设计数学第一章比例、数列.

1、1设计数学2绪论第一部分 初等设计数学第第1章章 比例、比例、数数列列与构图与构图第第2章章 立体几何立体几何与与立体立体构构成中的多面体成中的多面体第第3章章 设计设计透透视与视与透透视阴视阴影影第第4章章 排列、排列、组组合、集合及其合、集合及其设计运设计运用用第二部分 高等设计数学第第5章章 函函数与数与函函数图数图形形第第6章章 微微积积分及其分及其应应用用第第7章章 级数级数、傅里叶、傅里叶级数与节级数与节奏奏第第8章章 矩矩阵与图阵与图形形变换变换第第9章章 分形分形与与分形分形艺术艺术目 录第三部分 设计数学实验第第10章章 设计数学与实验概设计数学与实验概述述第第11章章 函函

2、数数、微、微积积分和分和级数级数的的图图形形实验实验第第12章章 设计构设计构成成实验实验第第13章章 分形分形艺术实验艺术实验3美的基础是数绪 论苏苏格拉底格拉底认为认为：最有益的即是最美的。：最有益的即是最美的。里士多德里士多德认为认为：数学数学促促进进了人了人们对们对美的特征即美的特征即数值数值、比例、秩序等的、比例、秩序等的认识认识。黑格尔在哲黑格尔在哲学学史稿中史稿中说说：“ “美包含在提及和秩序中。美包含在提及和秩序中。” ”毕达哥拉斯认为：万物皆数。数 大自然本身存在的大自然本身存在的数数 可操可操纵纵、可、可应应用的用的数数4美的基础是数绪 论5美的基础是数绪 论6设计中的数学

3、美与设计的数学化绪 论设计中的数学美的表现形式设计中的数学美的表现形式对称、和谐抽象、简洁精确、统一奇异、突变显著特点基本内容重要特征具体表现设计数学化设计数学化 美感是有待美感是有待发现发现和解答的某和解答的某种种未知的未知的数学数学方程式。方程式。这个这个方程式的方程式的变数变数很多，不同的比例配合可很多，不同的比例配合可以以变变成不同成不同类类的美感。的美感。寻寻找找审审美心理的美心理的数学数学方程式是使美方程式是使美学进学进入科入科学学王王国国的重要途的重要途径径，同，同时时也无也无数学数学自身的美找到用途和依据，自身的美找到用途和依据，并并使其得到充分使其得到充分发挥发挥。 科科学认

4、识学认识的的规规律是：律是：对对事物定性事物定性研研究究-研研究其量的究其量的规规律性律性-精确地定量精确地定量研研究，以究，以认识认识事物的本事物的本质质。陶瓷的窑变8设计师需要设计数学教育绪 论随着经济的发展，对工业设计和艺术设计的研究已经进去到一个更深的高级层次和随着经济的发展，对工业设计和艺术设计的研究已经进去到一个更深的高级层次和更广的应用，在这些研究中，数学的应用往往是实质性的。许多一度被认为没有应用价更广的应用，在这些研究中，数学的应用往往是实质性的。许多一度被认为没有应用价值的抽象数学概念和枯燥数学理论，出人意料地在设计实践中找到了他们的原型和应用值的抽象数学概念和枯燥数学理论

5、，出人意料地在设计实践中找到了他们的原型和应用。随着设计的科学化、规范化、数字化、虚拟化、智能化和集成化，人们逐渐认识到一。随着设计的科学化、规范化、数字化、虚拟化、智能化和集成化，人们逐渐认识到一个好的数学家不一定非要掌握设计知识，但一个优秀的设计师必须学习数学，具备一定个好的数学家不一定非要掌握设计知识，但一个优秀的设计师必须学习数学，具备一定的数学修养。的数学修养。设计数学训练能够使设计人员的设计思想的表达和设计创新的推理，更加合理、简设计数学训练能够使设计人员的设计思想的表达和设计创新的推理，更加合理、简洁、严谨和清晰。洁、严谨和清晰。设计数学不仅是一种重要的设计数学不仅是一种重要的“

6、工具工具”或或“方法方法”，也是一种思维模式，即，也是一种思维模式，即“数学的数学的理性思维理性思维”。数学素质是设计师文化素质和设计基础的一个重要方面，懂数学是有文化的象征，数学素质是设计师文化素质和设计基础的一个重要方面，懂数学是有文化的象征，是懂设计的标志。数学的思想、精神、方法，从数学的角度看问题的切入点，处理问题是懂设计的标志。数学的思想、精神、方法，从数学的角度看问题的切入点，处理问题的条理性，思考问题的严密性，对设计师综合素质的提高都有不可或缺的作用。的条理性，思考问题的严密性，对设计师综合素质的提高都有不可或缺的作用。“胸中胸中有数有数”中的数，不仅包含事物的数量方面，也包含数

7、学的思想、精神、方法等方面，所中的数，不仅包含事物的数量方面，也包含数学的思想、精神、方法等方面，所以设计数学教育是提高设计师基本素质的重要环节。以设计数学教育是提高设计师基本素质的重要环节。9设计数学的性质、作用、任务和学习方法绪 论性质性质：专业基础理论课：专业基础理论课作用：作用：掌握必要的数学工具，用来处理和解决设计中普遍存在的数学化问题和逻辑推理问题。掌握必要的数学工具，用来处理和解决设计中普遍存在的数学化问题和逻辑推理问题。熟悉数学文化、加强数学底蕴、提高数学修养、具备数学素质，使未来的设计师终身受熟悉数学文化、加强数学底蕴、提高数学修养、具备数学素质，使未来的设计师终身受益；益；

8、培养培养“数学方式的理性思维数学方式的理性思维”如抽象思维、逻辑思维，帮助设计师在今后长期的实践中如抽象思维、逻辑思维，帮助设计师在今后长期的实践中潜移默化地运用数学规律去创造文明；潜移默化地运用数学规律去创造文明；掌握透视造型艺术的视觉特征，领会视觉感受的数学关系，逐步熏陶高尚的审美情操；掌握透视造型艺术的视觉特征，领会视觉感受的数学关系，逐步熏陶高尚的审美情操；为未来设计师的继续教育和终身学习打下扎实的基础，做好充分的准备。为未来设计师的继续教育和终身学习打下扎实的基础，做好充分的准备。10设计数学的性质、作用、任务和学习方法绪 论主要任务：主要任务：学习设计数学的基本知识和必要的基础理论

9、；学习设计数学的基本知识和必要的基础理论；掌握设计中所需要的常用数学方法；掌握设计中所需要的常用数学方法；完成应用数学工具开展设计实践的基本训练；完成应用数学工具开展设计实践的基本训练；培养抽象思维能力、逻辑推理能力、几何直观能力、空间想象能力、设计培养抽象思维能力、逻辑推理能力、几何直观能力、空间想象能力、设计构思能力和应用数学方法解决设计问题的能力；构思能力和应用数学方法解决设计问题的能力；为学习后续课程和开展实际设计工作奠定必要的数学基础。为学习后续课程和开展实际设计工作奠定必要的数学基础。学习方法：学习方法：理论联系实际理论联系实际重视数学实验重视数学实验掌握解决设计问题的方法掌握解决

10、设计问题的方法注意个性化发展注意个性化发展 11第一部分 初等设计数学第第1章章 比例、比例、数数列列与构图与构图第第2章章 立体几何立体几何与与立体立体构构成中的多面体成中的多面体第第3章章 设计设计透透视与视与透透视阴视阴影影第第4章章 排列、排列、组组合、集合及其合、集合及其设计运设计运用用第二部分 高等设计数学第第5章章 函函数与数与函函数图数图形形第第6章章 微微积积分及其分及其应应用用第第7章章 级数级数、傅里叶、傅里叶级数与节级数与节奏奏第第8章章 矩矩阵与图阵与图形形变换变换第第9章章 分形分形与与分形分形艺术艺术目 录第三部分 设计数学实验第第10章章 设计数学与实验概设计数

11、学与实验概述述第第11章章 函函数数、微、微积积分和分和级数级数的的图图形形实验实验第第12章章 设计构设计构成成实验实验第第13章章 分形分形艺术实验艺术实验121.1比例比例与数与数列列1.2比例比例与数与数列在列在设计构图设计构图中的中的应应用用1.3分割在分割在设计构图设计构图中的中的应应用用1.4小小结结第1章 比例、数列与构图131.1比例与数列22040BCAB21020CBBACBBABCAB1.1.1比例线段与相似形比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段。例1： 图图1.1中中，AB=40，BC=20，AB=20，BC=

12、10解：因为 因此，AB、BC、AB、BC是成比例是成比例线线段，而且矩形段，而且矩形ABCD与与矩形矩形ABCD是是相似形。 两个矩形的对角线若是平行的，或者是互相垂直的，这两个矩形就是相似形。 所以 141.1比例与数列1.1.2比例的基本性质设 a:b=c:d，则则 ad=bc （外（外项积项积等于等于内项积内项积） b:a=d:c（反比定理）（反比定理） a:c=b:d 或或 d:b=c:a（更比定理）（更比定理）ddcbbaddcbbadcdcbaba（合比定理） （分比定理） （合分比定理）bafdbecafedcba 设，则 xy 若若y与与x成正比（或成正比（或写写成成），则

13、kxy或或y=kx（式中（式中k为为比例常比例常数数，下同），下同）kxy1:或xy=kxy1）则 若若y与与x成反比（或成反比（或写写成成151.1比例与数列1.1.3数列的定义数数列：按照某列：按照某种种法法则则排列着的一列排列着的一列数数或者按照一定的或者按照一定的规规律所排列成的一群律所排列成的一群数数（数数群）群），称为数称为数列。列。一般形式：一般形式：a1,a2,a3,an, （1.10）其中：其中：an是是数数列的第列的第n项项。有。有时时把上面的把上面的数数列列简记简记作作an。如果。如果数数列列an的第的第n项项an与与n之之间间的的关关系可以用一系可以用一个个公式公式来来

14、表示，那表示，那么这个么这个公式就叫做公式就叫做这个数这个数列的通列的通项项公式。公式。数数列可以用列可以用图图形形来来表示。在表示。在画图时画图时，为为方便起方便起见见，在直角坐，在直角坐标标系系两条两条坐坐标轴标轴上取得上取得单单位位长长度可以不同。度可以不同。项数项数有限的有限的数数列叫做有列叫做有穷数穷数列，列，项数项数无限的无限的数数列叫做无列叫做无穷数穷数列。列。 161.1比例与数列1.1.4等差等差数数列列1.1.4.1等差等差数数列的定列的定义义一般的，如果一一般的，如果一个数个数列列从从第二第二项项起，起，每一每一项与它项与它的前一的前一项项的差都等于同一的差都等于同一常常

15、数数，那，那么这个数么这个数列就叫做等差列就叫做等差数数列列，这个这个常常数数叫做等差叫做等差数数列的公差，公列的公差，公差通常用字母差通常用字母d表示。表示。如果等差如果等差数数列列an的首的首项项是是a1，公差，公差是是d，那，那么么根据等差根据等差数数列的定列的定义义得到得到an= a1+(n-1)d （1.11）an通通项项式式这这就是就是说说，等差，等差数数列的前列的前n项项和等于首末和等于首末项项的和的和与项数与项数乘乘积积的一半。的一半。式式(1.16)又可以又可以写写成成dnnnasn2) 1(1 (1.17)1.1.4.2等差等差数数列的前列的前n项项和和等差等差数数列列an

16、的前的前n项项和和为为Sn，即，即Sn= a1+a2+an (1.13)将将式（式（1.11）代入上式，可得）代入上式，可得Sn= a1+( a1+d)+ a1+(n-1)d (1.14)再把再把项项的次序反的次序反过来过来，Sn又可以又可以写写成成Sn= an+( an-d)+ an-(n-1)d (1.15)式式(1.14) 与与式式(1.15)相加，得等差相加，得等差数数列列an的前的前n项项和的公和的公式式2)(1nnaans (1.16)171.1比例与数列1.1.5等比等比数数列列0q1.1.5.1等比等比数数列的定列的定义义一般的，如果一一般的，如果一个数个数列列从从第第2项项起

17、，每一起，每一项与它项与它的前的前一一项项的比等于同一的比等于同一个个常常数数，那，那么这个数么这个数列就叫做等比列就叫做等比数数列，列，这个这个常常数数叫做等比叫做等比数数列的公比，公比通常用字列的公比，公比通常用字母母q表示表示G2=ab (1.21)GbaG an= a1q(n-1) (1.18)其中，其中，a1与与q均不均不为为0。 an：通：通项项公式公式如果在如果在a与与b中中间插间插入一入一个数个数G，使，使a，G，b成等比成等比数数列列，那，那么么G叫做叫做a与与b的等比中的等比中项项。如果如果G是是a与与b的等比中的等比中项项，那，那么么，即qqaasnn1111.1.5.2

18、等比等比数数列的前列的前n项项和和 等比等比数数列的前列的前n项项和是和是 Sn= a1+a2+an (1.23) 上面的公式还可以写成 (1.26)1q，等比数列an的前n项和的公式当qqasnn1)1 (1(1.25)181.2比例与数列在设计构图中的应用1.2.1比例在比例在设计构图设计构图中的中的应应用用在在设计设计中，比例的主要表中，比例的主要表现现：（：（1）画画面的面的长与宽长与宽的的关关系；（系；（2）图图形形与与底的比例大小底的比例大小关关系。系。黄金比例是具有稳定和秩序的比例关系。古希腊推崇稳定与秩序之美，故被视为最美的比例。 古希腊人发现黄金分割存在循环关系： 1:1.6

19、18 =(1.618-1):1，即，即1/1.618=0.618/1，1.618与与0.618互为倒数关系。互为倒数关系。618. 1251618. 02511618021501112.xxx;xxx1.2.1比例在比例在设计构图设计构图中的中的应应用用一个矩形，如果从中截去一个以其宽度为边长一个矩形，如果从中截去一个以其宽度为边长的正方形后，余下的矩形与原矩形相似，这样的正方形后，余下的矩形与原矩形相似，这样的矩形看起来是最美的，这种矩形被称为的矩形看起来是最美的，这种矩形被称为黄金黄金矩形。矩形。黄黄金矩形的美，源自于其金矩形的美，源自于其宽与长宽与长的恰的恰当当比例。比例。假假设黄设黄金

20、矩形金矩形长长度度为为1，宽宽度度为为x，截去一，截去一个个以以其其x为边长为边长的正方形后，余下的矩形的正方形后，余下的矩形长长度度为为x，宽宽度度为为1-x。二者相似意味着。二者相似意味着1.2比例与数列在设计构图中的应用201.2比例与数列在设计构图中的应用1.2.1比例在比例在设计构图设计构图中的中的应应用用1.2.1.1黄黄金分割金分割(1) 黄黄金矩形金矩形 如果一如果一个个矩形的矩形的两边两边之比具有之比具有黄黄金分割比金分割比值值，则称这种则称这种矩形矩形为黄为黄金矩形，金矩形，它它是由一是由一个个小正方形和另一小正方形和另一个个小小黄黄金矩形金矩形组组成的。成的。大大黄黄金矩

21、形的金矩形的两边两边分分别为别为a、b，则则 ，分出一，分出一个个正方形后，所余小矩形的正方形后，所余小矩形的两边两边分分别别 为为(a-b)和和b，它们它们的比的比为为 。这样这样我我们们可以可以将将一一个黄个黄金金矩形无限分割下去，就可以得到无限多矩形无限分割下去，就可以得到无限多个黄个黄金矩形。金矩形。211.2比例与数列在设计构图中的应用1.2.1比例在比例在设计构图设计构图中的中的应应用用(2) 黄黄金分割螺旋金分割螺旋线线 连续连续分割分割黄黄金金举举行后，可得到很多大小不同的正方形，以行后，可得到很多大小不同的正方形，以这种这种分割而成的分割而成的正方形的正方形的边长为边长为半半

22、径画径画弧，然后弧，然后连连接接这这些正方形的些正方形的边边所形成的弧所形成的弧线线，就得到一，就得到一条条螺旋螺旋线线，又，又称为黄称为黄金螺旋金螺旋线线。1.2.1.1黄黄金分割金分割221.2比例与数列在设计构图中的应用(2) 黄黄金分割螺旋金分割螺旋线线 所所画画的的连连接接线线是是圆圆弧或者是直弧或者是直线线，且方向不同，且方向不同，连连接后的效果也不一接后的效果也不一样样。1.2.1.1黄黄金分割金分割1.2.1比例在比例在设计构图设计构图中的中的应应用用231.2比例与数列在设计构图中的应用1.2.1比例在比例在设计构图设计构图中的中的应应用用(3) 从黄从黄金三角形到正五金三角

23、形到正五边边形形构构成五角星及正十成五角星及正十边边形形 顶顶角角为为36 的等腰三角形叫做的等腰三角形叫做黄黄金三角形金三角形其底其底与与腰之比腰之比为黄为黄金分割比金分割比值值，底角平分，底角平分线与线与腰的交点腰的交点为为腰的腰的黄黄金分割点金分割点 1.2.1.1黄黄金分割金分割五角星能给人以美感，其原因是其各部位比值中多处出现黄金分割数。它的边互相分五角星能给人以美感，其原因是其各部位比值中多处出现黄金分割数。它的边互相分割为黄金比，不论横看、竖看，它都是匀称的。割为黄金比，不论横看、竖看，它都是匀称的。1.2.1比例在比例在设计构图设计构图中的中的应应用用1.2.1.1黄黄金分割金

24、分割1.2比例与数列在设计构图中的应用251.2比例与数列在设计构图中的应用1.2.1比例在比例在设计构图设计构图中的中的应应用用(4) 黄黄金矩形的各金矩形的各种动态种动态分割分割1.2.1.1黄黄金分割金分割1.人体比例人体比例人体结构中至少有人体结构中至少有14个个“黄金点黄金点”，12个个“黄金矩形黄金矩形”，个个“黄金指数黄金指数”。1.2.1比例在比例在设计构图设计构图中的中的应应用用1.2.1.1黄黄金分割的金分割的应应用用1.2比例与数列在设计构图中的应用14个个“黄金点黄金点”(1)肚脐：头顶足底之分割点；肚脐：头顶足底之分割点；(2)咽喉：头顶肚脐之分割点；咽喉：头顶肚脐之

25、分割点；(3)鼻孔：人脸纵向的黄金分割点；鼻孔：人脸纵向的黄金分割点；(4)眼睛：人脸横向的两个黄金分割点；眼睛：人脸横向的两个黄金分割点；(5)膝关节：肚脐足底之分割点；膝关节：肚脐足底之分割点；(6)肘关节：肩关节中指尖之分割点；肘关节：肩关节中指尖之分割点；(7)乳头：人体横向的两个黄金分割点；乳头：人体横向的两个黄金分割点； (8)心脏中心：胸膛的黄金分割点；心脏中心：胸膛的黄金分割点；(9)眉间点：发际颏底间距上眉间点：发际颏底间距上1/3与中下与中下2/3之分割点；之分割点；(10)鼻下点：发际颏底间距下鼻下点：发际颏底间距下1/3与上中与上中2/3之分割点；之分割点；(11)唇珠

26、点：鼻底颏底间距上唇珠点：鼻底颏底间距上1/3与中下与中下2/3之分割点；之分割点；(12)颏唇沟正路点：鼻底颏底间距下颏唇沟正路点：鼻底颏底间距下1/3与上中与上中2/3之分割点；之分割点；(13)左口角点：口裂水平线左左口角点：口裂水平线左1/3与右与右2/3之分割点；之分割点；(14) 右口角点：口裂水平线右右口角点：口裂水平线右1/3与左与左2/3之分割点。之分割点。12个黄金矩形：个黄金矩形：(1)躯体轮廓：肩宽与臀宽的平均数为宽，肩峰至臀底的高度为长；躯体轮廓：肩宽与臀宽的平均数为宽，肩峰至臀底的高度为长；(2)面部轮廓：眼水平线的面宽为宽，发际至颏底间距为长；面部轮廓：眼水平线的

27、面宽为宽，发际至颏底间距为长；(3)鼻部轮廓：鼻翼为宽，鼻根至鼻底间距为长；鼻部轮廓：鼻翼为宽，鼻根至鼻底间距为长；(4)唇部轮廓：静止状态时上下唇峰间距为宽，口角间距为长；唇部轮廓：静止状态时上下唇峰间距为宽，口角间距为长；(5)、(6)手部轮廓：手的横径为宽，五指并拢时取平均数为长；手部轮廓：手的横径为宽，五指并拢时取平均数为长；(7)、(8)、(9)、(10)、(11)、(12)上颌切牙、侧切牙、尖牙（左右各三个）轮廓：最大的近远中径为宽，齿上颌切牙、侧切牙、尖牙（左右各三个）轮廓：最大的近远中径为宽，齿龈径为长。龈径为长。 两个黄金指数：两个黄金指数：(1)反映鼻口关系的鼻唇指数：鼻翼

28、宽与口角间距之比近似黄金数；反映鼻口关系的鼻唇指数：鼻翼宽与口角间距之比近似黄金数；(2)反映眼口关系的目唇指数：口角间距与两眼外眦间距之比近似黄金数。反映眼口关系的目唇指数：口角间距与两眼外眦间距之比近似黄金数。米罗的维纳斯雕像，其重要尺寸的比例也是黄金比。米罗的维纳斯雕像，其重要尺寸的比例也是黄金比。1.2黄金分割在设计构图中的应用 古希腊的持矛者（左）和宙斯古希腊的持矛者（左）和宙斯(右右)这两这两尊雕像，都符合尊雕像，都符合黄黄金比例。金比例。1.2黄金分割在设计构图中的应用达达芬奇在芬奇在绘画绘画中的人体比例：人体由一中的人体比例：人体由一个个正方形包正方形包围围着，手和脚落在以肚着

29、，手和脚落在以肚脐脐为圆为圆心的心的圆圆周上。腹股周上。腹股沟将沟将人体等分人体等分为两为两部分，肚部分，肚脐脐在在黄黄金分割点上。金分割点上。面部的比例也同样符合黄金比例。 1.2黄金分割在设计构图中的应用 著名建筑著名建筑:建筑师们发现，遵循黄金分割去设计殿堂，殿堂就更加雄伟庄重；建筑师们发现，遵循黄金分割去设计殿堂，殿堂就更加雄伟庄重；去设计别墅，别墅将更加使人感到舒适。去设计别墅，别墅将更加使人感到舒适。艾菲尔艾菲尔铁铁塔：下塔：下两层两层的高：全高的高：全高0.618金字塔：金字塔：高：底座的高：底座的边长边长0.618多伦多电视塔多伦多电视塔帕德农神庙帕德农神庙其其它它：1.独独唱

30、演唱演员员在舞台正面前沿的在舞台正面前沿的“ “黄黄金分割点金分割点” ”处处演唱演唱时时，显显得自然大方，效果最佳。得自然大方，效果最佳。2.音音乐乐家家发现发现，将将手指放在琴弦的手指放在琴弦的黄黄金分割点金分割点处处，乐声乐声就愈就愈发发洪亮，音色就更加洪亮，音色就更加和和谐谐。许许多著名音多著名音乐乐作品，高潮的出作品，高潮的出现现大多大多与黄与黄金分割点接近。金分割点接近。3.摄摄影影师师在拍照在拍照时时把主要景物置于把主要景物置于“ “黄黄金分割点金分割点” ”处处，可以使，可以使画画面面显显得更加得更加协调协调、悦悦目。目。4.交通工具。交通工具。5.气温气温舒适舒适气温气温23

31、 ，人体体，人体体温温37 ，23:370.6186.宇宙月球密度宇宙月球密度3.4g/cm3，地球密度，地球密度5.5g/cm3，3.4:5.50.6189 9、从黄金矩形到黄金分割、从黄金矩形到黄金分割2是什么？是什么？边长为边长为1 1的正方形的对角线！的正方形的对角线！圆的直径与圆内最大正方形边长之比！圆的直径与圆内最大正方形边长之比！391.2比例与数列在设计构图中的应用1.2.1比例在设计构图中的应用21.2.1.2 矩形与分割（1） 矩形的画法2401.2比例与数列在设计构图中的应用1.2.1比例在设计构图中的应用21.2.1.2 矩形与分割（2） 矩形的性质2411.2比例与数

32、列在设计构图中的应用1.2.1比例在设计构图中的应用21.2.1.2 矩形与分割（3） 矩形的动态分割2量一量我们的各种规格的复印纸量一量我们的各种规格的复印纸1.2比例与数列在设计构图中的应用1.2.1比例在设计构图中的应用21.2.1.2 矩形与分割（4） 矩形的应用2A3： 420/297 = 1.41414141414；A4： 297/210 = 1.41428571429；A5： 210/148 = 1.41891891892；B5： 250/176 = 1.42045454545;再再看一看我们的各种纸张开本看一看我们的各种纸张开本通常印制书本的纸张整纸规格为通常印制书本的纸张整纸

33、规格为1092787（小）或（小）或1168890（大）（大）1092/787 = 1.3875476493; 1168/890 = 1,31235955056。16开本：开本： 26/18.4 = 1.4130434782632开本：开本： 18.4/13 = 1.41538461538大大32开本：开本： 20.3/14 = 1.452要想使得整张纸适合于对要想使得整张纸适合于对4 4开、开、8 8开、开、1616开、开、3232开、开、6464开等各种开本，其长宽之比必须是开等各种开本，其长宽之比必须是 , ,才能使才能使各种开本形状大体相同，才能够最大限度的节省各种开本形状大体相同，才

34、能够最大限度的节省纸张。纸张。451.2比例与数列在设计构图中的应用1.2.1比例在设计构图中的应用，1.2.1.2 根号矩形与分割（4） 矩形与其他根号矩形矩形的构成33雪花晶体正六边形的构成1.2比例与数列在设计构图中的应用根号4矩形的构成1.2比例与数列在设计构图中的应用根号5矩形的构成由正方形构成根号5矩形的方法1.2比例与数列在设计构图中的应用各种根号矩形的比较1.2比例与数列在设计构图中的应用501.2比例与数列在设计构图中的应用1.2.1比例在设计构图中的应用，1.2.1.3 正方形分割(1)正方形中的黄金矩形分割(2)正方形中的根号矩形分割 （1）等差数列）等差数列: A，A

35、+ d，A + 2d， ，A + (n-1)d。（式中。（式中d为公差）为公差） 等差数列，在坐标轴上，其形态是一条直线，倾斜的角度随数列的公差的大小变化。在造形上，等差数列，在坐标轴上，其形态是一条直线，倾斜的角度随数列的公差的大小变化。在造形上，其跳动的特点较为平缓。其跳动的特点较为平缓。（2）等比数列）等比数列: A，Aq，Aq2， ，Aq（n-1）。（式中）。（式中q为公比）为公比） 等比数列，在坐标轴上呈一条曲线，在造形上，其跳动幅度就比等差数列大得多。等比数列，在坐标轴上呈一条曲线，在造形上，其跳动幅度就比等差数列大得多。（3）调和数列）调和数列: 1，1/2，1/3，1/4，1/

36、n 。 调和数列是分数，如果觉得使用不方便的话，可以作这样的处理：先把分数换算成小数，便是：调和数列是分数，如果觉得使用不方便的话，可以作这样的处理：先把分数换算成小数，便是：1，0.5，0.33，0.25，0.2，0.17，0.14，0.13，0.11，0.1，。然后把这个顺序颠倒后，各数扩大。然后把这个顺序颠倒后，各数扩大10倍，得到一个数列：倍，得到一个数列：1，1.1，1.3，1.4，1.7，2，2.5，3.3，5，10。这样一来，就比较便于使用。这样一来，就比较便于使用。 调和数列在坐标轴上的形态呈双曲线状。在造形上，若按整理成分数的数列形式，其跳动的幅调和数列在坐标轴上的形态呈双曲

37、线状。在造形上，若按整理成分数的数列形式，其跳动的幅度也较为平缓，若与公差为度也较为平缓，若与公差为1的等差数列相比时，其幅度的跳动也较小些。的等差数列相比时，其幅度的跳动也较小些。1.2比例与数列在设计构图中的应用1.2.2 数列在设计构图中的应用（4）费波纳齐数列）费波纳齐数列: 1，1，2，3，5，8，13，21，P，Q，(P+Q)，。 费波纳齐数列在造形的意义上，是一个很重要的数列。费波纳齐数列在造形的意义上，是一个很重要的数列。 费波纳齐数列，在数学中，其通项公式为费波纳齐数列，在数学中，其通项公式为 通过计算第一项和第二项都为通过计算第一项和第二项都为1。在造形设计中，为了方便运用

38、，通项公式可简化为。在造形设计中，为了方便运用，通项公式可简化为u = pq，即后项为前两项之和，所以组成即后项为前两项之和，所以组成1，1，2，3，5，8，p，q，p + q，的数群。数列中的数群。数列中前两项前两项:1，1是该数列的特征之一。有的资料把费波纳齐数列作是该数列的特征之一。有的资料把费波纳齐数列作1，2，3，5，8，的排列，的排列，就削弱了这个特征，也容易混淆，更不符合费波纳齐数列的规律。就削弱了这个特征，也容易混淆，更不符合费波纳齐数列的规律。)251()251(51nnnu1.2比例与数列在设计构图中的应用1.2.2 数列在设计构图中的应用1.2比例与数列在设计构图中的应用

39、1.2.2 数列在设计构图中的应用费波纳齐数列在造形上，其跳动的幅度，在等差数列与等比数列之间。 （5）佩尔数列）佩尔数列: 1，2，5，12，29，70，169，P，Q，(P+2Q) 我们细心观察佩尔数列时，也会发现，在数列中，当数值较大时，邻近的二项的比值近似我们细心观察佩尔数列时，也会发现，在数列中，当数值较大时，邻近的二项的比值近似于于2.414，即近似等于，即近似等于1+2。如：。如：29/12 =2.4167，70/29 =2.4138，169/70 =2.4143， 等等。等等。1.2比例与数列在设计构图中的应用1.2.2 数列在设计构图中的应用 佩尔数列其跳动的幅度大，变化激烈

40、，在造形上是一个强有力的数列。 这是用线段在坐标轴上的变化的图示和它们的间隔宽窄来表示数列跳动的幅度。1.2比例与数列在设计构图中的应用1.2.2 数列在设计构图中的应用56 自然界中的斐波那契数自然界中的斐波那契数 斐波那契数列中的任一个数，都叫斐波那契数。斐波那契数是大自然的斐波那契数列中的任一个数，都叫斐波那契数。斐波那契数是大自然的一个基本模式，它出现在许多场合。一个基本模式，它出现在许多场合。 下面举几个例子下面举几个例子: 1）花瓣数中的斐波那契数）花瓣数中的斐波那契数: 大多数植物的花，其花瓣数都恰是斐波那契数。例如，兰花、茉利花、大多数植物的花，其花瓣数都恰是斐波那契数。例如，

41、兰花、茉利花、百合花有百合花有3个花瓣，毛茛属的植物有个花瓣，毛茛属的植物有5个花瓣，翠雀属植物有个花瓣，翠雀属植物有8个花瓣，个花瓣，万寿菊属植物有万寿菊属植物有13个花瓣，紫菀属植物有个花瓣，紫菀属植物有21个花瓣，雏菊属植物有个花瓣，雏菊属植物有34、55或或89个花瓣。个花瓣。1.2比例与数列在设计构图中的应用1.2.2 数列在设计构图中的应用57花瓣中的斐波那契数花瓣中的斐波那契数1）花瓣的花瓣的数数目目海棠（海棠（2）铁兰铁兰（3）1.2比例与数列在设计构图中的应用1.2.2 数列在设计构图中的应用58洋紫荊（洋紫荊（5）蝴蝶蝴蝶兰兰（5）黃黃蝉蝉（5）雏雏菊（菊（13）雏雏菊（菊

42、（13）592）树杈）树杈的的数数目目138532111.2比例与数列在设计构图中的应用1.2.2 数列在设计构图中的应用603）向日葵花盘内葵花子排列的螺线数）向日葵花盘内葵花子排列的螺线数1.2比例与数列在设计构图中的应用1.2.2 数列在设计构图中的应用61 62 向日葵花盘内，种子是按对数螺线排列的，有顺时针转和逆时针向日葵花盘内，种子是按对数螺线排列的，有顺时针转和逆时针转的两组对数螺线。两组螺线的条数往往成相继的两个斐波那契数，转的两组对数螺线。两组螺线的条数往往成相继的两个斐波那契数，一般是一般是34和和55，大向日葵是，大向日葵是89和和144，还曾发现过一个更大的向日葵有，还

43、曾发现过一个更大的向日葵有144和和233条螺线，它们都是相继的两个斐波那契数。条螺线，它们都是相继的两个斐波那契数。63松果松果种种子的排列子的排列64松果松果种种子的排列子的排列65菜花表面排列的螺线数（菜花表面排列的螺线数（5-8）66 这一模式几个世纪前已被注意到，此后曾被广泛研究，但真正满意的这一模式几个世纪前已被注意到，此后曾被广泛研究，但真正满意的解释直到解释直到1993年才给出。这种解释是：这是植物生长的动力学特性造成年才给出。这种解释是：这是植物生长的动力学特性造成的；相邻器官原基之间的夹角是黄金角的；相邻器官原基之间的夹角是黄金角137.50776度；这使种子的堆度；这使种

44、子的堆集效率达到最高。集效率达到最高。 植物学家经过计算表明：这个角度对叶子的采光、通风都是最佳的。植物学家经过计算表明：这个角度对叶子的采光、通风都是最佳的。叶子的排布，多么精巧！叶子的排布，多么精巧！ 叶子间的叶子间的137.5角中，藏有什么角中，藏有什么“密码密码”呢？我们知道一周是呢？我们知道一周是360，360-137.5=222.5，而，而137.5:222.50.618。瞧，这就是。瞧，这就是“密码密码”！叶！叶子的精巧而神奇的排布中，竟然隐藏着子的精巧而神奇的排布中，竟然隐藏着0.618的比例。的比例。674）斐波那契斐波那契数与数与音音乐乐1.2比例与数列在设计构图中的应用1

45、.2.2 数列在设计构图中的应用32536885 分割是构成中的重要设计手段。在设计中，很多功能的实现和形式的区别，都是靠分割是构成中的重要设计手段。在设计中，很多功能的实现和形式的区别，都是靠分割来完成的。而且通过分割，能造成比例适当、排列有序的视觉美感形式。分割来完成的。而且通过分割，能造成比例适当、排列有序的视觉美感形式。 分割有规律性分割和自由分割。前者构图整齐、严谨，使画面充满了秩序和节奏；分割有规律性分割和自由分割。前者构图整齐、严谨，使画面充满了秩序和节奏；后者可使用曲线和直线来进行自由地分割，画面具有流畅性和自由的变化。在构成后者可使用曲线和直线来进行自由地分割，画面具有流畅性

46、和自由的变化。在构成设计中，分割主要是讨论规律性的分割。而自由分割则必须遵循必要的设计中，分割主要是讨论规律性的分割。而自由分割则必须遵循必要的“规则规则”，才能在所谓才能在所谓“自由自由”中体现出美感。中体现出美感。1.3分割在设计构图中的应用1.3.1分割的分割的概概念念 对正方形进行分割，对正方形进行分割，也可得到黄金矩形也可得到黄金矩形和根号矩形。特别和根号矩形。特别是通过在正方形内是通过在正方形内连续的分割，可得连续的分割，可得到各种根号矩形，到各种根号矩形，且分割线又可构成且分割线又可构成新的数列。新的数列。1.3分割在设计构图中的应用 分割的形态，既可是几何性的，也可是具象性的。

47、前者简洁而单纯；分割的形态，既可是几何性的，也可是具象性的。前者简洁而单纯；后者富有变化和情趣。从造形的角度上讲，具象的分割更具想象力。后者富有变化和情趣。从造形的角度上讲，具象的分割更具想象力。 在规律性的分割中，主要有在规律性的分割中，主要有等分割等分割和和渐变分割渐变分割两类。两类。1.3分割在设计构图中的应用一、等分割一、等分割等分割有两种形式：等分割有两种形式：1、等形分割：分割而成的形与形完全相同，形成了整齐规范的构图。、等形分割：分割而成的形与形完全相同，形成了整齐规范的构图。1.3分割在设计构图中的应用 a、几何等形分割：形体、几何等形分割：形体简洁简洁，构图构图整整齐齐。b、

48、具象等形分割：由于、具象等形分割：由于运运用了具体的形象（包括用了具体的形象（包括对对具象具象的抽象的抽象图图形），使得形），使得构图构图充充满满了情趣。了情趣。 2、等量分割：在等量分割中，同样有几何形和具象形分割。、等量分割：在等量分割中，同样有几何形和具象形分割。1.3分割在设计构图中的应用a、几何形分割：分割而成的形，其形、几何形分割：分割而成的形，其形状状有所不同，但面有所不同，但面积积一定完全相等。一定完全相等。 一个平行四边形，把它二等分，有不同的分割方法。如从对角线分割，可获得两一个平行四边形，把它二等分，有不同的分割方法。如从对角线分割，可获得两个相同的直角三角形；如果用垂直

49、等分线分割，又可得到两个相同的长方形；如个相同的直角三角形；如果用垂直等分线分割，又可得到两个相同的长方形；如果通过中心点的任意斜线来分割的话，则可获得两个相同的梯形，等等。虽然三果通过中心点的任意斜线来分割的话，则可获得两个相同的梯形，等等。虽然三角形、长方形和梯形，彼此之间形状不同，但面积则完全相同。角形、长方形和梯形，彼此之间形状不同，但面积则完全相同。1.3分割在设计构图中的应用等形分割后的形态完全相同，故造形严谨。若造形过分简单，就会缺乏等形分割后的形态完全相同，故造形严谨。若造形过分简单，就会缺乏变化；而等量分割，由于形状互异，面积相等，所以在视觉效果上，既变化；而等量分割，由于形

50、状互异，面积相等，所以在视觉效果上，既富于变化，又在量感上予以均衡感和安定感。富于变化，又在量感上予以均衡感和安定感。1.3分割在设计构图中的应用 具象形分割：分割后形成的形体各异，形不同，且量相等。所以构图比起几具象形分割：分割后形成的形体各异，形不同，且量相等。所以构图比起几何形的等量分割更富于表现力。何形的等量分割更富于表现力。1.3分割在设计构图中的应用二、渐变分割二、渐变分割 渐变分割是利用数列等方法，对分割线的粗细和间隔的宽窄按照某一规律依渐变分割是利用数列等方法，对分割线的粗细和间隔的宽窄按照某一规律依次增大或减小，形成一个级数构图的分割。因为是有规律性的，故在变化中次增大或减小

51、，形成一个级数构图的分割。因为是有规律性的，故在变化中具有统一性。这是一种具有动力感和统一性的分割构成。具有统一性。这是一种具有动力感和统一性的分割构成。 等差级数变化较小，等比级数的变化较大，在视觉效果上，呈现不同的感等差级数变化较小，等比级数的变化较大，在视觉效果上，呈现不同的感觉。变化率大的，呈加速度量变，颇具快感。觉。变化率大的，呈加速度量变，颇具快感。 在自然界中，很多动植物的生长规律都符合某一数列，即呈规律性的渐变。在自然界中，很多动植物的生长规律都符合某一数列，即呈规律性的渐变。如植物的茎和叶片的生长过程，均带有数列的变化规律。如植物的茎和叶片的生长过程，均带有数列的变化规律。

52、向日葵的种子是以向日葵的种子是以对数螺旋线的规律排列。对数螺旋线的规律排列。1.3分割在设计构图中的应用1.3分割在设计构图中的应用 1、垂直、水平分割：垂直与水平分割是一种最基本的分割形式。按照某、垂直、水平分割：垂直与水平分割是一种最基本的分割形式。按照某种级数变化规律进行分割构成，会造成愉悦有序的构图。当然可以把垂直分种级数变化规律进行分割构成，会造成愉悦有序的构图。当然可以把垂直分割与水平分割综合运用。割与水平分割综合运用。1.3分割在设计构图中的应用 2、斜向、环状、漩涡状分割：这是把级数的分割用在倾斜的方向上，这时分、斜向、环状、漩涡状分割：这是把级数的分割用在倾斜的方向上，这时分

53、割线之间的距离虽然是按某一级数或数列依次变化，但面积的变化就不一定是割线之间的距离虽然是按某一级数或数列依次变化，但面积的变化就不一定是按所选级数或数列的规律而变。虽然这样，但变化是极有规律的，故整体上仍按所选级数或数列的规律而变。虽然这样，但变化是极有规律的，故整体上仍具有强烈的统一感。这种关系在环状和漩涡状的分割中，也同样可以看到这种具有强烈的统一感。这种关系在环状和漩涡状的分割中，也同样可以看到这种现象。现象。1.3分割在设计构图中的应用 3、相似形分割、相似形分割 相似形分割有两种形式：相似形分割有两种形式： （1）几何形分割：利用几何形式进行分割，产生严格整齐，富有节奏的构图。）几何形分割：利用几何形式进行分割，产生严格整齐，富有节奏的构图。 1.3分割在设计构图中的应用 （2）具象形分割：这里所谓具象形，和上述一样，可以是自然形态，也可）具象形分割：这里所谓具象形，和上述一样，可以是自然形态，也可以是抽象的形式所表现的具象形态，通过这样的分割，能产生比几何形分割以是抽象的形式所表现的具象形态，通过这样的分