2019届湖南省长沙市高三上学期统一模拟考试文数试卷【含答案及解析】

1、2019 届湖南省长沙市高三上学期统一模拟考试文数试 卷【含答案及解析】 姓名 _ 班级 _ 分数 _ 题号 -二二 三 总分 得分 一、选择题 1. 已知集合一：，二 .I. I.:，贝 u /八工 （ ） A. - B. ；_. C. - : D. ； 2. 复数一一 7 的实部和虚部分别为（ ） A. 3,3 B. -3 , 3 C. 3 , 引 _ D. -3 , 引 3. - : I 一 P图像上相邻的最高点和最低点之间的距离是（ ） A. : B. - C. 2 D. J : L | 5. 已知函数 财=插，则（ ） A. 丸芒 R ，使得 /（X） 0 _ B. Vx （0 4迥

2、）./（X）0 C.弼尽 乜）,使得 0 _ D. - ，I J. I 使得 1| - . 1 4. 椭圆丁的焦点在“轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长 是 2的正方形的顶点，则椭圆 的标准方程为（ ） D. 一一_ 4 ? 4 ? A. B. 学2=1 C. 6. 下图是某几何体的三视图，其正视图，侧视图均为直径为 为 2的圆，则该几何体的表面积为（ ）2 的半圆，俯视图是直径 A. 3 - B. 4 , C. 5 , D. 12 定 7. 九章算术是我国古代第一部数学专著，全书收集了 246个问题及解法，其中一 个问题为 现在一根据九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数

3、列，上面四节容积之 和3 升，下面二 节的容积之和为 4 升，求中间两节的容积各为多少？ 则该问题中 第2 节，第 3节 ，第 8节竹子的容积之和为（ ） A. 升 B. 升 C. 升 D. 升 6 ? 8. 某同学为实现 给定正整数 ，求最小的正整数 ，使得 3 沁，设计 程序框图如下，贝 V判断框中可填入（ ） A. - . B. C. 二弘 D. -. 9. 若，贝 V2匸 的最大值与最小值之和是（ ） A. 0 B. -2 C. 2 D. 6 C. 11. A. C. ；中， 一 6MII A + +3 B. I 3j 23kui 丿 + ；+3 D. I 3 J .AB-3，贝 V

4、Si 左匚 的周长为( 张讨 J+-1-F3 6) ( 八 2 air 1 的左顶点和右焦点, 为坐标原点， ) 二、填空题 13. 等比数列；.：；的公比为一 1.，贝【J I I _ 14. 空气质量指数（.；：嵌乂九亡匚，简称 -.）是定量描述空气质量状况的 指数，空气质量按照 “ “：大小分为六级，050为优；51100为良；101 - 150为轻度污染；151200为中度污染；201300为重度污染；大于 300为严 重污染“某环保人士从当地某年的 .记录数据中，随机抽取 10天的.“数据， 用茎叶图记录如下.根据该统计数据，估计此地该年 ； 大于 100的天数约为 _ .（该年为

5、365天） 4 5 5 0 7 5 4 9 3 0 11 S 1 21 2sin(/T- or)+ 15. 化简： 16. 矩形 屈门中， ，:, ，矩形内部一点，且 = I 若. . 贝 V ； 的取值范围是 _ . 三、解答题 17. 已知数列；.：；为等差数列，其中“. 7： 二常: （I ）求数列： 的通项公式； （口）记二一 - ，设；“ 的前，项和为，.求最小的正整数，使得 2017 18. 某研究型学习小组调查研究 中学生使用智能手机对学习的影响 “部分统计 数据如下表 ttffl 智桃手机人牡 不楼用會麗乎机人数 合计 学习应纸优莠人数 4 g 12 学习成细不优靑人獻 16

6、1 1S 舍计 20 0 30 参考数据 P任咲) 0 15 010 005 0.02$ 0 010 0005 0.001 3 072 2 7W 畑1 3024 6血 7 879 10 O 参考公式：. ，其中： (卄方)(+町(口 (I)试根据以上数据，运用独立性检验思想，指出有多大把握认为中学生使用智能手机 对学习有影响？ (n)研究小组将该样本中使用智能手机且成绩优秀的 4 位同学记为 组，不使用 智能手机且成绩优秀的 8位同学记为.组，计划从 组推选的 2人和，组推选的 3人中，随机挑选两人在学校升旗仪式上作 国旗下讲话分享学习经验“求挑选的 两人恰好分别来自 、.，两组的概率. 19

7、. 如图，以 、二、：、厂、厂为顶点的六面体中， _ ：，.和 4fin 均为等边三角形，且平面 ABC - 平面.4RH (n)求此六面体的体积. 20. 已知过 【一 一的动圆恒与*轴相切，设切点为是该圆的直径. (I)求：点轨迹.“的方程； (n)当：不在 y轴上时，设直线 :与曲线交于另一点 L ,该曲线在 .-处的切线与直线， 交于.点“求证：- 恒为直角三角形. 21. 已知函数 I I I , 为实常数. T (I )设厂( I： -I ，当！时，求函数厂 f 的单调区间； (n )当，二一，时，直线“二、 II 与函数 小)、如 的图象一共有四个不同的交点，且以此四点为顶点的四

8、边形恰为平行四边形. 求证： 一- 一.：._ 平面，；：, (I )求证：亍匚平面 ； 22. 选修 4-4 :坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 ；中，曲线 的参数方程为 ，以坐标原点. v = 4 JJW 为极点， 轴正半轴为极轴的坐标系中，曲线 的方程为 .：- - | _ - ( 为常数). (I )求曲线 的直角坐标方程； (H )设.“点是 上到.轴距离最小的点，当，：过，.点时，求. 23. 选修 4-5 :不等式选讲 已知 /(x)|x-tf|+|x-3| . (I )当：-时，求I I的最小值； (n )若不等式 -的解集非空，求：的取值范围. 参考答案及解析 第 1题【答

9、案】 C 【解折】 故选匚 第 2题【答案】 【解折】 ,虚却是跖故选E. 第 3题【答案】 知“买部是 【解析】 函数的周期丁 = 2疋，相邻最高 点和最低点的横坐标间的距离为用根据勾股定理最高点和最低点之间的距离为，故选九 第 4题【答案】 C 【解析】 由条件可知首=E = 、 N ,那就是求最小的正整数！,使得7 N不符合题意，只 wcx；v ,才满足条件故选： 第 9题【答案】工一；y *10 4 【解析】 由条件可东oh严1“ ，求 *1 S1 z = x-2y的最大值和最小值的和如下囲 画出可行域-=v-2j=； = 表示斜率为 M a |的一组平行当亶线过点M和C时酗取得最大倩

10、和最小值，3(2,-1) , C(4,3).代入目标 -=2-2X(-1)=4 ； 鼻-23二一 2，所決最大11和最小值的ffl为4十(2)=2 ,故选C 【点睛】线性规划中求最值的几种題型包含 -= + Ay的最值丿可车訛为严-$ +丄二的形 b b 式，斜率 -兰当沪0时严那么可将-的最值问题辛专化为直线的纵截距的最值问题 b b L G-盯-疔表示可行域内的点与点(碇)间距离平方的最值凹 表 x 示可行域內的点与点,(e V)连线科率的最值j (4)二 l-T Y 1可先变形打 I：- |Xv + +C| |/T 十曲十 C| 二=血讣的 J . / J表示可行域內的点到直?Mv+C=

11、o距离的最 值即芾入点到线的距禽最大的点使 最大,最小的点带入即使二最-卜 第 10题【答案】【解析】 /(-x) = ln|-r|-(r)? =ln|x|*j =f()、走义域尢(y. 0)(0. EQ)，所以匡齒是偶函数 ，图象应关于F轴对称当工卡亦 时x hi卜卜 Ety 丿故选九 題鶉蓉谿霜黔鹉砌脚輪魏矗本黔勰 调性，判断函数團像的变化或趋势，+X或I T 卫 时函数團像的变化趙势等来利断 fflffi- 第 11题【答案】 【解析】 根据正弦定理， AB _ SC _ AC _ 3 穆花一贏7一忑万一 1価2用 f ，那么BC=2nA丿匚生/JLinB所以周长尊于 亍 r / y 2

12、/3siiLl + 2 + 3 = 2x/3 siii4 + si口 A +3 ，抜选匸 【点聘】正余弦定理是高考热点和重点，尤其边角互化的时候一般用正弓蜒理 - = - 2R ，变刑为a = 2JfeinA上=2島iiiB” = 2島mt*总样将边化为角，利用三 wind 鼻1【出 inC 角跚的恒等变形和三角函数的性庚求解，n:d:c = siiU:siii:sinC这祥也可将角的正弦的比例 转化为边的比例关系，再结含余弦定理求解. 第 12题【答案】式单从 -23 D 【解析】 ZOZQO 所以 ；皿= = 2 y所以椭圆的离心率e= = V?,故选D, s 皿 0 OF- e 2 a

13、第 13题【答案】 ln2 【解析】 ( y 臥叫活了 Tn(%J弘=ln2 1201(丿 第 14题【答案】 146 【解析】 茎叶團中尢于1M的天数为4天，所 法加盏，解得：斥 f ，所以该年切大于啲天数约为倔天“ 第 15题【答案】 2sincz 【解析 廂潯T 2in* 2sini7os 、. =2sinff . 1+coSrtt 知甬表示未知角等，三角国数名称的娈此 比如栢 3 二曲二，诱导公式的使用J两角和差的 cosrv 公式的使用竽.第 16题【答案】 【解【解析】析】 以点呼点月玄以点呼点月玄轴，轴， .3 为F轴建立平面直甬坐标系；0.0）5（3,0） 3（0:2）根据巫

14、石卄而 可知, 尸（3上2”），因为昇尸=1 ，所以（3工丫 + （邛=1 , x0.v0那么 （3卡2yf = （2j-J2 + 2 x3x 2y = 1 + 2x（3x）x（Zy） , fi 2 x3r 2j （3xV （2yf =1 所1（3A+2T）?/ = 2-1 5（11 I）的结果 可得 n 再根据製项相消法朿和得乳二;最后求不等武的解集， 2n-l 2? + 1 站+1 试题解折；C 1股等连数列冊的公100S ,故取二 1009第 20题【答案】 卩牋研究小势育瓯 涵的把幄认为中学生使用智能手机对学习有影响；- 5 【解析】 试题分祈:（I根据A 2列联 表计算F=10对比绫

15、考数瘙Jt3 7.S97且k 10.828所以有仏冊囱巴握认为中学 生使用智能手机对学习肖款尙（n）J组中的2人和组中的臥编号，列举所有挑选两人的 基本事件的个数，和其中分毎慄自儿月两组的基本事件的个数，最后相除就是所求概氧 试题解析：u旅撼上方公式朿得JCW , 因为7許7町疋10.828 所以该研究小组有袋炎的把握认为中学生使用智能手机对学习有影响. 卩1记川纟且権选的两名同学为备,J?绡推选的三名同学为, 贝以中随机选出两名同学包含如下1吩基本事件； 佃q （咛%（气.bjg 也（込丄J（a2.曾）.&J.（乌鸟）上J 记申进的两人恰好分别来自A. B两组为事件Z ； .刚事件Z

16、旬含如下石个基本事件r （码上JSMJ （码点）陆&J （吟卜；） 故陀）嗚 - 即挑选的两人恰好分别来自小B两组的概率罡* - 证明见解析，(2)2- 【解析】 试题分祈：(I)作DFLAB , 交肋于F ,连结CT ,根据条件证明四边形是平行四边形$ (II)将此六面体分成两个 三祓锥的体积和血+心“依，根据(I的结果可知点到平面初C的距离是EC ；点到 平面ABD的距离是ED ,这样求体积和. 试题解析：(I作DF LAB ,交朋于 F ,连结CF . 因为平面ABC丄平面ABD , 所以DF丄平面ABC , 又因为EC丄平面凡3C , 从而 DF / /EC . 因为A4BD罡

17、边长为2的等边三角形， 所以DF二巧； 因此DF二EC , 于是四边形DECF为T行四边形, 所臥 DE 门 CF , 因此DEU平面/12C II)因为MED是尊边三角形， 所以F是/!占中点， 而罡等边三角形， 因此CF丄川B , 由DF丄平面/站C ,知DF丄CF , 从而CF丄平面佃Z), 又因为DF 打 EC , 所以DE丄平面ABD 因此四面体ABDE的体积为扣4 DE=1 , 第 20 题【答案】 （1） x2 = Sy ; （2）证明见解析“ 【解析】 试题分析：（I）设点工（工） ，点是点在X轴射彫的中点，即彳列，根据几何关系可知芮丄元，将其转化为 数量积的坐标表示即为轨迹方

18、程5（ n）设直线AC的方程为y=fcv42与抛物线方程联立交于 只C两点，设C（WJ.P（6J，根据导数的几何意义求扯和两点的直线斜率求灯c，证明 臥 ,即说明SPQC是直角三角形. （x 试题解析：（I ）设C点坐标为（X）,则B点坐标为;-，0j . 因为M是直径，所以3彳丄BC，或C、B均在坐标原点. BC = 0，而B仁-扌,2 , C = （寸j， 2 SiW-+2v = 0 ,即x2 =Xv j 4 另一方面，殳 Q %殳是曲线上一鼠 则有M =厶痘-2, V U J 8 x： AC中点纵坐标为2十才_斗16 , 16 AC为直径的圆与工轴相切. 综上可知C点轨迹E的方程为x2=

19、8y . （II）设直线的方程为j =fcv + 2 , 设 则有XW=T6 . 第 21 题【答案】 单调递增区间为(TC.O).(O.g),无里调递;咸区间；证明见解析. 【解析】 试题分析；(I)求函数的导数 r(.v)=/+4 ，因为QO ，所以显然尸(工)0得到函数的单调区间；(11一组对边平行 且相等的四边形为平行四边形，即/O)-g(炖) = /()(),所次分析函数 F(.Y)= /(x)-g(x)，根据函数的二阶导数可判断函数在(0.1)为减函数，在(1-g)为増函数 ,若FO) = F(n),即一个根小于1, 一个根大于1,艮卩得结果. 试题解析：(I)F(x) = er-,其走义域为(一 oc.O2(0.+8) X 而F(x) = 十丄, X 当 o0 时F(x)0 , 故申)的单调递増区间为(YO.O).(0.+OC),无单调遥减区何. (II)因为直线x = m与X = n平行, 故该四边形为平行四边形等价于/(w)-g(w) = /()-() Hw 0,H 0 . 訥时,F (x ) = / (x ) - (x ) = Z + - (x 0), X 则Ff (.v) = - 4- 令(v)=Fr(-v) = / -4 x X 则 g(x)“4*o , X 故F(x) = Z-4在(OHoc)上单调递増, X* 而X(l)=-p-=O J 故r