复变函数与积分变换第4章

1、第四章第四章 级级 数数一一. .复数数列的极限，复数项级数复数数列的极限，复数项级数, ,复变函数项级数复变函数项级数二二. 泰勒级数泰勒级数三三. 洛朗级数洛朗级数寻找（解析的）复变函数的级数表达式，为第五章做准备寻找（解析的）复变函数的级数表达式，为第五章做准备为为一一确确定定复复数数。又又设设设设复复数数列列000iyxziyxzznnnn, 0N存存在在正正整整数数若若对对任任意意给给定定的的 为为极极限限。以以，或或称称收收敛敛于于复复数数则则称称复复数数列列00zzzznn.lim0zznn记作记作1.1.复数数列的极限复数数列的极限成成立立，时时，总总有有使使当当 0zzNnn

2、第一节第一节 复级数复级数1.1 1.1 复数项级数复数项级数0zznnlim0 xxnnlim定理定理1.11.1),(,21000niyxziyxznnn设设则则的充要条件为的充要条件为0yynnlim充分性充分性则则若若,lim,lim00yyxxnnnn时当Nn 2200 yyxxnn,)()(00yyixxnn00yyxxnn0zznnlim必要性必要性则则若若,lim0zznn时当Nn )()(000yyixxzznnn 00yyxxnn,00yyxxnnnnlimlim证明：证明：0zzn收收敛敛）的的判判定定方方法法极极限限存存在在（或或）复复数数数数列列（nz1注注：时时存存

3、在在。对对应应的的实实数数数数列列极极限限同同以以及及虚虚部部判判定定：实实部部nnyx）极极限限的的计计算算公公式式（2nnnnnnyixzlimlimlim数数列列21innenz 解解21innenz )2sin()2cos(1 ninn)cos(21 nnxn实实部部)sin(21 nnyn虚部虚部, 2 , 1n)cos(limlim21 nnxnnn0( (无穷小与有界函数无穷小与有界函数【实数范围内的余弦函数实数范围内的余弦函数】的乘积仍为无穷小的乘积仍为无穷小) )021)sin(limlim nnynnn,的的极极限限存存在在nznnnnnnyixzlimlimlim0.?若

4、若有有极极限限，求求出出其其极极限限是是否否有有极极限限例：例： 例1下列复数列是否收敛？如果收敛，求出其极限.1(1)(1),innzen(2)cos,nznin13(3)() .6nniz解：1(1)(1)innzen1(1)(cossin)innn11(1)cos,(1)sin,nnxynnnnlim1,lim0,nnnnxy1(1)innzen收敛，lim1.nnz且有(2)cosnznin1()2nnn eecoshnn21()(1)22nnnnneene e21limlim(1),2nnnnnznee .nz所以复数列发散13(3)()(cossin)6nninnnizr erni

5、n1 310166ir而，lim0,nnrlimcos0, limsin0nnnnrnrnlim0.nnzlim0lim(cossin )0lim0,)nnnnnnzziz(若，即：反之也成立2.2.复数项级数复数项级数为为一一复复数数数数列列，表表达达式式设设nznnnzzzz211称为称为复数项无穷级数复数项无穷级数.称为级数的部分和。称为级数的部分和。项和项和前前,21nnzzzSn有有极极限限若若级级数数的的部部分分和和序序列列), 2 , 1(nSn否则，称级数发散否则，称级数发散。SSnnlim则则称称级级数数是是收收敛敛的的，;称称为为级级数数的的和和S定理定理1.21.2),(

6、21niyxznnn设设则则收敛收敛级数级数1nnz的充要条件是的充要条件是1nnx1nny收敛收敛实数项级数实数项级数注注：复数项级数收敛的判定方法复数项级数收敛的判定方法: :判定判定: :实数项级数实数项级数 ， 同时收敛同时收敛。1nnx1nny定理定理1.31.3的的必要条件必要条件是是收敛收敛级数级数1nnz0nnzlim不一定收敛。不一定收敛。10nnnnzz，则级数，则级数若若lim;绝绝对对收收敛敛收收敛敛，则则称称级级数数若若级级数数1nnz非绝对收敛的收敛级数，称为条件收敛。非绝对收敛的收敛级数，称为条件收敛。1nnz定义定义定理定理 1.41.4收敛，收敛，若级数若级数

7、1nnz也收敛。也收敛。则则1nnz即即 绝对收敛必定收敛。绝对收敛必定收敛。正项级数正项级数.,)(同时收敛同时收敛判定实数项级数判定实数项级数112nnnnyx;绝对收敛绝对收敛）级数）级数（11nnz：其中，其中，收敛收敛判定级数判定级数)(nnnnniyxzz1（定理（定理1.41.4）（定理（定理1.21.2）提示提示: :）。否否则则，选选用用方方法法（）则则利利用用方方法法（比比较较容容易易求求解解，虚虚部部的的实实部部的的通通项项若若级级数数121;,nnnnnyxzz：其中，其中，绝对收敛绝对收敛判定级数判定级数)(nnnnniyxzz1收敛；收敛；）定义：判定正项级数）定义

8、：判定正项级数（11nnz同时绝对收敛。同时绝对收敛。）判定实数项级数）判定实数项级数（112nnnnyx ,nnnnnyxyxz22同时绝对收敛同时绝对收敛若实数项级数若实数项级数11,nnnnyx收收敛敛因因此此，122nnnyx绝绝对对收收敛敛。即即收收敛敛11,nnnnzz证明：证明：( (正项级数的比较判别法正项级数的比较判别法) )则则 1nnx1nny收敛，收敛，即即1nnnyx收敛收敛。复习：正项级数收敛的判定复习：正项级数收敛的判定是正项级数。是正项级数。，则称级数，则称级数若若1,.)3 , 2 , 1(0nnnana常见判别方法常见判别方法: : (i)(i)比较判别法比

9、较判别法两个正项级数两个正项级数1nna1nnbnnba 若若则则收敛。收敛。收敛，则收敛，则若若11nnnnab发散。发散。发散，则发散，则若若11nnnnba(ii) (ii) 比值判别法比值判别法( (达朗贝尔判别法达朗贝尔判别法) )正项级数正项级数1nna nnnaa1lim若若则则收敛。收敛。时，级数时，级数当当11nna 发散。发散。时，级数时，级数当当11nna 特殊级数的相关结论：特殊级数的相关结论：)0() 1 (pp级级数数pppnpnn13121111时时，级级数数收收敛敛；当当1p时时，级级数数发发散散。当当1p(2)(2)交错级数交错级数( (正负项交错出现的级数正

10、负项交错出现的级数) )nnnnnaaaaaa1432111) 1() 1(,.)3 , 2 , 1(0nan其中，其中，,.)3 , 2 , 1()(1naainn0lim)(nnaii若满足若满足则则交错级数收敛交错级数收敛. .判判断断下下列列级级数数的的收收敛敛性性例例 1 . 1)1 (1) 1 (21ninn解解111nnnnx1311nnnny级级数数发发散散。)1111ppnpnp发散发散收敛收敛级数级数（发散发散收敛收敛 1!)8()2(nnni!8!)8(nninn 18nnn!)1lim1lim111 nnnnnnnnaaaaa发散发散收敛收敛（正项级数（正项级数绝绝对对

11、收收敛敛，级级数数1!)8(nnni解解收敛收敛收敛收敛.21) 1(31innnn ）（1)1(nnn,级级数数不不绝绝对对收收敛敛解1)1(nnn收敛。收敛。级数级数2) 1(1nnnin)0lim;) 1(111nnnnnnnaaaa 收敛，若满足收敛，若满足（交错级数（交错级数 121nn收敛收敛收敛收敛1)(pp级数，级数，条件收敛条件收敛. .11nn发散发散1.21.2 复变函数项级数复变函数项级数)()()()(211zfzfzfzfnnn内内的的函函数数，则则称称表表达达式式为为区区域域定定义义：设设Dnzfn)2 , 1()()()()()(21zfzfzfzSnn称为这级

12、数的部分和。称为这级数的部分和。)()(lim00zSzSnn存在，存在，则称复变函数项级数复变函数项级数收敛。在0z的和。的和。称为级数在点称为级数在点00)(zzS内内的的复复变变函函数数项项级级数数。为为区区域域D项项之之和和前前 n，内的某一点内的某一点若对区域若对区域0zD，的函数的函数一定是一定是内处处收敛，则它的和内处处收敛，则它的和若级数在区域若级数在区域)(zSzD称作级数的和函数，称作级数的和函数，)(zS。记作记作)()(1zSzfnn2. 2. 幂级数幂级数恰好为幂函数：恰好为幂函数：中的中的若复变函数项级数若复变函数项级数)()(1zfzfnnnnnnnzczzc或或

13、)(0nnnnnnzczzc000)(或或即即 则称为幂级数。则称为幂级数。实实变变幂幂级级数数为实数。为实数。定义定义nnnnaxa,.01收收敛敛范范围围：. 2.),(0究究端端点点是是否否收收敛敛需需具具体体研研内内级级数数绝绝对对收收敛敛，为为中中心心的的对对称称区区间间以以RRx的的求求法法：收收敛敛半半径径. 3,limlim1 nnnnnnaaa或或若若.1 R则则.,. 4可可针针对对级级数数逐逐项项进进行行对对于于求求导导、积积分分运运算算，和和函函数数具具有有连连续续导导数数性性质质：在在收收敛敛区区间间内内，（高数内容的复习）（高数内容的复习）结论：结论：收收敛敛，在在

14、点点若若级级数数00 xxannn绝对收敛。绝对收敛。时，级数时，级数当当00nnnxaxx发发散散，在在点点若若级级数数10 xxannn发散。发散。都使级数都使级数的点的点满足满足01nnnxaxxx则则则则|sup0收敛收敛在点在点级数级数令令xxaxRnnn则则内内绝绝对对收收敛敛。在在区区间间级级数数),(0RRxannnxo0 x0 x1x1xRR复复变变幂幂级级数数为为复复数数。定定义义nnnnczc,.01收收敛敛范范围围：. 2.0具具体体研研究究圆圆周周上上的的点点是是否否收收敛敛需需内内绝绝对对收收敛敛，为为中中心心的的圆圆域域以以Rzz,limlim1 nnnnnncc

15、c或或若若.1 R则则.,. 4可可针针对对级级数数逐逐项项进进行行对对于于求求导导、积积分分运运算算，和和函函数数是是解解析析的的性性质质：在在收收敛敛圆圆内内P54,P54,定理定理1.61.6p51,p51,定理定理1.51.5代代表表复复数数的的模模。注注：此此处处 的的求求法法：收收敛敛半半径径.3（P52)P52)定理定理 1.51.5收收敛敛，在在点点若若级级数数)0(0 nnnzc则则内绝对收敛。内绝对收敛。在圆域在圆域级数级数 zzcnnn0发发散散，在在点点若若级级数数 0nnnzc则则发散。发散。都使级数都使级数的点的点满足满足0nnnzczz 对对收收敛敛。，使使级级数

16、数在在该该圆圆域域内内绝绝必必有有一一圆圆域域Rz 的收敛圆。的收敛圆。称为级数称为级数圆周圆周0nnnzcRz称为级数的收敛半径。称为级数的收敛半径。R R定理定理1.51.5（阿贝尔定理）（阿贝尔定理） 001(1)(0)nnnC zzzz如果幂级数在收敛，则01nnnzzzC z则对满足的一切 ，幂级数必绝对收敛；1111(0)nnnC zzz zzzz在发散，则对满足的一切 ，幂级数必发散.(2)如果幂级数0()z 收敛点0zxyo绝对收敛1z1(z 发散点)发散区域阿贝尔定理告诉我们:00zz(1)若幂级数在处收敛，00|z则在以 为中心，为半径的圆周.z的任何点 幂级数绝对收敛1(

17、2)zz若幂级数在处发散，10|z则在以 为中心，为半径的圆周z外的任何点 幂级数都发散.2收敛圆与收敛半径 发散区域定义： 0R 若存在实数，0,nnnzRC z当时，幂级数发散0nnnzRC z当时，幂级数绝对收敛；R则称以 为半径的圆周为0nnnC zR幂级数的收敛圆， 称为收敛半径xyoR绝对收敛注意： 0nnnzRC z在圆周上，幂级数可能收敛也可能发散，不能作一般结论，要对具体幂级数进行具体分析. 例求下列幂级数的收敛半径 31(1),(nnzn并讨论在收敛圆周上的情形)，1(1)(2),(0,2)nnzzzn讨论时情形0(3)(cos),nnin z解：31(1)limlim()

18、1,1nnnnCnCn1R 所以收敛半径为，3111.nnzzzn故幂级数在圆周内收敛，在外发散331111.nnnzznn在圆周上，幂级数收敛1(2)limlim1,1nnnnCnCn1R 所以收敛半径为，110zz在收敛圆周上，当时，1( 1).nnn幂级数收敛112,nzn当时，级数发散.因此在收敛圆周上既有幂级数的收敛点又有发散点13coscosh(),2nnnCinnee（ ）1(1)2112limlimlim1nnnnnnnnnnnCeeeeeCeee，1.e故幂级数的收敛半径为练习：计算练习：计算nnnzi1)31 (收敛半径。收敛半径。nnnnnniicc)31 ()31 (l

19、imlim11解：解：31limin=2.21R所以，收敛半径所以，收敛半径.2 . 10的收敛范围与和函数的收敛范围与和函数求求例例nnz解解121( nnzzzzS）) 1(11 zzzn )(limzSnn,1111 zzz不存在. 1110 zzznn)sin(cos irz假设假设 nirnrznnnsincos nrinrznnnnnnsinlimcoslimlim110rr不不存存在在熟记此结论！熟记此结论！幂级数的运算：幂级数的运算：10,)(rzzazfnnn20,)(rzzbzgnnn则则内，内，在在),min(21rrz 两个幂级数像两个幂级数像多项式多项式一样进行相加，

20、相减，相乘运算；一样进行相加，相减，相乘运算；的的和和，差差，积积。与与别别是是所所得得幂幂级级数数的的和和函函数数分分)()(zgzf代换（复合）运算：代换（复合）运算：0)(nnnzczfrz时，时，若当若当，解解析析且且时时，当当又又rzgzgRz)()(则则,时时当当Rz nnnzgczgf)()(0例例 1.41.4的幂级数。的幂级数。表示为形如表示为形如将函数将函数nnnazcbz)(10解：解： 凑项凑项)()(11abazbzab1111110zzznn有有时时即即当当, 1abazabazabaz11nnabaz0nnnazab)()(101abaz小小 结结2.2.熟练掌握

21、熟练掌握: :复数项级数的复数项级数的收敛，绝对收敛收敛，绝对收敛的判定。的判定。收收敛敛：判判定定复复数数项项级级数数1nnz绝对收敛。绝对收敛。级数级数11nnz收敛；收敛；判定实数项级数判定实数项级数112nnnnyx ,绝绝对对收收敛敛：判判定定级级数数1nnz收敛；收敛；定义：判定正项级数定义：判定正项级数11nnz绝对收敛。绝对收敛。判定实数项级数判定实数项级数112nnnnyx ,1.熟练掌握：熟练掌握：复数数列极限的判定与计算复数数列极限的判定与计算高数中关于正项级数收敛的部分结论。高数中关于正项级数收敛的部分结论。3.3.熟练掌握熟练掌握: :定理定理1.51.5，幂级数的，

22、幂级数的收敛半径收敛半径的计算的计算- -比值法，根比值法，根值法。值法。4 4. .熟练掌握熟练掌握: :幂级数幂级数和函数和函数的性质的性质在收敛圆内解析在收敛圆内解析。5. 5. 熟练掌握熟练掌握: :例例1.21.2的结论，以及例的结论，以及例1.41.4中的代换运算。中的代换运算。. 1110 zzznn1831nni)( 1!)43(nnni 1nnni 11)1(nnni2.2.下列级数中，条件收敛的级数为（下列级数中，条件收敛的级数为（ ）(A)(B)(C)(D)C？极限是否存在？为多少极限是否存在？为多少则则设设nnnznnniz),()(.21411iznnlim练练 习习

23、 题题 1nnni1122122kkkkiki112121kkkkik)()( 1)1(1nnin 12)1(nnnin 2lnnnni 12)1(nnnni(A)(B)(C)(D)3.3.下列级数中，绝对收敛的级数为（下列级数中，绝对收敛的级数为（ ）Dnnnin11lnln注：注：处的敛散性为处的敛散性为处收敛，那么该级数在处收敛，那么该级数在在在若幂级数若幂级数22140zizzcnnn.（ ）（A) A) 绝对收敛绝对收敛 （B B） 条件收敛条件收敛 (C) (C) 发散发散 （D) D) 不确定不确定A处处的的敛敛散散性性？处处发发散散，则则该该级级数数在在在在若若级级数数250z

24、izizcnnn)(.?),.的的收收敛敛半半径径（则则幂幂级级数数的的收收敛敛半半径径为为若若幂幂级级数数00126nnnnnnnzcRzc发散发散2R第二节第二节 泰勒级数泰勒级数 上节看到，任意的幂级数在其收敛圆内具有上节看到，任意的幂级数在其收敛圆内具有解析的解析的和函数，即，幂级数在收敛圆内对应一个解析函数。和函数，即，幂级数在收敛圆内对应一个解析函数。 反过来，反过来，对于任意的解析函数对于任意的解析函数 是否可以利用是否可以利用幂级数来表示？幂级数来表示？)(zfnnnzzczf)()(00即即 表达式表达式是否存在？是否存在？若存在，具体形式如何？若存在，具体形式如何？第三章，

25、柯西积分公式给出了解析函数的积分表达式：第三章，柯西积分公式给出了解析函数的积分表达式： dzfizfC)()(21z 1)()(001zzz 01z 0011zzz 01z nnzzz000 dzfizfCn)()()(1021nzz)(00n)()(Cndzfi 1021nnzz)(00!)(0)(nzfn（第三章，（第三章，P40P40定理定理4.1)4.1)nzz)(00nnnnzzczf)()(00的的泰泰勒勒级级数数在在0)(zzfDd定理定理2.12.1泰勒展开式泰勒展开式的的在在0)(zzf0z且上述展开式是且上述展开式是唯一的唯一的。成成立立，其其中中,),(!)(21010

26、nzfncnn内内的的一一点点，为为，内内在在区区域域设设DzDzf0)(解析解析时，时，那么当那么当的边界上的最短距离，的边界上的最短距离，到到为为Dzd0dzz0：的的泰泰勒勒级级数数存存在在的的条条件件在在函函数数0zzf)(解解析析在在函函数数0zzf)(注注:(1):(1)之之间间的的距距离离最最近近的的一一个个奇奇点点的的距距到到等等于于从从 00zzfz)( 0zR数数（泰泰勒勒级级数数）的的邻邻域域内内可可展展开开为为幂幂级级在在0zzf)(（2）解析函数的性质：）解析函数的性质：内处处解析内处处解析在区域在区域函数函数Dzf)(数数（泰泰勒勒级级数数）的的邻邻域域内内可可展展

27、开开为为幂幂级级在在内内任任意意一一点点对对于于00zzfzD)(,00003nnnzznzfzzf)(!)()()()(处处泰泰勒勒级级数数在在函函数数的的收敛半径收敛半径R ：泰勒级数的计算：泰勒级数的计算：约定：约定：)(的泰勒级数的泰勒级数在点在点求求0zzf)(的泰勒展开式的泰勒展开式在点在点求求0zzf)(展成泰勒级数展成泰勒级数在点在点将将0zzf)(展成幂级数展成幂级数在点在点将将0zzf的的形形式式表表示示成成内内将将域域以以上上说说法法均均表表示示：在在圆圆nnnzzczfRzz)()(000 0zR其中，其中，最最近近的的奇奇点点的的奇奇点点中中离离是是0zzf)( （1

28、 1）直接展开法）直接展开法 利用定理利用定理2.1, 2.1, 我们可以直接计算系数我们可以直接计算系数: :), 2 , 1 , 0()(!10)(nzfncnn例例 2.12.1处处展展开开成成泰泰勒勒级级数数在在将将00zezfz)(解：解：znzezfezf)()()(的的各各阶阶导导数数为为：!)()(nzfcnn0!n1,., 210n处处的的泰泰勒勒展展开开式式在在00zezfz)(nnnzzczf)()(00nnzn01!收敛半径收敛半径Rnnnzzzzz201111z! 21!20nzzznzennnz z)!12() 1(sin120nzznnn z)!2() 1(cos

29、20nzznnn z常见函数在点常见函数在点 处的泰勒展开式：（需要记忆）处的泰勒展开式：（需要记忆）00z（与高数一致）（与高数一致）（二）间接展开法（二）间接展开法 借助一些借助一些已知函数的展开式已知函数的展开式, , 利用幂级数的运算（加法，乘利用幂级数的运算（加法，乘法，积分，求导等运算）法，积分，求导等运算）, , 得出函数的泰勒展开式得出函数的泰勒展开式. .处处的的泰泰勒勒展展开开式式。在在（：求求函函数数例例0)112 . 202zz 解解 函数的唯一奇点函数的唯一奇点 z1. 将上式两边求导得将上式两边求导得 )()(zz 11112可可展展开开成成幂幂级级数数函函数数在在

30、圆圆域域1z内内解解析析函函数数在在圆圆域域10 zzz1111)( z0)(nnznnnz0) 1(1zz11111112znzznnn)()(例题例题1.21.2展展成成泰泰勒勒级级数数。在在例例：求求函函数数120zzz解：解：22zzz的的唯唯一一奇奇点点函函数数所以，所以，321)(内展成泰勒级数内展成泰勒级数 2zz221z展展成成泰泰勒勒级级数数在在下下面面主主要要将将函函数数1220zz 22z32)(1z113231z03132nnz例题例题1.21.2的的泰泰勒勒级级数数在在所所以以，函函数数120zzz 2zz221z031321nnz31 z可可以以在在圆圆域域函函数数

31、2zz10zzz处的泰勒展开式。处的泰勒展开式。在在例：求函数例：求函数13120zzz)(解:3131221zzzz,)(的奇点：的奇点：函数函数所以，所以，211内展成泰勒级数内展成泰勒级数可可在在圆圆域域函函数数)(312zz)( 10zzz)(312zz1121z()31z的泰勒级数的泰勒级数在在，分别计算函数分别计算函数131110zzz11z21)( 1z112121)(z02121nnz)(31z21)( 1z112121)(z02121nnz)(处处的的泰泰勒勒展展开开式式在在函函数数13120zzz)(02121nnz)(02121nnz)(1121z()31z)(312zz

32、处的泰勒展开式。处的泰勒展开式。在在例：求函数例：求函数2)2)(1(0zzzz解:212121zzzzz,)(的奇点：的奇点：函数函数310zzR收敛半径收敛半径nnnzc)2(0式为式为所求的泰勒展开式的形所求的泰勒展开式的形1122)2)(1( zzzzz32 z收收敛敛圆圆域域为为：的级数的级数分别表示为形如分别表示为形如，将函数将函数nnnzczz)2(1122022z112111112 zzzzzn14342znnz)42(210 )2(3111 zz1131132znnz)32(310 )2(42z)42(z32 z收收敛敛圆圆域域为为：32z32 z收收敛敛圆圆域域为为：112

33、2)2)(1( zzzzz处处的的泰泰勒勒展展开开式式在在所所以以，函函数数2210zzzz)(nnz)42(210 nnz)32(310 nnnnnz)2()31()21() 1(1120 000)()(!)()(nnnzznzfzf f (z)在在z0的的泰勒展开式成立的圆域的泰勒展开式成立的圆域的半径半径 R等于从等于从z0到到 f (z)的的距距z0最近一个奇点最近一个奇点 的距离的距离, , 即即R=| z0|. 小小 结结:)(0的的泰泰勒勒展展开开式式的的形形式式在在 zzf1.1.熟练掌握熟练掌握2.记忆：泰勒展开式：记忆：泰勒展开式：zezzsin11zcos3.3.熟练计算

34、熟练计算函数在点函数在点 的泰勒展开式。的泰勒展开式。0z解解析析在在函函数数0zzf)(数数（泰泰勒勒级级数数）的的邻邻域域内内可可展展开开为为幂幂级级在在0zzf)(练练 习习处处的的泰泰勒勒展展开开式式？在在计计算算函函数数11202zz.的的收收敛敛半半径径则则幂幂级级数数的的泰泰勒勒级级数数为为在在设设函函数数nnnnnnzzczczze00033. 1,cos )(A2 )(C6 )(D3 )(B( )D的收敛半径相同的收敛半径相同与与nnnnnnzczc003 注：注：62330 Rzcnnn的收敛半径：的收敛半径：泰勒级数泰勒级数)11()1(11 zznnn第三节 洛朗级数内

35、内不不是是处处处处解解析析。如如：的的邻邻域域在在点点函函数数)()(1012zzzzzf数数（泰泰勒勒级级数数）。的的邻邻域域内内不不能能展展成成幂幂级级在在点点0z形形式式的的函函数数项项级级数数？能能否否将将函函数数表表示示成成其其他他时，有时，有当当10 z0211111nnzzzzzzzf)(时，有时，有当当110 z111111111111102zzzzzzzzzfnnn)()()()(（1）既含有正幂项，又含有负幂项的函数项级数有什么性质？必必然然联联系系？又又含含负负幂幂项项的的级级数数有有无无幂幂项项内内解解析析的的函函数数与与既既含含正正的的去去心心邻邻域域在在点点Rzzz

36、0002)(例问题：问题：3.1 洛朗级数及其收敛圆环形如nnnzzc)(0。并并称称为为洛洛朗朗级级数数的的系系数数是是复复常常数数其其中中，的的级级数数称称为为洛洛朗朗级级数数,nc1010)()(zzczzcnnnnzzczzcc)()(0010注：与幂级数的区别：多了关于 的负幂项。)(0zz 幂幂级级数数。时时，洛洛朗朗级级数数就就变变成成了了当当,.),(210ncnnnnzzc)(0 )()(101nnnzzc )()(200nnnzzc 的的和和。为为洛洛朗朗级级数数在在点点且且称称收收敛敛洛洛朗朗级级数数在在点点则则称称到到同同时时收收敛敛，且且分分别别收收敛敛在在点点若若级

37、级数数 zffzffz)()(,),(),()(),(212121主要部分解析部分为为和和函函数数。且且称称内内收收敛敛则则称称洛洛朗朗级级数数在在区区域域且且分分别别收收敛敛到到和和函函数数内内每每一一个个点点同同时时收收敛敛，对对于于区区域域若若级级数数)()(,),(),()(),(zfzfDzfzfD212121nnnzzc)(0 )1(01)(nnnzzc )2(00)(nnnzzc10)zzt （nnnnnntczzc101)(时时，级级数数收收敛敛当当收收敛敛半半径径为为RtR对于（1）：时收敛时收敛当当Rzz10.)(收敛收敛时，时，当当nnnzzcRzz0110对于（2）：为

38、为其其收收敛敛半半径径，若若2R.)(0020收敛收敛时，时，则当则当nnnzzcRzznnnzzc)(00幂级数RR11令令10)(zzt幂级数21RR 若若nnnzzc)(0洛朗级数洛朗级数.201内内收收敛敛圆圆环环域域在在RzzR 洛朗级数在收敛圆环域内对应的和函数是解析的, 而且可以逐项求积和逐项求导.201RzzR 定理3.1：例:zzznn111184212zz的收敛圆环与和函数。求洛朗级数解：洛朗级数可表示为1nnz0221nnz1nnz对于级数1 zt令令级数变为1nnt1t收敛圆域：收敛圆域：和函数：111t例题1.2所以，级数1nnz11z收敛域：收敛域：1z即和函数：1

39、111zz110221nnz对于级数12z收敛圆域：收敛圆域：即2z和函数：21121z21z所以，洛朗级数的和函数：21 z收收敛敛圆圆环环：2111zz例题1.2 问题： 在一个圆环内解析的函数是否一定能够展开成洛朗级数?3.2 洛朗展开定理内内解解析析，：在在圆圆环环域域设设201RzzRDzf)(nnnzzczf)()(0 其中其中), 1, 0(,)()(2110ndzzzzficcnn 的任意一正向闭曲线。的任意一正向闭曲线。为圆环域内绕为圆环域内绕0zC内内则则在在D2R1R0z内的洛朗展开式。内的洛朗展开式。在圆环域在圆环域201)(RzzRzfC唯唯一一确确定定。及及圆圆环环

40、由由函函数数且且系系数数Dzfcn)(定理3.2（洛朗定理）注:.)(内内包包含含奇奇点点一一般般在在圆圆域域因因为为10Rzzzf一般地,洛朗级数中的系数 不能利用P40,公式-表示.nc2R1R0zCdzzzzficcnn 10)()(21的任意一正向闭曲线。的任意一正向闭曲线。为圆环域内绕为圆环域内绕0zC!)(0)(nzfn数数。在在该该圆圆环环内内展展成成洛洛朗朗级级求求将将及及圆圆环环已已知知函函数数)(,)()(zfRzzRzf2011级级数数。的的去去心心邻邻域域内内展展成成洛洛朗朗在在点点求求将将及及点点已已知知函函数数002zzfzzf)(,)()(洛朗展开式的计算：两两种

41、种给给出出问问题题的的方方式式：展展成成洛洛朗朗级级数数，通通常常有有将将函函数数)(zf展展开开。内内解解析析，其其次次，再再设设法法在在圆圆环环首首先先，需需验验证证201RzzRzf)(在在其其中中解解析析，使使的的去去心心邻邻域域首首先先，需需确确定定点点)(,zfRzzz000.R即，确定即，确定最最近近的的奇奇点点。的的距距离离点点是是函函数数其其中中，点点通通常常，取取000zzfzzR)()(, 解解析析的的最最大大去去心心邻邻域域）（即即，使使)(zf:)(内内洛洛朗朗级级数数的的计计算算在在指指定定圆圆环环域域：函函数数21RzRzf与与已已知知简简单单函函数数的的关关系系

42、寻寻找找函函数数)(. 2zf乘乘积积的的形形式式。的的导导数数，或或和和，差差次次分分式式函函数数观观察察是是否否可可以以表表示示为为一一如如：对对于于分分式式函函数数,),(01zzzfnnc式式：明明确确所所求求洛洛朗朗级级数数的的形形计计算算即即可可。与与它它们们间间的的关关系系，数数展展开开式式及及利利用用已已知知简简单单函函数数的的级级)(.zf30znzz)(0(代换运算时，特别注意收敛范围的验证）内内是是否否解解析析。在在圆圆环环验验证证2011RzzRzf)(.4.验证所得级数是否符合形式nncnzz)(0.)(内内展展成成洛洛朗朗级级数数在在圆圆环环：将将函函数数例例212

43、3112zzzzf解：内内解解析析，在在圆圆环环函函数数212312zzzzf)(存存在在，且且唯唯一一。在在该该圆圆环环内内的的洛洛朗朗级级数数)(zf)()(2112312zzzzzf1121zz0221nnz)(122121zzzz11110nnz011nnzznnnzc形形式式为为：例题1.2112121z2z111zz1例题1.2)(112121zz.)(内内的的洛洛朗朗级级数数在在圆圆环环所所以以，函函数数212312zzzzf2312zzzf)(1121zz0221nnz011nnzz.)(内内展展成成洛洛朗朗级级数数在在圆圆环环：将将函函数数例例11023122zzzzf解：内

44、内解解析析，在在圆圆环环函函数数1102312zzzzf)(存存在在，且且唯唯一一。在在该该圆圆环环内内的的洛洛朗朗级级数数)(zf)()(2112312zzzzzf)(11121zz nnnz110)(110110zznnnzc1-形式为：形式为：21z11z与所求洛朗级数的形式一致11)(1 z例题1.2.)(内内的的洛洛朗朗级级数数在在圆圆环环所所以以，函函数数1102312zzzzf2312zzzf)(1121zz11 z nnnz110.)(朗朗级级数数的的去去心心邻邻域域内内内内展展成成洛洛在在点点：将将函函数数例例2231302zzzzf解：212312,)(只只有有两两个个奇奇

45、点点：函函数数zzzf存存在在，且且唯唯一一。在在该该圆圆环环内内的的洛洛朗朗级级数数)(zf)()(2112312zzzzzf)(21111zz nnnz210)(120120zznnnzc2-形式为：形式为：21z11z与所求洛朗级数的形式一致11)(2 z例题1.2的的最最大大去去心心邻邻域域。在在其其中中解解析析的的点点首首先先，确确定定使使20zzf)(12020zzzf:)(的的最最大大去去心心邻邻域域在在其其中中解解析析的的点点使使.)(内内的的洛洛朗朗级级数数在在圆圆环环所所以以，函函数数1202312zzzzf2312zzzf)(1121zz nnnz21012)(z.)(.

46、内内展展成成洛洛朗朗级级数数在在圆圆环环：将将函函数数例例zezzfz03313解：内内解解析析，在在圆圆环环函函数数zezzfz013)(存存在在，且且唯唯一一。在在该该圆圆环环内内的的洛洛朗朗级级数数)(zfnnzzne1101!)(zz100nnnzc形式为：形式为：.)(内内的的洛洛朗朗级级数数在在圆圆环环函函数数zezzfz013zezzf13)(30031111nnnnznznz!zezf1)(3z与所求洛朗级数的形式一致洛朗级数的应用：计算复变函数积分问题dzezzz1134 . 3计计算算积积分分：例例解：.)(内内的的洛洛朗朗级级数数在在圆圆环环函函数数zezzfz013zezzf13)(3011nnzn!dzezzz113dzznznn 10311!dzzzzzzz1223151141312.!dzzz13dzzz12dzzz12!dzz131!dzzz1411!dzzz21151!.! 42 i 柯西积分定理P29 例题1.2洛朗级数