全等三角形压轴题分类解析

1、三角形全等综合题归类 一、 双等边三角形模型 1. (1)如图 1,点 0 是线段 AD 的中点，分别以 A0 和 DO 为边在线段 AD 的同侧作等边三角形 OAB 和等边三角形 OCD 连结 AC 和 BD,相交于点 E,连结 BC.求/ AEB 的大小； (2)如图 2, OAB 固定不动， 求/ AEB 的大小. 如图 a, ABC 和厶 CEF 是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点 线段 AF 和 BE 有怎样的大小关系？请证明你的结论； 将图 a 中的 CEF 绕点 C 旋转一定的角度，得到图 b, 中的结论还成立吗？作出判断并说明理由； 若将图 a 中的 ABC 绕点 C

2、 旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形 c(草图即可),(1)中的结论还成 1,若厶ABC和厶ADE为等边三角形，M,N分别为EB,CD的中点 ADE绕A点旋转到图 2 的位置时，CD=BE是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； ADE绕A点旋转到图 3 的位置时， AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，若不是，请说明2、 C,连接立吗？作出判断不必说明理3.如图 ( (2)4 理由. 4、已知，如图所示，在 ABC和厶ADE中，AB二AC , AD二AE , BAC二.DAE，且点B, A, D在 一条直线上，连接BE, CD, M , N分别为BE, CD的中点. (1

3、) 求证： BE =CD : AM = AN ； (2) 在图的基础上，将 ADE绕点A按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图所示的图形请直接 写出(1)中的两个结论是否仍然成立 5.如图，四边形 ABCD 和四边形 AEFG 匀为正方形，连接 BG 与 DE 相交于点 H. (1) 证明： ABG = ADE ; (2) 试猜想 BHD 的度数，并说明理由； 3)将图中正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转(0 v BAE v 180 )，设 ABE 的面积 为S , ADG 的面积为S2，判断Si与S2的大小关系，并给予证明. 6.已知：如图， ABC是等边三角形，过AB边上的点D作

4、DG / BC ,交AC于点G，在GD的延长线上取 点 E ,使 DE 二 DB，连接 AE, CD . (1) 求证： AGE = DAC ； (2) 过点E作EF / DC，交BC于点F，请你连接AF ,并判断 AEF是怎样的三角形，试证明你的结论. D A 图 D G H F E C B 垂直模型（该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容） 考点 1:利用垂直证明角相等 1、如图， ABC 中，/ ACB= 90, AC= BQ AE 是 BC 边上的中线，过 CF 的延长线于 D. 求证：（1） AE= CD （2）若 AC= 12 cm,求 BD 的长. C 作 CF 丄 AE,垂足

5、为 F,过 B 作 BD 丄 BC 交 2、如图， 已知 ABC 中，/ BAC=900, AB=AC, AE 是过 A 的一条直线 CE丄 AE 于 E。 且 B C 在 A E 的异侧,BD 丄 AE 于 D, （1） 试说明：BD=DE+CE. （2） 若直线 AE 绕 A 点旋转到图（2）位置时（BDCE）, 其余条件不变，问 BD 与 DE CE 的关系如何？说明理由。 其余条件不变，问 BD 与 DE CE 的关系如何？说明理由。 3.直线 CD 经过乂BCA的顶点 C, CA=CB E、F 分别是直线 CD 上两点，且N BEC = 乂 CFA a . （1）若直线 CD 经过

6、BCA的内部，且 E、F 在射线 CD 上，请解决下面两个问题： _ 如图 1，若NBCA=90,m=90，则 EF BE-AF （填 “ ”，“ 兰”或“=”号）； _ 如图 2，若0. BCA : 180 ，若使中的结论仍然成立，则与 BCA应满足的关系 _ （2）如图 3,若直线 CD 经过 BCA的外部，._、： BCA，请探究 EF、与 BE AF 三条线段的数量关系，并给 予证明. 图 1 图 2 图 3 考点 2:利用角相等证明垂直 1、 如图，在等腰 Rt ABC 中，/ ACB=90 , D 为 BC 的中点，DEL AB,垂足为 E,过点 B 作 BF/ AC 交 DE 的

7、延长 线于点F,连接 CF. (1)求证：CD=BF (2)求证：ADL CF; (3)连接 AF,试判断 ACF 的形状. 2、如图 9 所示， ABC 是等腰直角三角形， / ACB= 90, AD 是 BC 边上的中线，过 C 作 AD 的垂线，交 AB 于点 E, 交AD 于点 F,求证：/ ADC=Z BDE 3.如图 1,已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE , GC . (1) 试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论； (2) 将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使 E点落在BC边上，如图 2，连接AE和GC .你认为(1) 中的结论是否还

8、成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由 4.如图 1, ABC的边 BC 在直线I上，AC - BC,且AC二BC, .)EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC 重合，且EF二FPI AB与AP所满足的数量关系和位置关系； EP交AC于点Q,连接AP,BQ .猜想并写出BQ与Ap所满 EP的延长线交AC的延长线于点 Q,连结AP，BQ ,你认为（2） 中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由 三、等腰三角形（中考重难点之一） 考点 1:等腰三角形性质的应用 证：BE =AF , AE =CF 2. 两个全等的含30 , 60角

9、的三角板ADE和三角板ABC，如图所示放置，E,AC三点在一条直线上，连结BD , 取BD的中点M ,连结ME,MC .试判断EMC 的形状，并说明理由. （1） 在图 1 中，请你通过观察、测量，猜想并写出 （2） 将 EFP沿直线I向左平移到图 2 的位置时, 足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想； 1. 如图，ABC 中，AB =AC , BAC =90 ，D 是 BC 中点, ED_FD，ED与AB交于E，FD与 AC 交于F 求 I 3、已知 Rt ABC 中，AC =BC，/C =90 , D为AB边的中点， EDF =90 , - EDF绕D点旋转，它的两边 分别交 AC、CB

10、 (或它们的延长线)于 E、F 当NEDF绕D点旋转到 DE 丄 AC 于E时(如图 1)，易证 证明；若不成立，SDEF，S.CEF , SABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并证明. 4、已知：如图， ABC 中，/ ABC=45 , CD 丄 AB 于 D, BE 平分/ ABC,且 BEX AC 于 E,与 CD 相交于点 F, H 是 1 BC 边的中点，连结 DH 与 BE 相交于点 G。(1) BF=AC (2) CE=BF (3)CE 与 BC 的大小关系如何。 2 考点 2 :等腰直角三角形(45 度的联想) 1、如图 1,四边形 ABCD 是正方形，M 是 AB 延长

11、线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点 在 AB 边上滑动(点 E 不与点 A, B 重合)，另一条直角边与/ CBM 的平分线 BF 相交于点 F. 如图 141,当点 E 在AB 边的中点位置时： 通过测量 DE, EF 的长度，猜想 DE 与 EF 满足的数量关系是 _ ; 连接点 E 与 AD 边的中点 N,猜想 NE 与 BF 满足的数量关系是 _ ; 请证明你的上述两猜想 如图 142 ,当点 E 在 AB 边上的任意位置时，请你在 AD 边上找 到一点N,使得 NE=BF,进而猜想此时 DE 与 EF 有怎样的数量关系并 证明 2. 在 RtA ABC 中，AC= BC,/ AC

12、B= 90 D 是 AC 的中点，DGX AC 交 AB 于点 G. (1)如图 1, E 为线段 DC 上任意一点，点 F 在线段 DG 上，且 DE=DF,连结 EF 与 CF,过点 F 作 FH 丄 FC,交直线当.EDF绕D点旋转到DE和 AC 不垂直时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立 ?若成立，请给予 D,且直角顶点 E 图 1 图 2 F 014-1 AB 于点 H. 求证：DG=DC 判断 FH 与 FC 的数量关系并加以证明. (2)若 E 为线段 DC 的延长线上任意一点，点 F 在射线 DG 上，(1)中的其他条件不变，借助图 2 画出图形。在你 所画图

13、形中找出一对全等三角形，并判断你在 (1)中得出的结论是否发生改变.(本小题直接写出结论，不必证明) 3、已知： ABC 为等边三角形，M 是 BC 延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点 A,且 60o 角的顶点 E 在 BC 上滑动，(点 E 不与点 B、C 重合)，斜边与/ ACM的平分线 CF 交于点 F (1)如图(1)当点 E 在 BC 边得中点位置时 猜想 AE 与 EF 满足的数量关系是 连结点 E 与AE边得中点N,猜想EE和CF满足的数量关系是 请证明你的上述猜想； (2)如图(2)当点E在EC边得任意位置时，AE和 EF 有 怎样的数量关系，并说明你的理由？ 四、角平

14、分线问题 1. 如图：E 在线段 CD 上，EA、EB 分别平分/ DAB 和/ CBA, / AEB=90，设 AD= x, 2 2 BC= y，且 x，y满足 x y -6x-8y 25 = 0 (1)求 AD 和 BC 的长；(2)你认为 AD 和 BC 还有什么关系？并验证你的结论； (3) 你能求出 AB 的长度吗？若能，请写出推理过程；若不能，请说明理由 2. 如图，OP 是/ MON 的平分线，请你利用该图形画一对以 OP 所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这 个作全等三角形的方法，解答下列问题： (1) 如图，在 ABC 中，/ ACB 是直角，/ B=60, AD、CE

15、分别是/ BAC/ BCA 的平分线，AD、CE 相交于 点 F。请你判断并写出 FE 与 FD 之间的数量关系； (2) 如图，在 ABC 中，如果/ ACB 不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在 (1)中所得结论是否仍然成 4. 如图， ABC 中，AD 平分/ BAC, DG 丄 BC 且平分 BC, DE 丄 AB 于 E, DF 丄 AC 于 F. (1)说明 BE=CF 的理由；(2)如果 AB=a , AC=b，求 AE、BE 的长. 五、中点问题立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。 3如图，在四边形 ABCD 中, 等于多少？ 1 AE =(AB +AD) AC

16、 平分.BAD，过 C 作 CE _ AB于 E，并且 2 F 1.在厶 ABC 中，D为BC的中点， 过D点的直线GF交AC于F,交AC的平行线 A 3、已知：如图，矩形ABCD中点G为BC延长线上一点，连接 DG, BH DG 于 H ，且 BG于点G。 DE _ GF ,并交AB于点E .连结EG . (1) 求证：BG =CF ; (2) 请猜想BE CF与EF的大小关系，并加以证明 2、已知.SBC 中，AB =AC，BD为AB的延长线，且BD二AB，CE 为.:ABC 的AB边上的中线. 求证 CD =2CE 3、以 AABC 的两边 AB、AC 为腰分别向外作等腰 Rt.ABD 和等腰 RtACE , BAD =. CAE = 90 连接DE , M、 N 分别是 BC、DE的中点.探究： AM与DE的位置关系及数量关系. 如图 当 ABC 为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 _ ;线段AM与DE的数量关系是 _ ; 将图中的等腰 Rt ：ABD 绕点A沿逆时针方向旋转-(0:：: 90)后，如图所示，问中得到的两个结论是 否发生改变？并说明理由. E 图 E 图 GH 二 DH，点 E,F 分别在 AB,BC 上，且 EF / DG。 (1) 若 AD =3,CG =2，