连续函数的运算OperationsofContinuousFunctionPPT学习教案

1、会计学1连续函数的运算连续函数的运算OperationsofContinuousFunctionTh.2 严格单调的连续函数必有严格单调的连续严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数反函数. .例如例如,2,2sin上上单单调调增增加加且且连连续续在在 xy.1 , 1arcsin上上也也是是单单调调增增加加且且连连续续在在故故 xy;1 , 1arccos上上单单调调减减少少且且连连续续在在同同理理 xy.,cot,arctan上单调且连续上单调且连续在在 xarcyxy反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续.第1页/共14页Th.3000000lim( )( ),lim

2、 ( )()lim( ).xxxxxxIfu xu and f u is continuousat u thenf u xf ufu x Proof. .0( ),f u is continuous at u00lim( )(),uuf uf u00lim( ),xxaiginu xu 0lim ( )xxf u x)(lim0ufuu )(0uf ).(lim0 xufxx 意义意义极限符号可以与函数符号互换极限符号可以与函数符号互换;第2页/共14页.)(,)(,)(,)(00000也连续也连续在点在点则复合函数则复合函数连续连续在点在点而函数而函数且且连续连续在点在点设函数设函数xxxu

3、fyuuufyuxuxxxuu Th.4注意注意定理定理4是定理是定理3的特殊情况的特殊情况.例如例如,), 0()0,(1内连续内连续在在 xu,),(sin内连续内连续在在 uy.), 0()0,(1sin内连续内连续在在 xy第3页/共14页基本初等函数在定义区间内连续基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续连续函数的复合函数连续一切初等函数一切初等函数在在定义区间内定义区间内连续连续例如例如,21xy的连续区间为的连续区间为1, 1(端点为单侧连续端点为单侧连续)xysinln的连续区间为的连续区间为Znnn, ) 12( ,2

4、(注意注意 初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法(代入法代入法.)第4页/共14页Eg.Eg.1 11limsin1.xxFinde 11limsin1sin1xxee . 1sin eEg.Eg.2 22011lim.xxFindxSol.Sol.22220011( 11)( 11)limlim( 11)xxxxxxxx 11lim20 xxx20 . 0 )()()(lim000定义区间定义区间 xxfxfxx设设 f (x)是初等函数，则是初等函数，则第5页/共14页3sin0lim(12 ).xxFindx Sol.3sin3ln(1 2)sin00lim(12 )limxxxxx

5、xe xxxe6lim0 6.e 说明说明: If,0)(lim0 xuxxthen )()(1lim0 xvxxxu,)(lim0 xvxx )(1ln)(lim0 xuxvxxe )()(lim0 xuxvxxe Eg.3 xxxesin)21ln(3lim0 第6页/共14页连续函数的和差积商的连续性连续函数的和差积商的连续性.复合函数的连续性复合函数的连续性.初等函数的连续性初等函数的连续性.定义区间与定义域的区别定义区间与定义域的区别;求极限的又一种方法求极限的又一种方法.两个定理两个定理; 两点意义两点意义.反函数的连续性反函数的连续性.第7页/共14页思考思考题题 设设xxfsg

6、n)( ，21)(xxg ，试试研研究究复复合合函函数数)(xgf与与)(xfg的的连连续续性性.第8页/共14页思考题解答思考题解答,1)(2xxg )1sgn()(2xxgf 1 2sgn1)(xxfg 0, 10, 2xx在在),( 上上处处处处连连续续)(xgf在在)0 ,( ), 0( 上上处处处处连连续续)(xfg0 x是它的可去间断点是它的可去间断点 0, 10, 00, 1sgn)(xxxxxf第9页/共14页一、一、 填空题：填空题：1 1、 43lim20 xxx_. .2 2、 xxx11lim0_. .3 3、 )2cos2ln(lim6xx _._.4 4、 xxx2

7、4tancos22lim _. .5 5、 tett1lim2_. . 6 6、设、设,0,0,)( xxaxexfx 当当 a_时，时，)(xf在在 ),( 上连续上连续 . .练练 习习 题题第10页/共14页7 7、 函数函数61)(24 xxxxxf的连续区间为的连续区间为 _. _.8 8、 设设 时时当当时时当当1,11,2cos)(xxxxxf确定确定 )(lim21xfx_; ; )(lim1xfx_._.二、二、 计算下列各极限：计算下列各极限：1 1、axaxax sinsinlim； 2 2、xxxcot20)tan31(lim ；3 3、1)1232(lim xxxx；第11页/共14页三、三、 设设 0),ln(0,10,)(22xxxbxxxaxf已知已知)(xf在在 0 x处连续，试确处连续，试确 定定a和和b的值的值. .四、四、 设函数设函数)(xf在在0 x处连续，且处连续，且0)0( f, ,已知已知)()(xfxg ， 试证函数， 试证函数)(xg在在0 x处也连续处也连续. .第12页/共14页一、一、1 1、2 2； 2 2、21； 3 3、0 0； 4 4、0 0；5 5、)11(212