2019届湖南省郴州市高三第四次教学质量检测理科数学试卷【含答案及解析】

1、 2019 届湖南省郴州市高三第四次教学质量检测理科数 学试卷【含答案及解析】 姓名 _ 班级 _ 分数 _ 题号 -二二 三 总分 得分 一、选择题 1. 已知集合/ S. :. : ：3 :若飞则实数刖 的取 值范围是（ ） 2. 已知复数 满足）.,则复数 在复平面上对应的点在 （ ） A .第一象限 _ B .第二象限 _ C. 第三象限 _D.第四象限 3. 已知 为等差数列； 的前.项和，巴二 J二；, 贝 V 等于 （ ） A : _ B C . D. 2 2 4. 已知直线：.* = ：；匚 C过双曲线 一 - 一- ；- ：的一个焦点, 且与 双曲线的一条渐近线垂直， 则双曲

2、线的实轴长为（ ） A B x -C -: D I _ - D.: 8. 已知函数 / （工）二 hm （2工+羽 1 |tf）| 0 13. 如果实数軌 T满足条件 2.V+ -2 0 ,贝 V =- 的 最大值为 v 2x 1 x-1 0 14. 甲、乙、丙三人将独立参加某项体育达标测试 ， 根据平时训练的经验， 甲、乙、 丙三人能达标的达标的概率分别为 一-，则三人中有人达标但没有全部达标的概率为 r s 15. 在一：/ 中,二二一.匚用止心, 若, J：. - :：,贝 u L4.4H U4IJ 16. 已知正项数列；一的前项为 ，当- 时， . I , 且广.二, 设，： - ，贝

3、 V 匚1. + ：.二 _ 三、解答题 17. 在 _ ： ,；中， 角-3 -的对边分别为 ,且 I . ，：_ ”.：.：. (1 )若 ,求 的值； (2 )若厂二二比为念丁的面积为；J ,求 . 18. 中学阶段是学生身体发育最重要的阶段 ， 长时间熬夜学习严重影响学生的身体健 康， 某校为了解甲、乙两班每周自我熬夜学习的总时长 (单位： 小时), 分别从这两 生平均每周自我熬夜学习的总时长超过 :小时， 则称为“过度熬夜” 个班中随机抽取:.名同学进步调查， 将他们最近一周 自 我熬夜学习的总时长作为样 本数据，绘制成茎叶图如图所示 (图中的茎表示十位数字， 叶表示个位数字), 如

4、果学 jF BM 9 3 1 1 2 4 0 1 3 ? 1 （1 ）请根据样本数据， 估计甲、乙两班的学生平均每周自我熬夜学习时长的平均值； （2） 从甲班的样本数据中有放回地抽取 -个数据， 求恰有个数据为“过度熬夜” 的概率； （3） 从甲、乙两班的样本数据中各随机抽取 名学生的数据， 记“过度熬夜”的学 生人数为 于,写厂的分布列和数学期望 19. 如图,在四棱锥中,是边长为 的正三角形，二_底面 （1 ）求证：-，-； （2）若 沉：汇，求二面角 一 5 一 的正弦值 20. 焦点为，的抛物线 J上有一动点,且点 1抛物线： 的准线与点 7| - I的距离之和的最小值为 . 1 *

5、AJ Pk, IL （1） 求抛物线：的方程； （2） 过点 i._ .作直线交抛物线:于不同/. |的两点 ：，若直线生平均每周自我熬夜学习的总时长超过 :小时， 则称为“过度熬夜” 曲RR分别交直线/ v = 2x2于 两点, 求|_込最小值时直线 必 的 方程 21. 已知函数-I - . . In T （1 ）若 1 - I 在 j 上是减函数，求实数心的最小值； （2）若存在,使/（. ） .-I -成立， 求实数的取值范围重合，设点；为坐标原点 的极坐 直线 （参数:;厂二.）与曲线： 第 4题【答案】 参考答案及解析 第 1题【答案】 【解析】 试题分析；由FS ,所= 丈2 因

6、JCS ,所以 b珀桝二一1 ?解得0弋附冬片,故选c. 第 2题【答案】 A 【解析】 试題分析：由麺意，得一器一3心22卄,其在复平面上对应的点 2+F (2+瞋2丿) 位于第一象限，故曲 第 3题【答案】 【解析】 + fti =-1 6x5 试题分怩宙题甌得仁 43，解得 J ，所以为TH 学心9 ,敌 I 4 血+ - - (1 14 (7 J T MB. 第 7题【答案】 A 【解析】 试题分析：在X VIv2=0中令F “，得X = -2 ,所以取曲线的一个焦点为(2.0),所以 C = 1 .因为直线v -石F + 2 = 0与双曲线的一条弗6定戋垂直J所以VT ，即仃二V d

7、 ，亠沪,即即壮羽d = 4 ,解得二】,所I2A双曲线的实轴长为初故选也. 第 5题【答案】 【解析】 趣分析：由己地得竺仝，朗 T sin y= sin AT+、所決cos工二 -因为主 （6忑）、所以.tan x = 2 、故选 2 2 2 2 3 第 6题【答案】 【解析】 试题井析：令x = 0 J得珥+丐+円牛竹丰q斗迅=1因为=3-2(1 + JV)1 ：所以 仇=-2;二-32 ,所以.口Q +珂+丐亠碍十叫二1 -碍 w 弓3 ,故选C-第 10题【答案】 p 【解析】 试題分析：第一次循环，得1心“,第二次循环，得2 ,第三;久擔环，得”攵$之 !第四次循环，得” 壽14

8、j第五次循环，得h = 5=30 j 若输出的值为14 , M 2icl |若输出S的値対孔,贝?所以P罡真命锁，i是假命题 F 是亘命题，故 2 1 选D 第 8题【答案】 L 【解析】 试题分析当(一?一寻”寸2工十卩亡一寺+曲一彳4妙)-因为|y , /(v) ff(-3),所以?吗P T卜亠5 ,解得 ? V J ) 】 xl且2 Q ,故型yl、所以厝)的最小值为$故选氏 第 12题【答案】 【解析】 试题分析：由三视團扯 该几何体是由两个相同的直EJtAOD-EFG和ROF-CD?组合而成的 、其直观團如團所示，所以该几何体的体R为*小2乂2日；故选A 第 11题【答案】 卫 【解

9、析】 试题井析： 设点尸为桶圈対上的动点， 贝iJ| |C|= 2a-PF2-FC=2(PPC) .为匚尸迟 三点共吋，I足|一|尸匸|取得最大值2也，此时|厲戶叨又 Ud|4|化 + ,所以点/是线段理 上制E巧的一个三等分点所以虫討半町 b?程，得(討译拧 即芝+红1 ,解得-=7 -即防:；故选 X 亠一二1 9/9 Q 2 2 代入椭 第 13题【答案】 b b第 14题【答案】 【解析】 试题分折；因为函数/何罡奇数，所/(0) = 0、即心0 ,所/(Y) = -XJ + 3X ,所以 /I(JC)=-3I2 +3 = TOc + lX-l)* S-1 0 ,当 丁 c1 或x 1

10、 时 /(v) 2 Jt 2 有两个根又左*2 11 ,由的数團義可得仁7 ；或, 或仁 ，解得 XT i+l2 kl2 或斤3故选2: 第 13题【答案】 L1 2 【解析】 试題分析；作出不等式组表示的平面区娩如團所示.设,由團轨当” =-2卄$ 旅如。)时取得最小值-2、经过点时取得最大値、所以人 2 弓所以 1 3MK r * 川(0+ ?灯一2) 【解析】 试题耸析：三人中有人达标但没有全音陋辰即为三人中W-A或两人达标其桃率为 ,3 2 3 1 1 2 2 4 3 5 4 3 5 厂 第 15题【答案】 12 【解析】 趣井析：由C = 2 D-C5得= ,则甥=三骂-由题直，得c

11、os,4 = | ,所玖 止 剧 LMJ Lun ijjji 1 AB AC =| 上|丿它 j ,所以 mi LLU LUI LLU UJD Uli LLU ILK LLH LL1I1 x HU, * Lili UJD LLilk CD CB = C4D- ACAB - AC = - AC)( -AC) =AB AC AB + AC = |叽討心】2 第 16题【答案】 f? 一 n 【解析】 试题井析；由題亀 得-2X0=兀质,即戲-禺禺T +4踪广。,亦帅 （-头門）（昂7跃叫2 J所,因対爲0 ,所次$-4乂_严0 ，即 7 = 4，所以数列愣J罡苜项対 4 公式対4的等比数列，所以必

12、二羊叫当2时， % 电二出一3叫7“ ；所法人=1叱严=1理】驾二=2可一2 ,所以勾+巧 1+虬二 第 18题【答案】 第 17题【答案】 【解析】 试题弁析； 苜先利用三角册内角和定理得到角间的关系，然后制用正弦宣理将已知条件等 式中的边化为甬，由11咪得uwC的值，从而求ff.iuC的值，进而可求得和口E的值,(2)首先利 用正弦定理将已知条件等式中的角化为边得劃如 间的关系，由此求得为的值然后和用面积公式 未得沖4的值，从而求得 g 詡的值，进而利用余弦定理求得“的值. OW析；C QJ + +C = .3C = /J? = 2C , (2)由 3igin A 2/ifn.C 得= M

13、5C的面积为如 g 冷価心=3我沁仁当 贝Jcos A - .a2 =9 + 12 土 12 解厲 ? = 3sin B =闖口 2C = 2 sin C cos 1）甲班、乙班学生每周平均熬夜时间分别为】9、22伽寸；2）扌；分布列解析, 【解析】 试题分析：（1）分别求出甲、乙两班样本数據的平均值，由此能估计甲、乙两班学生毎周平均熬夜E寸 间；（2）首先求得从甲班的6个样本数協中随机抽取I个的数据为“过度熬夜力的概率，由此可求得 所求概率,首先得出X的所有可能取值，然后分别求出相应概率，从而歹业分布列，求得数学期 望 试题解析； 甲班样本数据的平均值为；（9 + 11+13+20 + 24

14、+37）=19 ,由此估计甲班学生每周 6 平均熬夜时间19小时；乙班祥本数据的平均值为乂11 + 12 + 21+25+27十36） = 22 ,由此估计乙班 6 学生每周平均熬夜时间22小时. C6C6 亠 C6C6 叱小汽严炽 g）嘩洛 X的分布列是; _2_ 26 32H_J_ 25 75 75 75 75 + 1X4-2x + 3x 4X=- 75 75 75 75 3r (x-j 匸 g Ygcy; 一 ？ i 75 第 19 题【答案】 【解析】 试題分析；(1 连接.4C交BD于0 ,然后利用线面垂直的性质与已知条件证得朋丄平面PBC ,由此推出.站丄BC ,从而通过解三角形推

15、岀M丄 J3D ,进而推岀丄平面*C尸，可使问题 得证,(2)以O为坐标原点建立空间直角坐标系，求得相应点的坐标与向翼 然后求得平面尸他 与 平面凡法向量，从而利用空问夹角公式求解即可” 试题解析； 证明；连接犹 交 BD于0 , QPC 丄底面.4BCD , /. PC 丄 HBQ-4B 丄 B P.BP CP = F；AB 丄平面 FBC , 则曲丄 5C.Q BC = ,tan ABAC =，即 30 .Q = 60 .厶 90 , 3 3 即 AC 丄 BDQ PC 丄 BD； BD 丄平面 ACP,:. Ed 丄 BD . (2)宙(1)知O是ED的中点，过O作 OF PC交.4P于

16、F QO为坐标原点，建立如图所示 间直角坐标系，则 J(V3,0.O)(O.LO),Z)(0,-1.0),Ci-,0,0 厨-牛普, mu 则 DB =（0.2,0 设平面的一个法向量(2二), 取PB的中点连接CE.QPCJC.： CE5，则CE丄平面曲卩3 叵量CE 2y = 0 ，令二=1 , 是平 二面角的正弦值为乎. 第 20 题【答案】 1) y- = 4x ; (2) 【解析】 试题分析；连接PF ,然后由抛物线的定义可知当刀、P、F三点共线时卜凹|取最 小值，由此求得卩日,从而求得P的值，进而得到抛物线的方程；首先设出点川的坐标及 直线肿的方程，并联立抛物线的方程得到点九B间坐

17、标的关系，然后设出直线曲的方程，并联立 直线/的方程求出点M、N的横坐标，再利用弦长公式得到|MV|的表达式，从而利用换兀法与二 次函数的性质求得|MV|的最小值进而进到直线加 菸方程. 试题解析： 连接M ,则由拠物线罡义可得，点尸到抛物线C的准线的距富等于PF , 解得曲的横坐标/為 呕点科的橫坐标”亍 设A(A-r j* ).B(xry2) 3AB的方程为心-1)+1(川工0几由丫 “ 工=心_)+ y2 =4x ，消 去 x += 4w .打抛物线C的方程为.卫=4x 第 21 题【答案】(2) 【解析】 试題分析；(1)由/(对在(L2)上为减函数知/tv)7 x 0 va V：求出

18、函数/0)的最值，从而求得实数。的取值范围. 4 4 试题解析：(1QCY)在(LXC)上为减国数，故/，(r) = yn-在(L2)上恒成立，所 叹当x色(1.+0C)时,/，(x)nM0 . 故当一=2 ,即 x = Bit,/(!) =7n , ,于是 ,故 a 最小值为 Inx 2 応 4 4 4 4 2) “若存在兀丘&.P，使/(兀)+成立尊价于，“当疋时，有/(xr 4 j 4 当时，由 得，/(x)在二刃上为减函数，则-丄， I 2 4 当0 5V；时，由于/()= - +丄-0在上为増函数， 4 ln r 2) 4 故厂(X)的值域为广丿训即讣& . 由厂的单调性和值域知，存在唯一(“：)，使/(-)=0、且满足；当“仏吗)时， /(x) - -丄=丄， 迪八 o丿 lnr0 4 I 丿， nxQ 讥 In，4 2 4 4 与05二 矛盾，不合题意.又 /(r) lnx-1 a 二 (1小 第 23题【答案】 第 22题【答案】 1)见解析j (2) BC=2 【解析】 试题升析：仃连接RC ,然后由直径的性质结合已知条件推出AH ,从而可利用切割线走理 证明得结果；首先利用切线定理求得一眩的长，从而利佣勾股定理求S5C的长- 试题解析:连接必,Q 朋为圆0的直& - 2cu = 99tQ AC - CP,/- AB=