大学物理刚体的转动

1、第三章第三章 刚体的转动刚体的转动3.1 3.1 刚体的运动刚体的运动一、刚体的平动一、刚体的平动 在运动过程中刚体上的任意一条在运动过程中刚体上的任意一条直线在各个时刻的位置都相互平行直线在各个时刻的位置都相互平行ABABB”A”刚体的平动刚体的平动任意质元运动都代表整体运动任意质元运动都代表整体运动二、二、 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 刚体所有质元都绕一固定直线（刚体所有质元都绕一固定直线（定轴定轴）作圆周运动作圆周运动刚体的平动、定轴转动和复合运刚体的平动、定轴转动和复合运动动用质心运动代表用质心运动代表刚体的平动刚体的平动（质心运动定理）（质心运动定理）刚体刚体: : 受力时不改变形

2、状和体积的物体。受力时不改变形状和体积的物体。用角量描述转动用角量描述转动1) 角位移角位移 : 在在 t 时间内刚体转动角度时间内刚体转动角度2)角速度角速度 : 0limtdtdt 3)角加速度角加速度 :220limtddtdtdt z刚体定轴转动刚体定轴转动角速度角速度 的方向按右手螺旋法则确定的方向按右手螺旋法则确定1.切向分量切向分量 法向分量法向分量 22nvarrzvOP2. 线量与角量关系线量与角量关系rdSr dddS匀变速直线运动匀变速直线运动ddtddtdSvdt0vvat2012Sv tat2202vvaS匀变速定轴转动匀变速定轴转动0t2012tt2202a rdt

3、drdtdsv rdtdrdtdvadtdva 3.2 3.2 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律dLMdt外质点系的角动量定理质点系的角动量定理Z轴分量轴分量zdLMdtz:im质元质元iF对对O点的力矩点的力矩ioiiMrFoiioiizrFrF（垂直（垂直z轴轴 ）?oiiiiizirFrFrFirirzMiOizFiFiFzOoirimiivizr（垂直（垂直z轴）轴）|iziiMrFsiniiirFizMMzsiniiirF?zizLLiir F1. 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律irirzMiOizFiFiFzOoirimiivizrioii iLrmvoiirvii oiiLm

4、r v siniziLLiLizLsini oi imr vizi iiLm rv sinioirrim质元质元到转轴的垂直距离到转轴的垂直距离iivr2()i imr 转动惯量转动惯量2zi iiJmr2()zi iiLmrzdLMdtz?zzdLdMJdtdtz对固定轴对固定轴MJzJ刚体刚体定轴转动定律定轴转动定律MJ轴外与牛顿第二定律对比：与牛顿第二定律对比：amF外刚体到转轴的转动惯量：刚体到转轴的转动惯量：2i iiJmr 转动惯量的物理意义转动惯量的物理意义:1. 刚体转动惯性大小的量度刚体转动惯性大小的量度;2. 转动惯量与刚体的质量有关转动惯量与刚体的质量有关;3. J 在质

5、量一定的情况下与质量的分布有关在质量一定的情况下与质量的分布有关;4. J与转轴的位置有关。与转轴的位置有关。对比刚体的对比刚体的角动量和质点的动量：角动量和质点的动量：LJmvp 与与对应对应mJ二、刚体二、刚体 转动惯量的计算转动惯量的计算2i iiJm r称为刚体对转轴的称为刚体对转轴的转动惯量转动惯量对质量连续分布刚体对质量连续分布刚体dmrJ2线分布线分布 dxdm面分布面分布dsdm体分布体分布dvdm是质量的线密度是质量的线密度是质量的面密度是质量的面密度是质量的体密度是质量的体密度例例: 一均匀细棒长一均匀细棒长 l 质量为质量为 m1) 轴轴 z1 过棒的中心且垂直于棒过棒的

6、中心且垂直于棒2) 轴轴 z2 过棒一端且垂直于棒过棒一端且垂直于棒求求: 上述两种情况下的转动惯量上述两种情况下的转动惯量 odxZ 1dxdmdxdm解解: 棒质量的线密度棒质量的线密度lm2222121)11mldxxJllZ20231)22mldxxJlz12zzJJ所以只有指出刚体对某轴的转动惯量才有意义所以只有指出刚体对某轴的转动惯量才有意义dx oZ 2l2l2lXX例例:匀质圆盘绕垂直于盘面通过中心轴的转动惯量匀质圆盘绕垂直于盘面通过中心轴的转动惯量 如下图如下图:解解:圆盘半径为圆盘半径为 R, 2Rm dmrJz22rdsRrdrr022RrdrRmr0222221mR总质

7、量为总质量为 m .设质量面密度设质量面密度例例:匀质圆环半径为匀质圆环半径为 R,总质量为总质量为 m,求绕垂直求绕垂直于环面通过中心轴的转动惯量于环面通过中心轴的转动惯量 如下图如下图:ZRdm2zJRd m2Rdm2mR解解:ZRrdrdmdSm 1. 有关转动惯量计算的几个定理：有关转动惯量计算的几个定理：2） 平行轴定理平行轴定理2mhJJczZh式中式中: 关于通过质心轴的转动惯量关于通过质心轴的转动惯量cJm 是刚体质量是刚体质量, h 是是 c 到到 Z轴的距离轴的距离zJ是关于平行于通过质心轴的一个轴的转动惯量是关于平行于通过质心轴的一个轴的转动惯量C1） 转动惯量叠加转动惯

8、量叠加ACZCBAzJJJJ式中式中: 是是A球对球对z轴的转动惯量轴的转动惯量AJBJ是是B棒对棒对z轴的转动惯量轴的转动惯量cJ是是C球对球对z轴的转动惯量轴的转动惯量B3） 垂直轴定理垂直轴定理 yxzJJJiyim0ix对于薄板刚体对于薄板刚体, 薄板刚体对薄板刚体对 z 轴的转动惯量轴的转动惯量zJ等于对等于对 x 轴的转动惯量轴的转动惯量 与与对对xJ y 轴的转动惯量轴的转动惯量yJ之和。之和。yxz2. 2. 刚体定轴转动定律的应用刚体定轴转动定律的应用解：解：滑轮加速转动，由转动定律得：滑轮加速转动，由转动定律得：aR线量与角量关系：线量与角量关系：212JMR已知：已知：滑

9、轮滑轮M（看成匀质圆盘）半径（看成匀质圆盘）半径 R物体：物体： m求：求： a =?1.RmamgTTMmaTmg 物体物体m加速运动：加速运动： JTR 21mRJga解得：解得：Rm1m2已知：已知：滑轮滑轮M（看成匀质圆盘）半径（看成匀质圆盘）半径R物体：物体： m1 m2求：求：a =?am1gm2gT解：解：11m gTm a22Tm gm a1212()m gm gmm a1212mmagmm对否？对否？T2T12TT否则滑轮静止或匀速转动，而物体加速运动否则滑轮静止或匀速转动，而物体加速运动T1T2111m gTm a222Tm gm a12TR T RJaR转动定律转动定律线

10、量与角量关系线量与角量关系212JMR121212mmagmmMM2.T1lmO已知：已知：例例3.2匀质杆匀质杆m长长l下落到下落到时时F求：求：?F 解：解：mgC1cos2MmglMJ21cos213mglml3 cos2glddt3 cos2gl003 cos2gddl 3 singl转动定律转动定律对上式两边分别乘以对上式两边分别乘以 d ，再进行积分得：，再进行积分得：质心运动定理：质心运动定理：3 singl1sinnFmgma212nal3 sin2g3 cos4g3 cos2glMJ sincosFFtan1012 15sin2Fmg21s4Fmgco2212FFF2199s

11、in14mglmOFmgC1F2F例例3.3答案：转到竖直位置时答案：转到竖直位置时: F5mg/2 （90） maFcosmg 22la 三、刚体定轴转动中的动能定理三、刚体定轴转动中的动能定理dAF drO drFvP|drcos|FdrcosFrdcosMFrdAMd21AMd21dJddt21Jd22211122JJ刚体的刚体的转动动能转动动能212kEJ21kkAEE定轴转动动能定理定轴转动动能定理2222221)(21)(2121JrmrmvmEiiiiiiiiiK已知：已知： 匀质杆匀质杆M子弹子弹m水平速度水平速度0v求：求：射入不复出射入不复出解：解：对对M , m系统：系统

12、：0M轴外系统角动量守恒系统角动量守恒2013mv lmvlMlvl033vmmMl匀质杆的质心速度匀质杆的质心速度?cv 2clv032(3)mvmM设杆长为设杆长为l合外力为零，系统动量守恒。合外力为零，系统动量守恒。0cmvmvMv2ccmvMv02cmvvmM对否？对否？l ，最大摆角，最大摆角OMm0v?cv c2clv032(3)mvmMOMm0vc 在碰撞过程中，子弹和细棒的总机械在碰撞过程中，子弹和细棒的总机械能不守恒。能不守恒。 但碰撞后，在子弹随细棒摆动过程中，只但碰撞后，在子弹随细棒摆动过程中，只有重力做功，因此系统机械能守恒。有重力做功，因此系统机械能守恒。以转轴处为势

13、能零点。以转轴处为势能零点。由始末状态机械能相等得：由始末状态机械能相等得：MglmglmlMl213121222）（ Mglcosmglcos21 gmMlmMarccos）（）（23312 3.3 3.3 刚体的复合运动刚体的复合运动在以上对于刚体动力学的讨论中，得到两个结论：在以上对于刚体动力学的讨论中，得到两个结论：2. 刚体的定轴转动定律：刚体的定轴转动定律： JM 1. 质心运动定律：质心运动定律：camF F是刚体所受合外力，是刚体所受合外力，ac是刚体质心加速度，是刚体质心加速度，m是刚体的质量。是刚体的质量。M是刚体所受合外力矩，是刚体所受合外力矩，是刚体绕定轴转动的角加速度

14、，是刚体绕定轴转动的角加速度，J是刚体的定轴转动惯量。是刚体的定轴转动惯量。刚体的复合运动：刚体的复合运动：可以分解为刚体的平动和刚体绕质心轴的转动可以分解为刚体的平动和刚体绕质心轴的转动一、质心系的角动量定理一、质心系的角动量定理以质心以质心O为原点的参考系称为质心参考系。设惯性系的原点为为原点的参考系称为质心参考系。设惯性系的原点为O质心系的角动量定理：质心系的角动量定理： iiiLdtdFriiFr 是质点系中各质点所受外力对质心的力矩的矢量和是质点系中各质点所受外力对质心的力矩的矢量和即质点系的角动量定理在质心系中仍然成立。即质点系的角动量定理在质心系中仍然成立。 iL是质点系中各质点

15、对质心的角动量之和是质点系中各质点对质心的角动量之和 所以原来只对定轴转动成立的转动定律，所以原来只对定轴转动成立的转动定律， 对于通过对于通过质心的转轴仍然成立质心的转轴仍然成立二、柯尼希定理二、柯尼希定理 质点系相对于惯性系的总动能等于质点系的轨道动质点系相对于惯性系的总动能等于质点系的轨道动能和内动能之和。能和内动能之和。222121 JmvmghEcck 考虑到重力势能，有：考虑到重力势能，有：对于刚体有：对于刚体有：222121 JmvEck 例例3.5 如图，质量为如图，质量为m，半径为，半径为R的圆柱体沿斜面向下无滑动的圆柱体沿斜面向下无滑动地滚动，试求它到达斜面下端时质心的速率

16、。地滚动，试求它到达斜面下端时质心的速率。hNfmgs解法一解法一.用能量守恒求解。用能量守恒求解。222121 Jmvmghc Rvc 以以由于是无滑动滚动，所由于是无滑动滚动，所质质心心速速率率；是是刚刚体体在在斜斜面面底底端端时时的的其其中中，cv.mRJ惯惯量量是是刚刚体体绕绕质质心心轴轴的的转转动动221 是圆柱体在斜面底端时绕质心的角速率；是圆柱体在斜面底端时绕质心的角速率；22c2243212121ccmvRvmRmvmgh）（ ghvc43 所所以以：例例3.5 如图，质量为如图，质量为m，半径为，半径为R的圆柱体沿斜面向下无滑动的圆柱体沿斜面向下无滑动地滚动，试求它到达斜面下端时质心的速率。地滚动，试求它到达斜面下端时质心的速率。hNfmgs解法二解法二.用转动定律求解。用转动定律求解。 JfR ：根根据据绕绕质质心心的的转转动动定定律律cmafsinmg 在平行斜面方向：在平行斜面方向： Ra,mRJc 221其其中中： si