环境水利学第3章 随流扩散与紊动扩散 (4)

1、第一节第一节 随流扩散方程随流扩散方程第三章第三章 随流扩散与紊动扩散随流扩散与紊动扩散uuu vvv www 随流扩散：由于时均流速使污染物质发生输移的现象随流扩散：由于时均流速使污染物质发生输移的现象紊动扩散：由于脉动流速使污染物质发生输移紊动扩散：由于脉动流速使污染物质发生输移对层流对层流: : u、 v、w为零为零x，uy，vz，w设流体质点具有瞬时流速矢量设流体质点具有瞬时流速矢量 在在x、y、z直角坐标上的分直角坐标上的分量分别为量分别为u、v、w： v图图 直角坐标系下的瞬时流速分量直角坐标系下的瞬时流速分量1.1.一维随流扩散方程一维随流扩散方程 设设v=w=0v=w=0，只有

2、，只有u u分量（沿分量（沿x x轴）轴） lFickFick定律：定律：xcDqf l污染物随流输移的通量：污染物随流输移的通量：ucqs l在随流作用和分子扩散作用下，单位时间内通过直角坐标在随流作用和分子扩散作用下，单位时间内通过直角坐标系系yzyz平面上单位面积的示踪物质质量：平面上单位面积的示踪物质质量： xcDucq 第一节第一节 随流扩散方程随流扩散方程xqfqs图图 随流和分子扩散示意图随流和分子扩散示意图xcDucq 对随流，式中：对随流，式中：质量守恒式：质量守恒式： 22)(xcDucxtc 22xcDxcutc 根据不可压缩流体的一维连续性方程根据不可压缩流体的一维连续

3、性方程 有有：0 xu一维随流扩散方程一维随流扩散方程0 tcxq（3-1-1） 为了求得在一定的初始条件和边界条件下该方程的解析解为了求得在一定的初始条件和边界条件下该方程的解析解, ,一般都补充假定一般都补充假定 u u/t t =0=0，亦即认为，亦即认为u u也不随也不随t t 而变。而变。图图 一维输移的控制体示意一维输移的控制体示意第一节第一节 随流扩散方程随流扩散方程用用直角坐标直角坐标表示，有表示，有（3-1-2b） )()(222222zcycxcDzcycxcutc 对三维情形，有通量：对三维情形，有通量：将之代入质量守恒式：将之代入质量守恒式： 由水流连续方程由水流连续方

4、程 ，可得，可得: :cDcq qtc （3-1-2a） cDctc2 0 随流扩散方程与分子扩散方程不同点是多了一些随流项，随流扩散方程与分子扩散方程不同点是多了一些随流项，共同点是两者都是质量守恒定律在扩散问题中的体现。共同点是两者都是质量守恒定律在扩散问题中的体现。第一节第一节 随流扩散方程随流扩散方程（3-1-2c） 用用圆柱坐标圆柱坐标（r，q q， z）表示，有）表示，有式中：式中：ur 、 uq q和和us分别是流速在分别是流速在r、q q和和z方向上的分量。方向上的分量。1)(12222xccrrcrrrDzccrrctczr q q q q q q第一节第一节 随流扩散方程随

5、流扩散方程圆柱坐标与直角坐标的关系：圆柱坐标与直角坐标的关系：图图 圆柱坐标系圆柱坐标系zzryrx q qq qsincos式中：式中：r、z分别为径向距离、方位角、高度。分别为径向距离、方位角、高度。第二节第二节 随流扩散方程的解析解随流扩散方程的解析解 用用解析法解析法求解三维随流扩散方程中浓度函数求解三维随流扩散方程中浓度函数c(x ,y ,z ,t )在在数学上是很困难的，数学上是很困难的， 一般只对一般只对一维随流扩散方程一维随流扩散方程，且在边界，且在边界条件和初始条件都比较简单的情况下才有可能。条件和初始条件都比较简单的情况下才有可能。 严格说来，由于水中污染物的存在对流动会产

6、生影响，严格说来，由于水中污染物的存在对流动会产生影响，例如热污染、海水与河水混掺等，所以当求解随流扩散方程例如热污染、海水与河水混掺等，所以当求解随流扩散方程（包括将要介绍的随流紊动扩散方程）时，（包括将要介绍的随流紊动扩散方程）时， 应将它与应将它与流体运流体运动基本方程组动基本方程组联立求解包括流速和浓度等未知函数。联立求解包括流速和浓度等未知函数。 在示踪物质的假定下，可以将流场和浓度场分开求解，在示踪物质的假定下，可以将流场和浓度场分开求解，即先求解流速，然后求解浓度。即先求解流速，然后求解浓度。 一、一维随流扩散的置换解法及瞬时源无界空间的解析解一、一维随流扩散的置换解法及瞬时源无

7、界空间的解析解 第二节第二节 随流扩散方程的解析解随流扩散方程的解析解一维随流扩散方程一维随流扩散方程: :令令=t，=x-ut，其中，其中u u为常数。采用为常数。采用微分连锁规则微分连锁规则, , 有有: :( 3-2-1 ) ( 3-2-1 ) ( 3-2-2 ) ( 3-2-2 ) xxx uttt22xcDxcutc 将将 写作写作t，便得：，便得：( 3-2-3 ) ( 3-2-3 ) 22 cDtc2222)()( xxx与一维分子扩散方程相似与一维分子扩散方程相似 如果站在速度为如果站在速度为 u 的动坐的动坐标标 上观察，则一维随流上观察，则一维随流扩散问题变为在静止水体扩散

8、问题变为在静止水体中的扩散问题。中的扩散问题。第二节第二节 随流扩散方程的解析解随流扩散方程的解析解在静止水体中的扩散解式中，以在静止水体中的扩散解式中，以(x-ut)置换置换x之后，如果之后，如果还满足一维随流扩散问题给定的初始条件和边界条件，还满足一维随流扩散问题给定的初始条件和边界条件，这就是问题的解这就是问题的解这种解法称为这种解法称为置换解法置换解法。x0u图图 一维随流扩散一维随流扩散将上两式按将上两式按=t、=x-ut 进行变换之后，得进行变换之后，得:( 3-2-4 ) ( 3-2-4 ) 和和( 3-2-5 ) ( 3-2-5 ) 和和( 3-2-6 ) ( 3-2-6 )

9、( 3-2-7 ) ( 3-2-7 ) )(2222ycxcDxcutc )(222222zcycxcDxcutc )(2222yccDtc )(222222zcyccDtc 第二节第二节 随流扩散方程的解析解随流扩散方程的解析解可以将置换解法应用到可以将置换解法应用到一维随流二维一维随流二维( (或三维或三维) )扩散扩散的某些问的某些问题中来。一维随流二维和三维扩散方程分别为题中来。一维随流二维和三维扩散方程分别为: :1 1、瞬时点源无界空间一维随流扩散、瞬时点源无界空间一维随流扩散与分子扩散瞬时点源无界空间解式相应，有解与分子扩散瞬时点源无界空间解式相应，有解: :可以验证，该解满足可

10、以验证，该解满足: 初始条件：初始条件：c( (x, 0) )= md d( (x) ) 边界条件：边界条件：c( (,t ) )=0， c( (, t ) )/ x=0( 3-2-8 )( 3-2-8 ) 4)(exp4),(2DtutxDtmtxc 第二节第二节 随流扩散方程的解析解随流扩散方程的解析解瞬时点源无界空间一维随流扩散瞬时点源无界空间一维随流扩散的解的解: :( 3-2-8 ) ( 3-2-8 ) DtutxDtmtxc4)(exp4),(2 图图3-1 3-1 瞬时点源一维随流扩散瞬时点源一维随流扩散第二节第二节 随流扩散方程的解析解随流扩散方程的解析解随着时间的增加，正态随

11、着时间的增加，正态曲线的峰值愈小，曲线的峰值愈小， 但离但离散程度愈大。散程度愈大。该式也是瞬时无限平该式也是瞬时无限平面源无界空间的一维面源无界空间的一维随流扩散问题的解。随流扩散问题的解。2 2、瞬时半无限长线源无界空间的一维随流扩散、瞬时半无限长线源无界空间的一维随流扩散与分子扩散瞬时半无限长线源解式相应，有解：与分子扩散瞬时半无限长线源解式相应，有解：它满足瞬时半无限长线源无界空间的定解条件它满足瞬时半无限长线源无界空间的定解条件 初始条件：当初始条件：当x0时，时，c(x, 0)= 0； 当当xx1时，时，c(x, 0)= 0； 当当|x| 0 , c(x，0)=0; 边界条件：边界

12、条件：c(0，t)= c0（常数），（常数），c(，t)=022xcDxcutc 一维对流扩散方程：一维对流扩散方程：若用置换法：若用置换法：0, )4(),(0 xDtutxerfcctxc 上式满足初始条件，但不满足边界条件。上式满足初始条件，但不满足边界条件。第二节第二节 随流扩散方程的解析解随流扩散方程的解析解图图 3-3 3-3 时间连续恒定点源一维随流扩散浓度与时间的关系曲线时间连续恒定点源一维随流扩散浓度与时间的关系曲线第二节第二节 随流扩散方程的解析解随流扩散方程的解析解通过拉普拉斯通过拉普拉斯(Laplace)变换方法求得解：变换方法求得解：)4()exp()4(2),(0D

13、tutxerfcDuxDtutxerfcctxc ( 3-2-19 )( 3-2-19 )四、一维随流横向扩散的稳态解（分层流）四、一维随流横向扩散的稳态解（分层流） 三维随流扩散方程：三维随流扩散方程：当当v = w = 0，并忽略在，并忽略在x方向和方向和y方向上的分子扩散项，方向上的分子扩散项，便得一维随流横向扩散方程：便得一维随流横向扩散方程： )()(222222zcycxcDzcycxcutc 22zcDxcutc ( 3-2-20 )( 3-2-20 )第二节第二节 随流扩散方程的解析解随流扩散方程的解析解l设各点的速度同为设各点的速度同为u（常量）（常量）l浓度的初始情形如图浓

14、度的初始情形如图3-43-4所示，所示，x轴上方的浓度为轴上方的浓度为0, 下方下方的浓度为的浓度为c0（常数）。（常数）。图图3-4 3-4 分层流分层流第二节第二节 随流扩散方程的解析解随流扩散方程的解析解边界条件为边界条件为: 当当x0时，时，c(x，)=0，c(x，-)=c0 当当z0时，时，c(0，z)=0 当当z2D/u），等浓度线沿），等浓度线沿x方向拉得很长。方向拉得很长。所以所以x方向的分子扩散可以不计，变为一维随流二维横向扩散方向的分子扩散可以不计，变为一维随流二维横向扩散的稳态问题。的稳态问题。Dt2第二节第二节 随流扩散方程的解析解随流扩散方程的解析解图图 3-2 3-

15、2 时间连续恒定点源一维随流三维扩散的等浓度线时间连续恒定点源一维随流三维扩散的等浓度线l将该问题设想为有一系列厚度为将该问题设想为有一系列厚度为 dx 的薄片，以速度的薄片，以速度u经过与经过与坐标原点重合的源点；坐标原点重合的源点；l经过源点时，每一薄片接受的污染物质量为经过源点时，每一薄片接受的污染物质量为 ，为每一为每一薄片通过源点的历时，薄片通过源点的历时，=x/u；l薄片在（薄片在（y-z ）平面上作横向扩散，也以速度平面上作横向扩散，也以速度u 沿沿x方向运动。方向运动。d d M图图3-5 3-5 简化计算的运动薄片分析简化计算的运动薄片分析第二节第二节 随流扩散方程的解析解随

16、流扩散方程的解析解根据二维扩散的瞬时点源解根据二维扩散的瞬时点源解，薄片中单位面积上的质量为（即，薄片中单位面积上的质量为（即污染浓度）：污染浓度）： 考虑到薄片的位置是由考虑到薄片的位置是由x=ut 给出，而且三维的浓度是薄片单位给出，而且三维的浓度是薄片单位面积上的质量除以薄片厚度面积上的质量除以薄片厚度d dx，故可得到本问题的解：，故可得到本问题的解：)44exp(4)44exp(42222tDztDyDDtuxMtDztDyDDtMzyzyzyzy d d d d )44exp(4),(22xDuzxDuyDDxMzyxczyzy ( 3-2-23 )( 3-2-23 )第二节第二节

17、 随流扩散方程的解析解随流扩散方程的解析解)44exp(4),(22xDuzxDuyDDutMzyxczyzy )44exp(4),(22xDuzxDuyDDxMzyxczyzy ( 3-2-23 )( 3-2-23 )因为因为D D= =D Dx x= =D Dz z，并令，并令r r2 2= =y y2 2+ +z z2 2，式（，式（3-2-233-2-23）变为：）变为：( 3-2-24 )( 3-2-24 )4exp(4),(2DxurxDMzyxc 第二节第二节 随流扩散方程的解析解随流扩散方程的解析解六、时间连续无限长恒定线源无界空间一维随流一六、时间连续无限长恒定线源无界空间一维随流一维横向扩散的稳态解维横向扩散的稳态解4)(4exp422xDzuxDuyDDxmczyzyz d d d d 在在z轴上的无限长线源上取微分长度为轴上的无限长线源上取微分长度为来考虑所产生的二维来考虑所产生的二维浓度场浓度场dc(x，y)，根据式（，根据式（3-2-23）d d zmM第二节第二节 随流扩散方程的解析解随流扩散方程的解析解)44exp(4),(