，可见又回到第一、位置不是相交、就是平行或者垂直，可见又回到第一、第二种情况，这时可按第一、第二种情况分别算之，然第二种情况，这时可按第一、第二种情况分别算之，然后代入上式即可。最后要说明得是：后代入上式即可。最后要说明得是：上述计算空间力对上述计算空间力对轴之矩的方法适用于动力学中动量矩的计算。轴之矩的方法适用于动力学中动量矩的计算。 八、空间力偶矢量方法：八、空间力偶矢量方法：用右手法则表示用右手法则表示，即首，即首先任作一先任作一 法线垂直于力偶作用面，该法线的方位就表法线垂直于力偶作用面，该法线的方位就表示力偶矩矢的方位，然后沿着这条法线按一定比例尺示力偶矩矢的方位，然后沿着

16、这条法线按一定比例尺取一段长度表示力偶矩的大小，力偶矩矢的指向可按取一段长度表示力偶矩的大小，力偶矩矢的指向可按右手法则确定，即以右手握住这条法线，四个手指表右手法则确定，即以右手握住这条法线，四个手指表示力偶矩的转向，大拇指向表示力偶矩矢的指向。示力偶矩的转向，大拇指向表示力偶矩矢的指向。 九、空间力偶矩在某轴上的投影或空间力偶矩对某轴之九、空间力偶矩在某轴上的投影或空间力偶矩对某轴之矩的计算方法：矩的计算方法：（1）将空间力偶矩用右手法则表示为矢量；）将空间力偶矩用右手法则表示为矢量；（2）将该矢量向某轴投影，即得到空间力偶矩在某轴上）将该矢量向某轴投影，即得到空间力偶矩在某轴上的投影或空

17、间力偶矩对某轴之矩。的投影或空间力偶矩对某轴之矩。 注意：此方法在列空间力偶系或空间任意力系的平衡方注意：此方法在列空间力偶系或空间任意力系的平衡方程中经常要用到，下一学期学程中经常要用到，下一学期学材料力学材料力学课程扭转这课程扭转这一章中也要用到。一章中也要用到。【例】【例】分析（解题思路）：如何求力分析（解题思路）：如何求力 P 在三轴上的投影和对三轴在三轴上的投影和对三轴的矩的矩。Pxyzabc十、空间力系的平衡方程十、空间力系的平衡方程1 1、空间汇交力系、空间汇交力系000zyxFFF空间力偶系空间力偶系000zyxMMM利用空间力偶系平衡方程求反力的解题方法利用空间力偶系平衡方程

18、求反力的解题方法（1 1）将物体上的空间力偶矩用右手法则表示为矢）将物体上的空间力偶矩用右手法则表示为矢量；量；（2 2）画出物体的受力图，其中反力的方位、方向）画出物体的受力图，其中反力的方位、方向可根据空间力偶的性质，即力偶只能和力偶平衡可根据空间力偶的性质，即力偶只能和力偶平衡来确定；来确定；（3 3）建立空间直角坐标系，列出空间力偶系的平）建立空间直角坐标系，列出空间力偶系的平衡方程；考虑求反力的思路，最后把反力求出来。衡方程；考虑求反力的思路，最后把反力求出来。3 3、空间平行力系、空间平行力系000yxzMMF4 4、空间任意力系、空间任意力系000000zyxzyxMMMFFF.

19、 0, 0, 0; 0, 0, 0nmlkjiMMMMMM利用空间力系平衡方程求反力的方法是：利用空间力系平衡方程求反力的方法是：先列平衡方程，然后才考虑解题思路。先列平衡方程，然后才考虑解题思路。 检验物体是否平衡；检验物体是否平衡； 临界平衡问题；临界平衡问题； 求平衡范围问题。求平衡范围问题。考虑摩擦的系统平衡问题的特点考虑摩擦的系统平衡问题的特点1. 平衡方程式中除主动、约束力外还出现了摩擦力，因而未知平衡方程式中除主动、约束力外还出现了摩擦力，因而未知数增多。数增多。2. 除平衡方程外还可补充关于摩擦力的物理方程除平衡方程外还可补充关于摩擦力的物理方程 FsfsFN 。3. 为避免解

20、不等式，可以解临界情况，即补充方程为避免解不等式，可以解临界情况，即补充方程Fmax = fsFN 。常见的问题有常见的问题有 十一、十一、 考虑滑动摩擦时物体的平衡问题考虑滑动摩擦时物体的平衡问题 考虑摩擦时物体的平衡问题题型大致可分为两类：一是物体在主动力作考虑摩擦时物体的平衡问题题型大致可分为两类：一是物体在主动力作用下平衡，求平衡范围问题（包括求极限平衡问题）；二是物体在主动力作用下平衡，求平衡范围问题（包括求极限平衡问题）；二是物体在主动力作用下，判断物体的运动状态。用下，判断物体的运动状态。 第一类问题的解题方法是：首先取研究对象进行物理分析与受力分析，物第一类问题的解题方法是：首

21、先取研究对象进行物理分析与受力分析，物理分析就是确定摩擦力的方位和指向，受力分析就是画受力图，受力图上包理分析就是确定摩擦力的方位和指向，受力分析就是画受力图，受力图上包括主动力、反力和摩擦力；接着列方程，除了列出与力系相应的平衡方程外，括主动力、反力和摩擦力；接着列方程，除了列出与力系相应的平衡方程外，还需列出相应数目的补充方程，即还需列出相应数目的补充方程，即Fs= =fsFN；最后解方程，即将平衡方程与；最后解方程，即将平衡方程与补充方程联立求解补充方程联立求解。（注意：解此类问题是先列方程，然后考虑求解未知量（注意：解此类问题是先列方程，然后考虑求解未知量的思路）的思路） 第二类问题的

22、解题方法是：首先假定物体平衡，对物体物理分析和画出物第二类问题的解题方法是：首先假定物体平衡，对物体物理分析和画出物体的受力图，用平衡方程求出物体所受的静摩擦力体的受力图，用平衡方程求出物体所受的静摩擦力Fs，静摩擦力的方向若不，静摩擦力的方向若不确定，可假设，若求得确定，可假设，若求得Fs是正值，表明假设方向正确，反之，若求得是正值，表明假设方向正确，反之，若求得Fs是负是负值，表明假设方向错误；接着假定物体处于临界状态，用公式值，表明假设方向错误；接着假定物体处于临界状态，用公式Fmax= =fsFN求出求出物体的最大静摩擦力物体的最大静摩擦力Fmaxmax；最后，将；最后，将Fs与与Fm

23、ax比较，来判断物体的运动状态比较，来判断物体的运动状态: :（1 1）若）若FsFmax,则物体处于静止（平衡）状态；则物体处于静止（平衡）状态；（2）若）若Fs=Fmax，则物体处于临界状态；则物体处于临界状态；（3）若）若FsFmax，则物体处于滑动状态。，则物体处于滑动状态。 【例】分析如下问题（解题思路）：【例】分析如下问题（解题思路）：重重W的方块放在水平面的方块放在水平面上，并有一水平力上，并有一水平力P作用。设方块底面的长度为作用。设方块底面的长度为b, P与底面的与底面的距离为距离为a，接触面间的摩擦系数为，接触面间的摩擦系数为f ，问当，问当P逐渐增大时，方逐渐增大时，方块

24、先行滑动还是先行翻倒块先行滑动还是先行翻倒？并求方块平衡时的最大拉力。？并求方块平衡时的最大拉力。WPab十二 、求均质物体的重心（形心）的方法（1）对称性法）对称性法形状规则的物体或图形形状规则的物体或图形重心一定在物体的重心一定在物体的对称轴、对称面、对称中心对称轴、对称面、对称中心上上。（3）分割法（负体积或负面积法）分割法（负体积或负面积法）组合物体或组合图形组合物体或组合图形求图示平面图形的重心。求图示平面图形的重心。iiCiCCCCAAxAAAAxAxAxx321111111iiCiCCCCAAyAAAAyAyAyy321111111（3）负面积法）负面积法321111111AAA

25、AxAxAxxCCCC321111111AAAAyAyAyyCCCC（2）积分法）积分法形状不规则的物体或图形形状不规则的物体或图形 用确定物体重心的积分公式来确定物体重心的方法。用确定物体重心的积分公式来确定物体重心的方法。40mm50mmxyo20mm【例】【例】分析（解题思路）：分析（解题思路）：图示截面重心如何确定。图示截面重心如何确定。运动学运动学一、点的运动学一、点的运动学1 1、直角坐标法、直角坐标法( )( )( )xx tyy tzz tddxxvtddyyvtddzzvt速度大小速度大小222zyxvvvv速度的方向由其方向余弦确定速度的方向由其方向余弦确定vvkvvvjv

26、vvivzyx),cos(),cos(),cos(22ddddxxvxatt22ddddyyvyatt22ddddzzvzatt加速度大小加速度大小222zyxaaaa 加速度的方向由其方向余弦确定加速度的方向由其方向余弦确定aakaaajaaaiazyx),cos(),cos(),cos(2 2、自然法、自然法)(tfS 运动方程运动方程线线负负向向。点点速速度度方方向向沿沿弧弧坐坐标标切切则则当当线线正正向向；点点速速度度方方向向沿沿弧弧坐坐标标切切则则当当: :点点速速度度方方向向点点速速度度大大小小：任任一一MMMM, 0, 0dtdsdtdsdtdsv速度速度加速度加速度切向加速度切

27、向加速度大小：22dtsddtdva方向：M点的切线。0dtdv指向M点弧坐标正向；反之，0dtdv指向M点弧坐标负向。法向加速度法向加速度大小：大小：van2方向：在密切面内，沿主法线，指向曲率方向：在密切面内，沿主法线，指向曲率中心。中心。Mnaaa点点的的密密切切面面内内。加加速速度度（全全加加速速度度）在在 Maaarctgaaann|,22 加速度（全加速度）加速度（全加速度）Mnaaa注：判别点作加速运动还是减速运动，是用注：判别点作加速运动还是减速运动，是用 a ，而不，而不是用是用 a,与直线运动情形相似与直线运动情形相似,当当 v 与与 a 同号同号,点作加速运点作加速运动动

28、,反之作减速运动。反之作减速运动。二、刚体的简单运动二、刚体的简单运动1 1、刚体的平动、刚体的平动刚体平动分为刚体平动分为直线平动直线平动和和曲线平动曲线平动两种两种:刚体平动时，各点轨迹为刚体平动时，各点轨迹为直线，即为直线平动；各点轨迹为曲线，即为曲线平动。直线，即为直线平动；各点轨迹为曲线，即为曲线平动。结论：刚体平动时刚体内各点运动状态完全相同结论：刚体平动时刚体内各点运动状态完全相同（速度、加速度、轨迹等），故刚体平动（速度、加速度、轨迹等），故刚体平动点的点的运动来处理。运动来处理。概念概念 刚体内刚体内任一直线任一直线在运动过程中始终保持与原来位置在运动过程中始终保持与原来位置

29、平行，刚体这种运动称为平行移动，简称平移或平动。平行，刚体这种运动称为平行移动，简称平移或平动。2 2、刚体绕定轴转动、刚体绕定轴转动概念概念 刚体上刚体上( (或其扩展部分或其扩展部分) )有一直线在运动过程中始终保持有一直线在运动过程中始终保持不动，则这种运动称为刚体绕定轴转动，简称刚体的转动。不动，则这种运动称为刚体绕定轴转动，简称刚体的转动。定轴转动的角速度和角加速度定轴转动的角速度和角加速度 （1）.角速度角速度(代数量)(代数量) lim 0dtdtt则则n与与w w的关系为的关系为:)(nnrad/s1030 tf刚体定轴转动的转动方程刚体定轴转动的转动方程（2 ）角加速度）角加

30、速度 )(lim220tfdtddtdtt 单位单位:rad/s2 (代数量代数量)动动方方向向相相同同。（或或刚刚体体转转动动方方向向）转转与与结结论论：。负负向向一一致致（顺顺时时针针转转）与与则则的的值值为为负负之之），反反的的正正向向一一致致( (逆逆时时针针转转与与的的值值为为正正，则则若若某某一一瞬瞬时时dtddtd，反反之之与与负负向向一一致致。的的正正向向一一致致，或或与与的的值值为为正正，则则若若某某一一瞬瞬时时）dtd( 转动刚体内各点的速度和加速度转动刚体内各点的速度和加速度1 速度速度60302dnndrv2 加速度加速度22rrvardtdvan3 点的加速度（或全加

31、速度）点的加速度（或全加速度）224222222tan)()(rraarrraaann间的夹角间的夹角全加速度与该点半径之全加速度与该点半径之其中其中角速度矢量矢量表示角速度矢量矢量表示wdtdww大小大小作用线作用线 沿轴线沿轴线 滑动矢量滑动矢量指向指向 右手螺旋定则右手螺旋定则 1、定系、动系、动点：、定系、动系、动点：（1） 定系定系：固结于静止不动物体上的坐标系称为定系,简称静系，用xoyz表示，若不指名，则取地面为定系。（2）动系）动系：固结于相对于定系运动物体上的坐标系，用 表示，简称动系。例如在行驶的汽车上取坐标系。 （3）动点：）动点：运动的点，对于机构，动点取在传递物体运动

32、的连接点或接触点。注意：动点和动系不能取在同一物体上，否则不会构成点的合成注意：动点和动系不能取在同一物体上，否则不会构成点的合成运动。运动。三、点的合成运动三、点的合成运动zyox2、三种运动的概念及其关系、三种运动的概念及其关系（1）绝对运动）绝对运动：动点相对于定系的运动。 例如：人在地面上看车厢里人的运动。（2）相对运动）相对运动：动点相对于动系的运动。例如：某人甲在行驶的汽车里看车厢里某人乙走动。（3）牵连运动）牵连运动：动系相对于定系的运动例如：行驶的汽车相对于地面的运动。注意：绝对运动、相对运动是点的运动，它可以是直线运动或注意：绝对运动、相对运动是点的运动，它可以是直线运动或曲

33、线运动；牵连运动是刚体运动，它可以是平动、转动或比较曲线运动；牵连运动是刚体运动，它可以是平动、转动或比较复杂的刚体运动。复杂的刚体运动。（4）三种运动的关系：）三种运动的关系： 绝对运动绝对运动=相对运动相对运动+牵连运动牵连运动 动点相对动点相对定系定系的速度与加速度称为的速度与加速度称为绝对速度绝对速度 与与绝对加速度绝对加速度动点相对动点相对动系动系的速度和加速度称为的速度和加速度称为相对速度相对速度 与与相对加速度相对加速度 aaevearvraav牵连点牵连点：在任意瞬时，动坐标系中与动点在任意瞬时，动坐标系中与动点相重合相重合的点，也就是的点，也就是 设想将该动点设想将该动点固结

34、固结在动坐标系上，而随着动坐标系一在动坐标系上，而随着动坐标系一 起运动时该点叫牵连点。或者说某瞬时动点在动系上起运动时该点叫牵连点。或者说某瞬时动点在动系上留下的留下的印记印记，即为，即为该瞬时动点的牵连点该瞬时动点的牵连点。牵连运动中牵连运动中,牵连点相对牵连点相对定系定系的速度和加速度称为的速度和加速度称为牵连速度牵连速度与与牵连加速度牵连加速度 。3 3、三种速度和三种加速度、三种速度和三种加速度4 4、三种速度和三种加速度的分析方法、三种速度和三种加速度的分析方法（1）绝对速度、绝对加速度分析方法：）绝对速度、绝对加速度分析方法： 眼中只有运动的动点和定系，假设其它的物体（包括动系）

35、不存在，找出动点在定系中的绝对轨迹（就像在晚上根据飞机声，找飞机轨迹），则动点绝对速度的方向就是轨迹在该点的切线方向；动点绝对加速度的方向，可在该点分解为切线方向和法线方向。（2）相对速度、相对加速度分析方法：）相对速度、相对加速度分析方法： 假定动系不动，动点在动，找出动点在动系中的相对轨迹，则动点相对速度的方向就是轨迹在该点的切线方向；动点相对加速度的方向，可在该点分解为切线方向和法线方向。（3）牵连速度、牵连加速度分析方法：）牵连速度、牵连加速度分析方法： 假定动点不动，动系在动，找出某瞬时动点在动系中留下的印记，根据该瞬时印记的牵连轨迹，则动点牵连速度的方向就是该瞬时轨迹在该点的切线方

36、向；动点牵连加速度的方向，可在该瞬时轨迹在该点分解为切线方向和法线方向。牵连速度和牵连加速度也可以这样来分析：即假定动点不动，被动系所带动的速度和加速度就是牵连速度和牵连加速度，其方向同样根据找出的牵连轨迹来判断。5 5、点的速度合成定理、点的速度合成定理 动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度与动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和相对速度的矢量和点的速度合成定理。三种速度各有大点的速度合成定理。三种速度各有大小方向两个要素，小方向两个要素，6 6个要素知道个要素知道4 4个就可求其余两个。个就可求其余两个。reavvv6 6、利用点的速度合成定理解题的步骤

37、、利用点的速度合成定理解题的步骤（1 1）选动点、定系和动系；）选动点、定系和动系；（2 2）分析三种运动及三种速度；）分析三种运动及三种速度；（3 3）根据速度合成定理并结合各速度的已知条件根据速度合成定理并结合各速度的已知条件作出速度平行四边形，然后利用三角函数关系或正作出速度平行四边形，然后利用三角函数关系或正弦定理等求解未知量。弦定理等求解未知量。注意：若速度平行四边形不能作出，则可用矢量投注意：若速度平行四边形不能作出，则可用矢量投影定理向某轴投影来求解未知量影定理向某轴投影来求解未知量7 7、牵连运动为平动时加速度合成定理、牵连运动为平动时加速度合成定理reaaaa即牵连运动为平动

38、时，动点在某瞬时的绝对加速度等于在即牵连运动为平动时，动点在某瞬时的绝对加速度等于在该瞬时它的牵连加速度与相对加速度的矢量和。当牵连运该瞬时它的牵连加速度与相对加速度的矢量和。当牵连运动为平动时，动点的绝对加速度可以由牵连加速度与相对动为平动时，动点的绝对加速度可以由牵连加速度与相对加速度所构成的平行四边形的对角线来表示。加速度所构成的平行四边形的对角线来表示。8 8、牵连运动为转动时点的加速度合成定理、牵连运动为转动时点的加速度合成定理Creaaaaa 动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度、动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和。相对加速

39、度与科氏加速度的矢量和。其中科氏加速度其中科氏加速度大小大小ervw方向垂直于方向垂直于 和和指向按右手法则确定指向按右手法则确定（两次右手、一次平移）（两次右手、一次平移）wsin2reCva DABC 【例【例1 1】分析（解题思路）：分析（解题思路）： 矩形板ABCD以匀角速度w 绕固定轴 z 转动，点M1和点M2分别沿板的对角线BD和边线CD运动，在图示位置时相对于板的速度分别为 和 ，计算点M1 、 M2的科氏加速度大小, 并图示方向。1v2v四、刚体的平面运动四、刚体的平面运动1 1、刚体平面运动概念、刚体平面运动概念 刚体在运动过程中，刚体上任一点到某一固定平面的距离始刚体在运动

40、过程中，刚体上任一点到某一固定平面的距离始终保持不变。换句话说，刚体上任一点都在与该固定平面相平行终保持不变。换句话说，刚体上任一点都在与该固定平面相平行的某一平面内运动。具有这种特点的运动称为刚体的平面运动。的某一平面内运动。具有这种特点的运动称为刚体的平面运动。2 2、刚体平面运动的简化、刚体平面运动的简化 刚体的平面运动可以简化为平面图形刚体的平面运动可以简化为平面图形S S在其自身平面内的在其自身平面内的运动。即在研究平面运动时，不需考虑刚体的形状和尺寸，只运动。即在研究平面运动时，不需考虑刚体的形状和尺寸，只需研究平面图形的运动，确定平面图形上各点的速度和加速度。需研究平面图形的运动

41、，确定平面图形上各点的速度和加速度。注意：平面图形注意：平面图形S与固定平面与固定平面相互平行的相互平行的3、刚体平面运动的特点、刚体平面运动的特点（1）刚体平面运动（）刚体平面运动（绝对运动绝对运动）可分解为随基点（强加的）可分解为随基点（强加的动系原点）的平动（动系原点）的平动（牵连运动牵连运动）和绕该基点的转动（）和绕该基点的转动（相对运相对运动动）。）。（2）将刚体平面运动分解平移和转动时，随基点选择不同，）将刚体平面运动分解平移和转动时，随基点选择不同， 基点的平动轨迹不同，平面图形随基点平动的速度和加速度基点的平动轨迹不同，平面图形随基点平动的速度和加速度也就不同；可见平动规律与基

42、点选择有关，但转动规律与基也就不同；可见平动规律与基点选择有关，但转动规律与基点选择无关，点选择无关，即平面图形绕任何基点转动的角速度和角加速即平面图形绕任何基点转动的角速度和角加速度都相同。度都相同。（3）今后称平面图形绕任何基点转动的角速度和角加速度今后称平面图形绕任何基点转动的角速度和角加速度 为平面图形的角速度和角加速度。为平面图形的角速度和角加速度。4 4、平面图形内各点速度的方法、平面图形内各点速度的方法 （1）基点法（合成法）基点法（合成法）已知：图形已知：图形S内一点内一点A的速度，图形角速度的速度，图形角速度w w求：求：Av因为因为A点的速度为已知，则选取点的速度为已知，则

43、选取A为基点为基点, ,根据速度合成定理根据速度合成定理,reavvv则则B点速度为：点速度为：BAABvvvBv即即平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动的速度的矢量和形绕基点转动的速度的矢量和。这种求解速度的方法称。这种求解速度的方法称为为基点法基点法，也称为也称为合成法合成法。说明：基点法不仅可以求点说明：基点法不仅可以求点的速度，而且可以求平面图形的角速度；比较繁琐的就的速度，而且可以求平面图形的角速度；比较繁琐的就是要作速度平行四边形。是要作速度平行四边形。（2）速度投影法）速度投影法 平面图形上任意两点的速度在该两点

44、连线上的投影相平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影相等。等。速度投影定理。速度投影定理。已知已知A点和点和B点速度的方位，并且已知点速度的方位，并且已知A点速度的大小，求点速度的大小，求 。Bv利用速度投影定理：利用速度投影定理：()()BABAABvv即可求出即可求出Bv结论：利用结论：利用平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影彼此平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影彼此相等相等，由平面图形上一点的速度求另一点速度的方法称为，由平面图形上一点的速度求另一点速度的方法称为 速度投影速度投影法法。注意：速度投影法只能求速度，该方法不需要作速度平行四边注意：速度投影法只能求速

45、度，该方法不需要作速度平行四边形；但该方法无法求平面图形的角速度。形；但该方法无法求平面图形的角速度。（3）瞬心法（速度瞬心法或瞬时速度中心法）瞬心法（速度瞬心法或瞬时速度中心法） 一般情况下一般情况下, ,在每一瞬时在每一瞬时, ,平面图形上都唯平面图形上都唯一地存在一个速度为零的点，称为一地存在一个速度为零的点，称为瞬时速度瞬时速度中心中心，简称，简称速度瞬心速度瞬心或或瞬心瞬心。 利用速度瞬心求解平面图形上点的速度的方法利用速度瞬心求解平面图形上点的速度的方法,称为称为速度瞬心速度瞬心法法,简称瞬心法简称瞬心法；或者说瞬心法就是取速度等于零的点为基点的基；或者说瞬心法就是取速度等于零的点

46、为基点的基点法。点法。 平面图形在任一瞬时的运动可以视为绕速度瞬心的瞬时转平面图形在任一瞬时的运动可以视为绕速度瞬心的瞬时转动，速度瞬心又称为平面图形的动，速度瞬心又称为平面图形的瞬时转动中心瞬时转动中心。 瞬心法：瞬心法：已知已知P点为速度瞬心，平面图形点为速度瞬心，平面图形的角速度的角速度w，则任意一点则任意一点A的速度的速度 ，方向方向 AP，指向与，指向与w 一致一致。瞬心法不仅可以求瞬心法不仅可以求速度速度 ，而且可以求角速度；不需要作速度平，而且可以求角速度；不需要作速度平行四边形。行四边形。 APvA 结论：平面图形内任意点的速度等于该点随图形绕结论：平面图形内任意点的速度等于该

47、点随图形绕瞬时速度中心转动的速度。瞬时速度中心转动的速度。（4）几种确定速度瞬心位置的方法）几种确定速度瞬心位置的方法 已知图形上一点的速度已知图形上一点的速度 和图形角速度和图形角速度w， 可以确定速度瞬心的位置。可以确定速度瞬心的位置。（P点）点） 且且在在 顺顺w转向绕转向绕A点点 转转90的的方向一侧。方向一侧。, , AAvAPvAPwAvAv 已知一平面图形在固定面上作无滑动的滚已知一平面图形在固定面上作无滑动的滚 动（纯滚动）动（纯滚动）, 则图形与固定面的接触点则图形与固定面的接触点P为速为速度瞬心。度瞬心。 ABvvvvaBA 同同向向, , 与与 B BA A)(ABvvv

48、vbBABA 反反向向, ,与与)( 已知某瞬时图形上已知某瞬时图形上A ,B两点速度两点速度 大小大小,且且BAvv ,ABvABvBA ,(b)(a) 已知某瞬间平面图形上已知某瞬间平面图形上A,B两点速度两点速度 的方向，且的方向，且 过过A , B两点分别作速度两点分别作速度 的垂线的垂线,交点交点 P即为该瞬间的速度瞬心。即为该瞬间的速度瞬心。BAvv ,BAvv 不不平平行行BAvv ,并且并且BPAPvvBA 已知某瞬时图形上已知某瞬时图形上A,B两点的速度方向相同，且不与两点的速度方向相同，且不与AB连连线线 垂直。垂直。 此时此时, 图形的瞬心在无穷远处图形的瞬心在无穷远处,

49、图形的角速度图形的角速度w =0, 图形图形 上各点速度相等上各点速度相等, 这种情况称为这种情况称为瞬时平动瞬时平动 (此时各点的加速此时各点的加速 度不一定相等度不一定相等) ,但平面图形的角加速度不一定等于但平面图形的角加速度不一定等于0。注意：注意： 瞬时平动不是平动，它是刚体平面运动的特殊情况。瞬时平动不是平动，它是刚体平面运动的特殊情况。 速度瞬心在平面图形上的位置不是固定的，而是随时间不速度瞬心在平面图形上的位置不是固定的，而是随时间不 断变化的。断变化的。在任一瞬时是唯一存在的在任一瞬时是唯一存在的。 速度瞬心处的速度为零速度瞬心处的速度为零, 加速度不一定为零。加速度不一定为

50、零。不同于定轴转动不同于定轴转动。 刚体作瞬时平动时，虽然各点的速度相同，但各点的加速刚体作瞬时平动时，虽然各点的速度相同，但各点的加速 度是不一定相同的。度是不一定相同的。不同于刚体作平动不同于刚体作平动。（5） 注意的问题注意的问题 取已知加速度的取已知加速度的A为基点，则为基点，则已知：图形已知：图形S 内一点内一点A 的加速度的加速度 和图形和图形 的的w , （某一瞬时）。（某一瞬时）。求：求： 该瞬时图形上任一点该瞬时图形上任一点B的加速度。的加速度。Aa5 5、 用基点法求平面图形内各点的加速度用基点法求平面图形内各点的加速度ntBABAABaaaatBAa ABatBA大小大小

51、方向垂直于方向垂直于 ，指向同，指向同AB大小大小方向由方向由 指向指向nBAan2BAaABwBA 即即平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点绕基平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。这种求解加速度的这种求解加速度的方法称为方法称为基点法基点法，也称为，也称为合成法合成法。它是求解平面图形内一点加速。它是求解平面图形内一点加速度的基本方法。度的基本方法。 上述公式是一个矢量方程。四个加速度矢共有八个要素，需上述公式是一个矢量方程。四个加速度矢共有八个要素，需知其中六个要素，方能求出其余两个。由于

52、知其中六个要素，方能求出其余两个。由于 方位总是方位总是已知，所以在使用该公式中，只要再知道四个要素，即可解出问已知，所以在使用该公式中，只要再知道四个要素，即可解出问题的待求量。题的待求量。注意：一般情况下，注意：一般情况下， 的大小未知，因此加速度的大小未知，因此加速度平行四边形是作不出来的，除非平行四边形是作不出来的，除非 的大小已知；加速度平行四的大小已知；加速度平行四边形才可作出。边形才可作出。nBABAaa,BAaBAa1 1、用瞬心法或基点法求速度和平面图形的角速度、用瞬心法或基点法求速度和平面图形的角速度 ；2、取已知加速度的点、取已知加速度的点A为基点，求为基点，求B点的加速

53、度。写出加点的加速度。写出加速度矢量式，即：速度矢量式，即：BAnBAABaaaa大小大小方向方向2BABA？若求若求B点的加速度点的加速度 ，可取，可取轴垂直轴垂直 ，将上式向，将上式向轴投影轴投影即可；若求即可；若求 ，可取，可取轴垂直点轴垂直点B的的加速度加速度 ，将上式向，将上式向 轴轴投影即可。投影即可。注意：若运动轨迹未知，可把加速度分解为水平加注意：若运动轨迹未知，可把加速度分解为水平加速度和竖直加速度。速度和竖直加速度。 当加速度平行四边形无法作出时，利用基点法求加速当加速度平行四边形无法作出时，利用基点法求加速度解题的方法（步骤）：度解题的方法（步骤）：BAaBaBAaBaA

54、Bw wACR6030O【例】【例】分析（解题思路）：平面机构中分析（解题思路）：平面机构中OA杆长为杆长为r,作匀速转动，作匀速转动，其角速度为其角速度为，杆，杆AC长为长为l,带动一圆轮作纯滚动，圆轮的半径为带动一圆轮作纯滚动，圆轮的半径为R，试求（，试求（1）圆轮重心）圆轮重心C的速度、圆轮的角速度；（的速度、圆轮的角速度；（2）圆轮的）圆轮的重心重心C的加速度和杆的加速度和杆AC的角加速度。的角加速度。动量、动量矩动量、动量矩 动能动能矢量，有大小方向矢量，有大小方向内力不能使之改变内力不能使之改变只有外力能使之改变只有外力能使之改变约束力是外力时对之有影响。不与约束力是外力时对之有影

55、响。不与能量相互转化，应用时不考虑能量能量相互转化，应用时不考虑能量的转化与损失。的转化与损失。当外力主矢为零时，系统动量守恒当外力主矢为零时，系统动量守恒当外力对定点当外力对定点O 或质心的主矩为零或质心的主矩为零时，系统对定点或者质心的动量矩时，系统对定点或者质心的动量矩守恒。守恒。动量定理描述质心的运动变化动量定理描述质心的运动变化动量矩定理描述绕质心或绕定点的动量矩定理描述绕质心或绕定点的运动变化。运动变化。非负的标量，与方向无关非负的标量，与方向无关内力、外力作功时可以改变变形体内力、外力作功时可以改变变形体动能，但内力不能改变刚体动能。动能，但内力不能改变刚体动能。理想约束不影响动

56、能理想约束不影响动能在保守系统中，机械能守恒在保守系统中，机械能守恒动能定理描述质心运动及相对质心动能定理描述质心运动及相对质心运动中动能的变化。运动中动能的变化。一、动力学普遍定理（回顾知识点）一、动力学普遍定理（回顾知识点）动力学动力学（一）动量定理（一）动量定理1、质点系动量定理微分形式、质点系动量定理微分形式eddFtp2、质点系动量定理微分形式投影式、质点系动量定理微分形式投影式exxddFtpeyyddFtpezzddFtp（常用来求动反力等）（常用来求动反力等） 请同学们注意：打括弧的部分，上课请同学们注意：打括弧的部分，上课时基本上都给出了解题方法，复习时，时基本上都给出了解题

57、方法，复习时，对照课件复习，便于掌握；以下同。对照课件复习，便于掌握；以下同。3、质点系动量定理积分形式、质点系动量定理积分形式e12Ip-p4、质点系动量定理积分形式的投影式、质点系动量定理积分形式的投影式exx1x2Ippeyy1y2Ippezz1z2Ipp（求力、时间、速度等）（求力、时间、速度等）5、动量守恒定律、动量守恒定律若若0eF则则cp若若0exF则则cxp（常用来求速度等）（常用来求速度等）6、质心运动定理、质心运动定理eiicFamam7、质心运动定理的投影式、质心运动定理的投影式（1）直角坐标投影式）直角坐标投影式eziziczeyiyicyexixicxFammaFam

58、maFamma（常用来求动反力）（常用来求动反力）利用质心运动定理求动反力的方法（步骤）利用质心运动定理求动反力的方法（步骤）（1）算质点系的质心坐标）算质点系的质心坐标MzmzMymyMxmxiiCiiCiiC , ,（2）将上述质心坐标两边对）将上述质心坐标两边对t 取二阶导数取二阶导数MzmaMymaMxmaiiCziiCyiiCx ,（3）将上述二阶导数代入质心运动定理的投影式，移项整理）将上述二阶导数代入质心运动定理的投影式，移项整理即可求出动反力即可求出动反力(e)(e)(e)zCziziyCyiyixCxixiFmaamFmaamFmaam注意：注意： （1）质心运动定理只能算集

59、中力动反力，力偶动反）质心运动定理只能算集中力动反力，力偶动反力不能算。力不能算。（2）在每个投影轴上只能算一个水平动反力，两个）在每个投影轴上只能算一个水平动反力，两个以上只是动反力的代数和。以上只是动反力的代数和。（3）质心运动定理适用于惯性参考系。）质心运动定理适用于惯性参考系。（4）计算刚体系统的动反力时，若组成刚体系统各计算刚体系统的动反力时，若组成刚体系统各刚体的质心加速度容易确定，则可不需要确定刚体刚体的质心加速度容易确定，则可不需要确定刚体系统的质心位置，用上面计算方法的（系统的质心位置，用上面计算方法的（3）即可算出）即可算出刚体系统的动反力。此时公式写成：刚体系统的动反力。

60、此时公式写成：(e)(e)(e)zCzCiziyCyCiyixCxCixiFmaamFmaamFmaam表表示示什什么么意意思思？请请同同学学们们考考虑虑CizCiyCixaaa,（2）自然坐标投影式）自然坐标投影式ebecen2c0ddFFtvmFvm（常用来求动反力）（常用来求动反力）8、质心运动守恒定律、质心运动守恒定律若若0eF或或0exF并且初瞬时静止并且初瞬时静止则质心运动守恒：则质心运动守恒：ccr或或ccx（常用来求位移）（常用来求位移）（二）动量矩定理（二）动量矩定理1、质点系动量矩定理的微分形式、质点系动量矩定理的微分形式 )(ddeooFmtL2、质点系动量矩定理微分形式