连续小波变换PPT学习教案

1、会计学1连续小波变换连续小波变换 12( )( )tL RL R设函数设函数 ，并且，并且 (0)0，即 ( )0t dt，则称，则称 ( ) t为一个为一个基本小波或母小波基本小波或母小波。 ,1( )()a btbtaa, a bR0a (连续连续)小波函数小波函数a和和b的意义的意义,22( )( )a btt,1( , )( )(),fa btbWTa bf tdtfaa 1/21( , )( )()aftbWT a bf tdtafbaa 性质性质： 线性性质线性性质 平移不变性平移不变性 .第1页/共29页 12( )( )tL RL R设函数设函数 则称则称 ( ) t为一个为一

2、个允许小波允许小波。 , 若若2( )cd 允许条件与允许条件与 (0)0几乎是等价条件几乎是等价条件. ,211( )( , )( )fa bf tWTa bt dadbca第2页/共29页 Haar小波小波101/2( )11/210ttt 其它/224( )sin/4iie 第3页/共29页2. Daubechies小波小波D4尺度函数与小波尺度函数与小波 012345-0.4-0.200.20.40.60.811.21.4-2-10123-1.5-1-0.500.511.52D6尺度函数与小波尺度函数与小波 第4页/共29页3、双正交小波、双正交小波双正交双正交B样条小波样条小波（5-

3、3）、）、 （9-7）小波滤波器）小波滤波器bior2.2, bior4.4（7-5）小波滤波器）小波滤波器: 11 1 3 1 1,8 2 4 2 82h2,2nnnnphqh2022221222222232021438245182411644281 212qpqqqpqqpqqqpqqqq 13355533,164 16 2 164 162h常用于图形学中。其中尺度函数是一个三次常用于图形学中。其中尺度函数是一个三次B样条。样条。第5页/共29页4. Morlet小波小波20/2( )itttee20() /2( )2 e Morlet小波不存在尺度函数小波不存在尺度函数; 快速衰减但非紧

4、支撑快速衰减但非紧支撑. Morlet小波是Gabor 小波的特例。 2221/421ti tg tetg t e Gabor 小波Morlet小波1,5第6页/共29页5. 高斯小波高斯小波 2/212ttte 2/2i e ( ) t( ) 这是高斯函数的一阶导数，在信号与图象的边缘提取中具有重要的应用。这是高斯函数的一阶导数，在信号与图象的边缘提取中具有重要的应用。主要应用于阶梯型边界的提取。主要应用于阶梯型边界的提取。 特性：特性： 指数级衰减，非紧支撑；具有非常好的时间频率局部化；指数级衰减，非紧支撑；具有非常好的时间频率局部化； 关于关于0轴反对称。轴反对称。第7页/共29页6.

5、Marr小波小波( ) 这是高斯函数的二阶导数，在信号与图象的边缘提取中具有重要的应用。这是高斯函数的二阶导数，在信号与图象的边缘提取中具有重要的应用。主要应用于屋脊型边界和主要应用于屋脊型边界和Dirac边缘的提取。边缘的提取。 22/22( )(1)3ttte242/22 2( )3e （也叫墨西哥草帽小波） 特性：特性： 指数级衰减，非紧支撑；具有非常好的时间频率局部化；指数级衰减，非紧支撑；具有非常好的时间频率局部化； 关于关于0轴对称。轴对称。 t第8页/共29页7. Meyer小波小波它的小波函数与尺度函数都是在频域中进行定义的。具体定义如下： 122324sin1 2233348

6、1 2433280 ,332cosivve 42335847020 0,1v tttttt 121222 33242cos1 223340 3v t( ) 第9页/共29页8. Shannon小波小波 sin1/2sin21/21/2tttt /21, 20, ie 其它在时域，在时域，Shannon小波是无限次可微的，具有无穷阶消失矩，不是紧支的，具有渐近衰减性但较缓慢；在频域，小波是无限次可微的，具有无穷阶消失矩，不是紧支的，具有渐近衰减性但较缓慢；在频域，Shannon小波是频率带限函数，具有好的局部化特性。小波是频率带限函数，具有好的局部化特性。 t第10页/共29页9. Battle

7、-Lemarie样条小波样条小波 224222412sin164sin241sin3 8sin8sin34441( )() ()222 ige Battle-Lemarie线性样条小波及其频域函数的图形线性样条小波及其频域函数的图形 t第11页/共29页10. 二进样条小波二进样条小波 在第在第7章介绍。章介绍。 第12页/共29页 1. Fourier分析简介分析简介 Fourier变换没有反映出随时间变换的频率，也就是说，对于频域中的某一频率，我们不知道这个频率是在什么时候产生的。因此，变换没有反映出随时间变换的频率，也就是说，对于频域中的某一频率，我们不知道这个频率是在什么时候产生的。因

8、此，Fourier分析缺乏信号的局部化分析能力分析缺乏信号的局部化分析能力 。 2. 短时短时Fourier变换变换短时短时Fourier变换的基本思想是变换的基本思想是：把信号划分成许多小的时间间隔，用：把信号划分成许多小的时间间隔，用Fourier变换分析每个时间间隔，以便确定在该时间间隔内的频谱信息。变换分析每个时间间隔，以便确定在该时间间隔内的频谱信息。 第13页/共29页非平凡函数非平凡函数 2( )wL R称为称为窗函数窗函数， 如果如果 2tw tL R1101( )0tN t 其它值101/2( )11/210Httt 其它 012 20 tttt对对1其它241( )2taa

9、g tea2( )N t0a 2221( )tt w tdtw1/22221()( )wttw tdtw 2ww通常我们用通常我们用作为窗函数作为窗函数的宽度的度量。的宽度的度量。 ,i tfSbf t gtb edt窗口窗口Fourier变换：变换： 大致反映了大致反映了 f t在时刻在时刻 b、频率为、频率为 的的信号成分信号成分的相对含量。的相对含量。 第14页/共29页 *,fbbSbf Wf t Wt dt ,()i tbWte g tb,fSb给出了给出了 f t在 ,bW的时间窗 *,ggtbtb 内的局部化信息。内的局部化信息。 第15页/共29页 g t g若若及其及其Fou

10、rier变换变换都是窗口函数都是窗口函数 ，则称，则称 ,fSb为为短时短时Fourier变换变换。 ,fSb同时给出了同时给出了 f t在时间窗在时间窗 *,ggtbtb 内的局部化信息。内的局部化信息。 特别地，当窗口函数取特别地，当窗口函数取Gaussian函数时，函数时，相应的短时相应的短时Fourier变换称为变换称为Gabor变换变换。和频率窗和频率窗 *,g* g 时间时间-频率窗频率窗*,ggtbtb *,g的特性的特性：不变的宽度：不变的宽度* g 和固定的窗面积和固定的窗面积 2g4gg 测不准原理测不准原理：12gg 应用上的局限性应用上的局限性：不太适合分析非平稳信号。

11、：不太适合分析非平稳信号。 第16页/共29页小波分析能够提供一个随频率改变的时间小波分析能够提供一个随频率改变的时间-频率窗口。频率窗口。 假设假设 是任一基本小波，并且是任一基本小波，并且 与与都是窗函数，都是窗函数， 与半径分别为与半径分别为 它们的中心它们的中心t，和和。 不妨设不妨设和尺度和尺度 a都是正数。都是正数。1( , )( )()b atafb atatbWTa bf tdtaa 给出了给出了 f t在时间窗在时间窗 ( , )fWTa b内的局部化信息。内的局部化信息。 ,1( , ),2fa bWTa bf( )()2ibafead给出了给出了 f t在频域窗在频域窗

12、( , )fWTa b内的局部化信息。内的局部化信息。 ,aaaa ,batabata 第17页/共29页内的局部化信息内的局部化信息, ,aaaa /a( , )fWTa bt若用若用作为频率变量作为频率变量，则，则给出了信号给出了信号在时间在时间频率平面（频率平面（平面）中一个矩形的时间平面）中一个矩形的时间频率窗频率窗 ,batabata 即小波变换具有时即小波变换具有时频局部化特征。频局部化特征。 120aa2a窗宽窗宽:面积面积:,a ba的宽度是的宽度是宽度的宽度的倍倍.检测信号检测信号 f t的高频成分需用的高频成分需用具有比较小的具有比较小的0a 的分析小波的分析小波,a b变

13、窄，并在高频区域对信号进行细节分析变窄，并在高频区域对信号进行细节分析. . 这时时间窗会自动这时时间窗会自动4 第18页/共29页小波变换的特性小波变换的特性 分解种类：时间分解种类：时间-尺度或时间尺度或时间-频率频率 分析函数：具有固定震荡次数的时间有限的波。分析函数：具有固定震荡次数的时间有限的波。 小波函数的伸缩改变其窗口大小。小波函数的伸缩改变其窗口大小。 变量：变量： 尺度，小波的位置尺度，小波的位置 信息：窄的小波提供好的时间局部化及差的频率信息：窄的小波提供好的时间局部化及差的频率 局部化，宽的小波提供好的频率局部化局部化，宽的小波提供好的频率局部化 及差的时间局部化。及差的

14、时间局部化。 适应场合：非平稳信号适应场合：非平稳信号Fourier变换的特性变换的特性 分解种类：分解种类： 频率频率 分析函数：分析函数： 正弦函数，余弦函数正弦函数，余弦函数 变量：变量： 频率频率 信息：信息： 组成信号的频率组成信号的频率 适应场合：适应场合： 平稳信号平稳信号 算法复杂度：算法复杂度： 短时短时Fourier变换的特性变换的特性 分解种类：时间分解种类：时间-频率频率 分析函数：由三角震荡函数复合而成的时间有限的波分析函数：由三角震荡函数复合而成的时间有限的波 变量：频率，窗口的位置变量：频率，窗口的位置 信息：信息： 窗口越小，时间局部化越好，其结果是滤掉低频成分

15、；窗口越小，时间局部化越好，其结果是滤掉低频成分； 窗口越大，频率局部化越好窗口越大，频率局部化越好, 此时时间局部化较差此时时间局部化较差. 适应场合：次稳定信号适应场合：次稳定信号第19页/共29页数值近似积分法、快速算法（包括数值近似积分法、快速算法（包括Mellin算法，斜交投影算法等）算法，斜交投影算法等） 在在Matlab小波工具箱中，用小波工具箱中，用cwt（）函数计算连续小波变换。（）函数计算连续小波变换。 连续小波变换的结果的显示方式：连续小波变换的结果的显示方式： 灰度表示，三维表示灰度表示，三维表示 0102030405060708090100-0.4-0.200.20.

16、40.60.811.21.41.6第20页/共29页 sin(5.89 ), 01sin(8.83 ), 12 sin(5.89 )sin(8.83 ), 230, 3ttttf ttttt 第21页/共29页2, 4, 8, 16 , 32 1，2，, 32 第22页/共29页,( )a bt, ,a b t中 三个变量均为连续变量，三个变量均为连续变量， 离散化条件对小波及小波变换进行分类。下面介绍两种最重要的分类：离散化条件对小波及小波变换进行分类。下面介绍两种最重要的分类： 通过对它们施加不同的通过对它们施加不同的离散小波及离散（参数）小波变换：离散小波及离散（参数）小波变换：二进小波

17、及二进小波变换二进小波及二进小波变换只对只对a,b离散化离散化： 只对只对a离散化离散化第23页/共29页令参数令参数 2ja， 2jbk，其中，其中 , j kZ，则，则离散（参数）小波离散（参数）小波为：为： /22, 2( )2(2)jjjjkttk在这种情况下，常用在这种情况下，常用 ,( )j kt记 2, 2jjk，即，即 /2,( )2(2)jjj kttk相应于离散小波相应于离散小波 的的离散（参数）小波变换离散（参数）小波变换为：为： ,( )j kt,( , ):,fj kWTj kf重构问题重构问题：( ) t在满足什么条件下，可以由离散小波变换在满足什么条件下，可以由离

18、散小波变换 ,j kj k Zf重构原信号？重构原信号？ 可以验证，离散（参数）小波变换不具有平移不变性（习题可以验证，离散（参数）小波变换不具有平移不变性（习题6.4）。）。 第24页/共29页尺度离散化：尺度离散化：实际工作中最常见的情况是实际工作中最常见的情况是,将尺度将尺度 a按照二进尺度离散化按照二进尺度离散化,此时此时a 取值为取值为位移离散化：位移离散化：当当a=2-J (也就是也就是j =J时时),b可以某一基本间隔可以某一基本间隔b0做均匀采样做均匀采样. b0应适当选择使信息仍能覆盖全应适当选择使信息仍能覆盖全b轴而不丢失轴而不丢失(如不低于如不低于Nyquist采样率采样率). 每经过一次小波变换每经过一次小波变换, 其